p X =k =Nk pk 1− p n−k - gerard

LA LOI BINOMIALE
1) La loi de Bernoulli
On considère une expérience aléatoire à deux issues le succès S avec une probabilité p(S)=p
et l'échec
S
avec une probabilité 1-p; soit la variable aléatoire B qui prend la valeur 1 en
cas de succès et la valeur 0 en cas d'échec .
On a :
P(B=0)=1−p
et
p(B=1)= p
Cette variable aléatoire B suit la loi de Bernoulli de paramètre
p
.
Espérance de la loi de Bernoulli :
E(B)=p
Variance de la loi de Bernoulli :
V(B)=p−p2=p(1−p)
Ecart type de la loi de Bernoulli :
σ( B)
=
p−p2
=
p1−p
exemple 1 : une variable aléatoire B suit la loi de Bernoulli de paramètre
1
3
.
Sa loi est :
P(B=0)= 2
3
et
P(B=1)= 1
3
.
Son espérance est
1
3
; sa variance est
2
9
; son écart type est
2
3
.
2) Loi Binomiale
On répète
n
fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire
qui suit la loi de Bernoulli B à deux issues : S (succès) avec une probabilité
p
et
S
( échec ) avec une probabilité
1−p
. X est la variable aléatoire correspondant au nombre
de succès obtenus .
C'est la loi binomiale de paramètres n et p notée
Bn ; p
.
On remarque que :
p X=0 = 1−p
n
(une liste contenant 0 succès donc n échecs successifs)
p X=1 =n p 1−p
n−1
( n listes contenant 1 succès et n-1 échecs) .
p X=n =pn
(une liste contenant n succès) .
Notons
Nk
le nombre de listes contenant k succès , on a alors la loi de X qui est donné par :
p X=k =Nkpk 1−p
n−k
car il y a
Nk
listes contenant k succès et n-k échecs.
Les n+1 nombres
N0=1
,
N1=n
, ….
Nk
, ….,
Nn−1=n
,
Nn=1
sont appelés coefficients
binomiaux . (Ils ont été calculé par Pascal : triangle de Pascal ; utilisés également par Newton
dans le développement du binôme : calcul de
xy
n
) .
En BTSCGO , P(X=k) se détermine à la calculatrice dans le mode « distrib » (abréviation de
distribution) avec la fonction binomFdP (n,p,k) et
P(X⩽k)
se détermine avec la fonction
binomFreP(n,p,k).
D'autre part , notant Y la loi de Bernoulli de paramètre p , X est la somme de n lois de Bernoulli
identiques à Y .
X=Y+Y+...+Y donc E(X)=E(Y)+E(Y) +...+E(Y)=n E(Y)=n p
et V(X)=V(Y)+V(Y)+...+V(Y) =n p(1-p).

En résumé : E(X)= n p et V(X)=n p(1-p)
Exemple 1: la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n= 4 et
p=2
3
;
1) La loi de X se trouve en utilisant dans f(x) Y1=binomFdP (4,2/3,x) et faire un tableau de
valeurs avec valeur initiale à 0 et un pas de 1 .
k01234
p(X=k) 0,0123 0,0988 0,2963 0,3951 0,1975
2) Espérance , variance , écart type
E ( X ) =4 ( 2/3 ) =8/3≈2,67
;
V(X) = 4(2/3)(1/3)=8/9≈0,8889
donc
σ( X)≈0,94
.
3) Quelle est la probabilité que X soit inférieure ou égale à 3 ?
P(X⩽3) = 0,8025
en utilisant binomFreP(4,2/3,3)
4) Quelle est la valeur de
P ( X⩾2 )
?
P(X≥2)=1−P(X⩽1)
=1-0,1111=0,8889 en utilisant 1-binomFrep(4,2/3,1)
Exemple 2: Une urne contient 2 boules vertes et 3 boules rouges . On tire successivement et avec
remise 3 boules de l'urne . Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules vertes
tirées .
Question 1 : démontrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres .
Chaque tirage d'une boule suit une loi de Bernoulli de paramètre
2
5
correspondant à la
probabilité d'obtenir une boule verte (succès).
Cette expérience aléatoire est répétée 3 fois de manière successive et indépendante car le tirage est
successif et avec remise .
On en déduit que X suit la loi binomiale de paramètres n=3 et
p=2
5
.
Question 2 : Quelle est la probabilité d'obtenir une boule verte ?
La loi de X est :
k0123
p(X=k) 0,2160 0,4320 0,2880 0,0640
P(X=1)=0,432
Question 3: déterminer l'espérance de X , la variance et l'écart type de X
E ( X ) =3 ( 2/5 ) =1,2
;
V ( X ) =3 ( 2/5 ) ( 3/5 ) =0,72
;
σ( X)≈0,85
Question 4 : Quelle est la probabilité d'obtenir au plus deux boules vertes dans ce tirage ?
p ( X≤2 ) =0,936
Question 5 : Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule verte ?
p ( X≥2 ) =1−P ( X≤1 ) =1−0,648=0,352