Cours de Terminale S Géométrie et probabilités

Cours de Terminale S
Géométrie et probabilités
Éric ROUGIER
21 mai 2015
2
Table des matières
A Nombres complexes - Forme algébrique
I - Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . .
II - Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Premiers calculs géométriques . . . . . . . . . . . . .
3.
Interprétation géométrique du conjugué . . . . . . .
III - Calculs à l’aide du conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Propriétés des conjugués . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Inverse et quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV - Résolution dans C d’équations du second degré à coefficients
1.
Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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réels
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C Droites et plans de l’espace
I - Règles d’incidence : positions relatives de droites et de plans
1.
Position relative des plans et des droites de l’espace .
2.
Droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Plans parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Droites et plans parallèles . . . . . . . . . . . . . . .
II - Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Orthogonalité de deux droites . . . . . . . . . . . . .
2.
Droite perpendiculaire à un plan . . . . . . . . . . .
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B
Probabilités : Conditionnement et indépendance
I - Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . .
1.
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II - Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . .
1.
Partitionnement de l’univers . . . . . . . . .
2.
Arbres pondérés . . . . . . . . . . . . . . .
III - Évenements indépendants . . . . . . . . . . . . . .
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D Échantillonnage et estimation
I - Échantillonnage et loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . .
2.
Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II - Théorème de Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . .
III - Échantillonnage et intervalle de fluctuation asymptotique .
IV - Estimation et intervalle de confiance . . . . . . . . . . . .
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Terminale S
Chapitre
E Vecteurs de l’espace
I - Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II - Vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . .
III - Repères de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Repérage dans l’espace . . . . . . . . . . .
2.
Représentation paramétrique d’une droite
3.
Représentation paramétrique d’un plan . .
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F Nombres complexes - Forme trigonométrique
I - Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . .
1.
Définition, interprétation géométrique . .
2.
Propriétés des modules . . . . . . . . . . .
II - Forme trigonométrique d’un nombre complexe . .
1.
Arguments d’un nombre complexe non nul
2.
Forme trigonométrique . . . . . . . . . . .
3.
Propriétés des arguments . . . . . . . . .
III - Forme exponentielle d’un nombre complexe . . .
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G Produit scalaire dans l’espace
I - Rappels de première sur le produit scalaire dans le plan . .
1.
Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Droites et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II - Produit scalaire dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Repère orthonormé de l’espace . . . . . . . . . . . .
2.
Définition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . .
III - Orthogonalité dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Vecteurs orthogonaux, vecteurs normaux . . . . . . .
2.
Droites perpendiculaires (ou orthogonales) à un plan
3.
Plan perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Équations cartésiennes d’un plan . . . . . . . . . . .
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63
H Lois à densité
I - Variables aléatoires à densité . .
II - Loi uniforme . . . . . . . . . . .
III - Loi exponentielle . . . . . . . . .
IV - Lois normales . . . . . . . . . . .
1.
Loi normale N (0, 1) . . .
2.
Loi normale N (µ, σ 2 ) . .
3.
Lien entre loi binomiale et
. . . . . . .
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loi normale
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4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
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Chapitre
A
Nombres complexes - Forme algébrique
Ce que dit le programme
Contenus
Nombres complexes
Forme algébrique, conjugué. Somme, produit, quotient.
Équation du second degré à coefficients
réels.
Représentation géométrique.
Affixe d’un point, d’un vecteur.
Modalités de mise en oeuvre
Commentaires
• Effectuer des calculs algébriques avec des
nombres complexes.
• Résoudre dans C une équation du second
degré à coefficients réels.
• Représenter un nombre complexe par un
point ou un vecteur.
On introduit dans ce chapitre des éléments
lui donnant une dimension historique.
• Déterminer l’affixe d’un point ou d’un
vecteur.
5
Le plan est muni d’un repère orthonormé
(O; #»
u , #»
v ).
Terminale S
Chapitre A
I - Définitions
1. Forme algébrique
Théorème 1 Admis
Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes :
• il contient l’ensemble R des nombres réels ;
• l’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de
calcul restent les mêmes ;
• il existe un nombre complexe noté i tel que i2 = −1 ;
• tout nombre complexe z s’écrit de manière unique sous la forme z = a + ib où a et b sont des réels.
Exemples 1
1. Donner trois exemples de nombres complexes : Solution
2. Déterminer
les
nombres
complexes
solutions
2
z = −2 + 5i, z ′ = −3i et z ′′ =
de
√
2 sont des nombres complexes ;
x2 + 1
l’équation
=
0.
Solution
2
i et i sont les deux solutions complexes de l’équation x + 1 = 0 car x + 1 = (x − i)(x + i) ;
3. On considère les nombres complexes z = 1 + 2i et z ′ = −2 + 3i.
Écrire sous la forme algébrique les nombres z + z ′ , zz ′ , z 2 .
• (1 + 2i) + (−2 + 3i) = (1 − 2) + (2 + 3)i = −1 + 5i ;
• (1 + 2i)(−2 + 3i) = −2 + 3i − 4i + 6i2 = (−2 − 6) + (3 − 4)i = −8 − i ;
Solution
• z 2 = 12 + 2 × 1 × 2i + (2i)2 = 1 + 4i − 4 = −3 + 4i ;
4. Développer
2
les
2
expressions
(a
2
2
+
ib)2
et
(a
+
ib)(a
2
(a + ib) = a − b + 2abi et (a + ib)(a − ib) = a + b .
−
ib).
Solution
Définition 1
L’écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du nombre complexe z, et :
• a est la partie réelle de z, notée Re(z) ;
• b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).
Remarques :
• les parties réelles et imaginaires sont des nombres réels ;
• z est un nombre réel si, et seulement si Im(z) = 0 ;
• si Re(z) = 0 alors on dit que z est un imaginaire pur.
Exemple 2
On considère les nombres complexes z :
Déterminer Re(z) et√Im(z). √
√
• Re( 3 + i) =
Solution
√
3 + i; −4i; 2i2 ; 0; −2i2 + 3i.
3 et Im( 3 + i) = 1 ;
• Re(−4i) = 0 et Im(−4i) = −4 ;
• 2i2 n’est pas sous la forme algébrique : 2i2 = 2 × (−1) = −2, d’où Re(2i2 ) = −2 et Im(2i2 ) = 0 ;
• Re(0) = 0 et Im(0) = 0 (0 est l’unique nombre complexe qui est à la fois un réel et un imaginaire pur) ;
• −2i2 + 3i = −2 × (−1) + 3i = 2 + 3i, d’où Re(−2i2 + 3i) = 2 et Im(−2i2 + 3i) = 3.
Théorème 2
Soit z, z ′ ∈ C tels que z = a + ib et z ′ = a′ + ib′ alors :
• z = 0 si, et seulement si a = 0 et b = 0 ;
• z = z ′ si, et seulement si a = a′ et b = b′ .
Démonstration
Cette propriété découle de l’unicité de l’écriture d’un nombre complexe sous forme algébrique.
6 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Nombres complexes - Forme algébrique
Exemple 3
Résoudre dans C l’équation 2z + 3 = iz + i.
Solution 2z + 3 = iz + i ⇔ (2 − i)z = −3 + i ⇔ (4 + 1)z = (−3 + i)(2 + i) ⇔ 5z = −7 − i ⇔ z = −
7
1
− i. Donc S =
5
5
n
−
o
7
1
− i .
5
5
2. Conjugué d’un nombre complexe
Définition 2
On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib (avec a ∈ R et b ∈ R) le nombre complexe noté z de
forme algébrique a − ib. On écrit z = a − ib.
Exemples 4
1. Écrire
sous
forme
algébrique
les
nombres
complexes
1 − i,
1 − i = 1 + i, 3 + 2i = 3 − 2i, 2 = 2 et i = −i.
3 + 2i,
2
et
i.
Solution
2. Résoudre dans C l’équation z 2 = iz.
On pose z = a + ib avec a, b réels. On a z 2 = a2 − b2 et iz = b + ia.
ß
Solution
D’où z 2 = iz ⇔
2
a + 2abi − b = b
a = 2b
ß
ß
2
⇔
a=0
b=0
ou
a=0
b = −1
√
3
3
1
1
+ i;
− i} .
D’où S = {0; −i;
2
2
2
2
√

b =
1
2√
ou
a = 3
2
ou

b =
1
2 √
a = − 3
2
.
II - Interprétation géométrique
1. Représentation graphique
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O; #»
u , #»
v ).
Définition 3
À tout nombre complexe z = a + ib, on associe le point M de
coordonnées (a; b) (on le note souvent M (z)), on dit que :
• le point M est le point image du nombre complexe z.
On dit que z est l’affixe de M , on la note souvent zM .
#» = a #»
• le vecteur ω
u + b #»
v est le vecteur image du nombre
complexe z.
#» on la note souvent z #» ;
On dit que z est l’affixe de ω,
w
• le plan est alors appelé le plan complexe.
Im(z)
M (z)
b
#»ω
#»
v
O
#»
u
a
Re(z)
Remarques :
• un nombre réel est représenté par un point de l’axe des abscisses, cet axe est appelé axe des réels ;
• un nombre imaginaire pur est représenté par un point de l’axe des ordonnées appelé axe des imaginaires.
7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre A
Exemple 5
Placer dans le plan complexe les point Mk d’affixes respectives zk : z1 = 1 + 3i ; z2 = 3 + i ; z3 = −1 + 2i ;
z4 = 2 − i ; z5 = −2i ; z6 = i ; z7 = −2 ; z8 = −i − 3.
Im(z)
M1
×
M3
×
M6
M2
×
Solution
×
#»
v
×
O
M7
×
#»
u
Re(z)
M4
×
M8
M5
×
2. Premiers calculs géométriques
Propriété 1
#»
Soient #»
s et t d’affixes respectives z #»
s et z #»
t et k un réel. Alors :
#»
#»
(1) s + t a pour affixe z #»
s + z #»
t :
#»
#»
#»
z #»
s+t = zs + zt .
(2) k #»
s a pour affixe kz #»
s pour tout réel k :
zk #»
s.
s = kz #»
Démonstration
#»
#»
(1) si z = a + ib et z ′ = a′ + ib′ alors #»
s (a; b) et t (a′ ; b′ ) d’où #»
s + t (a + a′ ; b + b′ ), par suite ce vecteur a pour affixe
′
′
(a + a ) + i(b + b ) = z #s» + z #t» ;
(2) il suffit de remarquer que k(a + ib) = ka + i(kb) et que k #»
s (ka; kb) ;
Propriété 2
Soit A et B deux points d’affixes respectives zA et zB .
# »
(1) Le AB a pour affixe zB − zA :
# » = zB − zA .
zAB
(2) Si I est le milieu du segment [AB], alors I a pour affixe
zI =
zA + zB
:
2
zA + zB
.
2
Démonstration
# » # » # »
# »
(1) Puisque AB = OB − OA l’affixe de AB est zB − zA ;
zA + zB
xA + xB y A + y B
(2) Les coordonnées de I sont
, son affixe est alors
;
;
2
2
2
M (z)
×
Remarque : M a pour affixe z et M ′ a pour affixe z ′ si, et seulement si le point
S d’affixe z + z ′ est le quatrième point du parallélogramme OM SM ′ .
S(z + z ′ )
×
#»
v
#»
u
O
M ′ (z ′ )
8 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Nombres complexes - Forme algébrique
3. Interprétation géométrique du conjugué
Dans le plan complexe, le point M ′ d’affixe z est l’image
du point M d’affixe z par la symétrie par rapport à l’axe
des abscisses.
M2 (−z)
M (z)
×
×
#»
v
O
×
M1 (−z)
#»
u
×
M ′ (z)
III - Calculs à l’aide du conjugué
1. Propriétés des conjugués
Propriété 3
Pour tout nombre complexe de forme algébrique z = a + ib, on a :
z+z
;
2
z−z
• Im(z) =
;
2i
• z = z;
• Re(z) =
• zz = a2 + b2 .
Démonstration
z+z
a + ib + a − ib
=
= a = Re(z) ;
2
2
a + ib − a + ib
2ib
z−z
=
=
= b = Im(z) ;
•
2i
2i
2i
• z = a − ib = a + ib = z ;
•
• zz = (a + ib)(a − ib) = a2 − (ib)2 = a2 + b2 .
Conséquences
• z est un réel si, et seulement si z = z ;
• z est un imaginaire pur si, et seulement si z = −z ;
• z = 0 si, et seulement si zz = 0.
Propriété 4
z et z ′ sont deux complexes et n un entier naturel non nul.
• z + z′ = z + z′ ;
• zz ′ = z × z ′ ;
• z n = (z)n ;
9 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre A
Démonstration
Soit z et z ′ deux nombres complexes de forme algébrique a + ib et a′ + ib′ respectivement.
• Comme z + z ′ = (a + a′ ) + i(b + b′ ), alors z + z ′ = (a + a′ ) − i(b + b′ ), donc z + z ′ = z + z ′ .
• Comme zz ′ = (aa′ − bb′ ) + i(ab′ + a′ b), alors zz ′ = (aa′ − bb′ ) − i(ab′ + a′ b).
Or, z × z ′ = (a − ib)(a′ − ib′ ) = aa′ − iab′ − ia′ b − bb′ = (aa′ − bb′ ) − i(ab′ − a′ b). Donc zz ′ = z × z ′ .
• Par récurrence, lorsque n = 1, on a z 1 = z = z 1 .
Supposons que pour un entier k > 1 on ait : z k = (z)k .
Or, z k+1 = z k × z = z k × z. D’après l’hypothése de récurrence, on a z k+1 = z k × z = z k+1 .
Donc pour tout entier naturel n 6= 0, on a : z n = (z)n
Exemple 6
a, b et c sont des nombres réels.
Montrer que si z0 est solution de l’équation az 2 + bz + c = 0 alors z0 est aussi solution de cette équation.
2
2
2
Solution Puisque az0 + bz0 + c = 0, on a aussi az0 + bz0 + c = 0 et d’après la propriété 3 : az0 + bz0 + c = 0 car a, b et c sont des
réels. Par conséquent z0 est solution de cette équation.
2. Inverse et quotient
Théorème 3
Tout nombre complexe non nul z de forme algébrique admet un inverse noté
1
, de plus :
z
z
1
=
.
z
zz
Démonstration
Soit z un nombre complexe non nul, on a zz ∈ R∗ , de plus z ×
z
.
Par conséquent z admet pour inverse le nombre
zz
z
zz
=z×
1
1
×z =
zz = 1.
zz
zz
Exemple 7
Déterminer
l’écriture
algébrique
de
1
1(2 + i)
2+i
2
1
=
=
= + i;
2−i
(2 − i)(2 + i)
4+1
5
5
l’inverse
du
nombre
complexe
2 − i.
Solution
1+i
.
1 − 3i
Solution
Définition 4
Soit z et z ′ deux nombres complexes avec z ′ 6= 0.
z
1
Le quotient de z par z ′ est le nombre compexe ′ = z × ′ .
z
z
Exemple 8
Déterminer
l’écriture
sous
1+i
(1 + i)(1 + 3i)
1 + 3i + i +
=
=
1 − 3i
(1 − 3i)(1 + 3i)
1+9
forme
3i2
=
algébrique
du
nombre
complexe
:
−2 + 4i
1
2
= − + i.
10
5
5
Propriété 5
z et z ′ sont deux nombres complexes avec z non nul. Alors :
Å
1
z′
ã
=
1
et
z′
Å
z
z′
ã
=
z
.
z′
Démonstration
1
1
× z ′ = 1, on a ′ × z ′ = 1, d’où
z′
z
Äzä 1
1
1
z
=
z
×
z
×
=
= z × ′ = ′.
De plus,
z′
z′
z′
z
z
Si z ′ 6= 0, alors z ′ 6= 0. Comme
1
z′
× z ′ = 1. Donc
10 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
1
z′
=
1
.
z′
Terminale S
Nombres complexes - Forme algébrique
IV - Résolution dans C d’équations du second degré à coefficients réels
1. Deux exemples
• Résolution dans C de l’équation z 2 + 2 = 0
z2 + 1 = 0
⇔
⇔
Solution
⇔
√ √
Donc S = {−i 2; i 2}.
√
z 2 − (i 2)2 = 0
√
√
(z − i 2)(z + i 2) = 0
√
√
z = i 2 ou z = −i 2.
• Résolution dans C de l’équation z 2 + 2z + 30 = 0
z 2 + 2z + 30 = 0
⇔
⇔
Solution
⇔
⇔
z 2 + 2z + 1 − 1 + 30 = 0
(z + 1)2 + 29 = 0
√
(z + 1)2 − (i 29) = 0
√
√
(z + 1 + i 29)(z + 1 − i 29) = 0.
√
√
Donc S = {−1 − i 29; −1 + i 29}.
2. Cas général
Théorème 4
Soit l’équation az 2 + bz + c = 0, d’inconnue z, où a, b et c sont des réels et a 6= 0.
Le discriminant de cette équation du second degré est ∆ = b2 − 4ac.
• Si ∆ > 0, l’équation admet deux solution réelles distinctes :
√
√
−b + ∆
−b − ∆
ou z2 =
;
z1 =
2a
2a
−b
;
2a
• So ∆ < 0, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées distinctes :
√
√
−b + i −∆
−b − i −∆
ou z2 =
.
z1 =
2a
2a
• Si ∆ = 0, l’équation admet une unique solution réelle double : z0 =
Démonstration
On considère l’équation az 2 + bz + c = 0, où a, b et c sont des réels et a 6= 0 et l’on pose f (z) = az 2 + bz + c ; la forme canonique
de f (z) est :
ï
ò
b 2
∆
f (z) = a z +
−
, avec ∆ = b2 − 4ac.
2a
4a
• Si ∆ > 0, on est dans le cas étudié en Première S.
√
√
• Si ∆ < 0, alors : ∆ = −(−∆) = i2 ( −∆)2 = (i −∆)2 ar −∆ > 0.
ô
ñ
Å√
Å
ã2
ãÅ
ã
√
√
i −∆
b − i −∆
b 2
b + i −∆
−
=a z+
Ainsi f (z) = a z +
z+
.
2a
2a
2a
2a
√
√
−b − i −∆
−b + i −∆
ou z =
.
Par suite, puisque a 6= 0, f (z) = 0 ⇔ z =
2a
2a
11 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre A
Exemple 9
Résoudre dans C l’équation z 2 + 2z + 3 = 0.
√
Le discriminant de l’équation est ∆ = 4 − 12 = −8 = (2i 2)2 .
L’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
Solution
z1 =
√
√
√
−2 + i 2
= −1 + i 2 et z2 = z1 = −1 − i 2.
2
√
√
L’ensemble des solution est {−1 − i 2; −1 + i 2}.
12 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Chapitre
B
Probabilités : Conditionnement et indépendance
Ce que dit le programme
Capacités attendues
Conditionnement et indépendance
Conditionnement par un événement de
probabilité non nulle.
Notation PA (B).
Indépendance de deux événements.
Commentaires
• Construire un arbre pondéré en lien avec
une situation donnée.
• Exploiter la lecture d’un arbre pondéré
pour déterminer des probabilités.
• Calculer la probabilité d’un événement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l’univers.
On représente une situation à l’aide d’un
arbre pondéré ou d’un tableau. On énonce
et on justifie les règles de construction et
d’utilisation des arbres pondérés.
Démontrer que si deux événements A
et B sont indépendants, alors il en est de
même de A et B.
Cette partie du programme se prête
particulièrement à l’étude de situations
concrètes.
Un arbre pondéré correctement construit
constitue une preuve.
Le vocabulaire lié à la formule des probabilités totales n’est pas un attendu du programme, mais la mise en œuvre de cette
formule doit être maîtrisée.
⋄ Des activités algorithmiques sont menées
dans ce cadre, notamment pour simuler
une marche aléatoire.
⇆ [SVT] Hérédité, génétique, risque génétique.
13
Terminale S
Chapitre B
I - Probabilités conditionnelles
Soit Ω = {e1 ; e2 ; ...; en } un univers fini sur lequel est défini une loi de probabilité.
1. Définitions
Définition 1
Soit A ⊂ Ω un événement tel que P (A) 6= 0.
Pour tout événement B ⊂ Ω, on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le réel noté PA (B)
défini par :
P (A ∩ B)
.
PA (B) =
P (A)
Théorème 1
Lorsque à chaque issue x ∈ Ω on associe le réel PA ({x}), on définit une loi de probabilité sur Ω et PA est la
probabilité associée à cette loi.
Démonstration
Il faut démontrer que :
(i) PA ({x}) > 0 pour tout x ∈ Ω.
(ii)
X
PA ({x}) = 1.
x∈Ω
Allons y :
(i) Soit x ∈ Ω, PA ({x}) =
(ii)
X
PA ({x}) =
x∈Ω
X
P (A ∩ {x})
. Or, P (A ∩ {x}) > 0 et P (A) > 0 car P est une probabilité, d’où PA ({x}) > 0.
P (A)
PA ({x}) +
x∈A
X
PA ({x}) car Ω = A ∪ A et A ∩ A = ∅ (on dit que A et A forment une partition de Ω).
x∈A
P (∅)
P ({x})
. Si x ∈ A alors A ∩ {x} = ∅ et PA ({x}) =
= 0.
P (A)
P (A)
X P ({x})
X
X
1
1
PA ({x}) =
Donc
=
P (A) = 1.
P ({x}) =
P (A)
P (A)
P (A)
Or, si x ∈ A alors A ∩ {x} = {x} et PA ({x}) =
x∈Ω
x∈A
x∈A
Exemple 1
On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants :
A : «le résultat est pair» ;
B : «le résultat est un multiple de 3 ».
Calculer PA ({2}), PA ({5}) et PA (B).
P (A) ∩ {2}
1/6
1
=
= car A ∩ {2} = {2}.
P (A)
1/2
3
Solution
P (A ∩ B)
1/6
1
0
car {5} ∩ A = ∅ et PA (B) =
=
= .
PA ({5}) =
1/2
P (A)
3/6
3
On a : PA ({2}) =
2. Propriétés
Propriété 1
Soit A et B deux événements de Ω tels que P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0.
On a : P (A ∩ B) = PA (B) × P (A) = PB (A) × P (B).
Démonstration
PA (B) =
P (B ∩ A)
P (A ∩ B)
et PB (A) =
.
P (A)
P (B)
14 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Probabilités : Conditionnement et indépendance
Propriété 2
Soit A, B et C trois événements de Ω avec P (A) 6= 0.
(1) Si A et B sont incompatibles alors PA (B) = 0.
(2) PA (A) = 1.
(3) Si C ⊂ B alors PA (C) 6 PA (B).
(4) PA (B ∪ C) = PA (B) + PA (C) − PA (B ∩ C).
(5) PA (B) + PA (B) = 1.
Démonstration
(1) A et B sont incompatibles lorsque A ∩ B = ∅. Dans ce cas P (A ∩ B) = 0 et PA (B) = 0. (2), (3) et (4) résultent du fait que
PA est une probabilité.
Exemple 2
On considère une urne contenant 4 boules bleues et 5 boules noires indiscernables au toucher.
On effectue deux tirages successifs d’une boule sans remise et on considère les événements suivants :
A : «la première boule tirée est bleue» ;
B : «la deuxième boule tirée est noire».
Calculer P (A), PA (B), puis P (A ∩ B).
4
.
9
5
Solution Si A est réalisé alors il reste 3 boules bleues et 5 noires dans l’urne, c’est-à-dire 5 boules noires sur 8 boules. Donc PA (B) = .
8
4
5
5
On en déduit : P (A ∩ B) = PA (B) × P (A) = × =
.
9
8
18
On est dans une situation d’équiprobabilité, donc P (A) =
II - Formule des probabilités totales
1. Partitionnement de l’univers
Définition 2
On dit que k événements A1 , A2 . . . , Ak (avec k > 2) forment une partition de l’univers Ω lorsque les trois
conditions suivantes sont vérifiées :
(1) pour tout i ∈ {1; 2; . . . ; k}, Ai 6= ∅ ;
(2) A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak = Ω ;
(3) pour tout i, j ∈ {1; 2; . . . ; k} avec i 6= j, Ai ∩ Aj = ∅ (les événements Ai et Aj sont incompatibles).
Ω
A2
A1
Ak
A3
Remarques :
(1) Si A 6= Ω et A 6= ∅ alors A et A forment un partition de Ω.
(2) Si A1 , A2 , . . . , Ak forment une partition de Ω alors P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (Ak ) = 1.
15 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre B
Théorème 2 Formule des probabilités totales
Soit A1 , A2 , . . . , Ak , k événements de probabilité non nulle formant une partition de Ω. Alors pour tout
événement B de Ω, on a :
P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B) + . . . + P (Ak ∩ B)
= PA1 (B) × P (A1 ) + PA2 (B) × P (A2 ) + . . . + PAk (B) × P (Ak )
Démonstration
Ω
On a : B = (A1 ∩ B) ∪ (A2 ∩ B) + . . . + (Ak ∩ B).
Or, pour i, j ∈ {1; 2; . . . ; k} avec i 6= j, Ai et Aj sont incompatibles, donc
Ai ∩ B et Aj ∩ B aussi.
Par suite, il vient :
A2
A1
Ak
P (B)
A3
=
=
P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B) + . . . + P (Ak ∩ B)
PA1 (B) × P (A1 ) + PA2 (B) × P (A2 ) + . . . + PAk (B) × P (Ak )
d’après la propriété 1.
B
Exemple 3
Un client entre dans une animalerie ayant deux aquariums que l’on notera A et B. Dans l’aquarium A, il y a
5 poissons rouges et 6 noirs, dans l’aquarium B, il y en a 9 rouges et 3 noirs.
Le client choisi un aquarium, puis pèche un poisson au hasard dans cet aquarium. La probabilité que le client
3
choisisse l’aquarium A est .
5
Calculer la probabilité que le client achette un poisson rouge.
L’univers Ω est constitué des 23 poissons contenus dans les deux aquariums. On note les événements suivants :
A : «le poisson provient de l’aquarium A» ;
B : «le poisson provient de l’aquarium B». ;
Solution
R : «le poisson est rouge ».
2
3
et P (B) = . Il est clair que les événements A et B forment une partition de Ω.
5
5
D’après la formule des probabilités totales : P (R) = PA (R) × P (A) + PB (R) × P (B)
5
3
9
2
63
=
× +
× =
≈ 0, 57
11
5
12
5
110
On cherche P (R) et on connait P (A) =
2. Arbres pondérés
Voici un exemple d’arbre pondéré d’une expérience aléatoire dont les événements A,
B et C forment une partition de Ω. Les événements E et E forment une partition de
A, de B et de C. Sur les branches de l’arbre, on note la probabilité de l’événement
qui se trouve à son extrémité (pour les branches primaires) ou la probabilité conditionnelle de l’événement qui se trouve à son extrémité sachant que l’événement situé
à son origine a été réalisé.
Les règles suivantes doivent-être vérifiées (elles sont justifiées par la formule des
probabilités totales) :
(1) La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est
b
égale à 1.
Par exemple : PA (E) + PA (E) =
Par exemple : P (A ∩ E) = P (A) × PA (E).
(3) La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de tous les chemins
menant à un sommet où apparaît cet événement.
=
=
P (A ∩ E) + P (B ∩ E) + P (C ∩ E)
P (A) × PA (E) + P (B) × PB (E) + P (C) × PC (E).
16 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
bE
b
P (A)
PA (E)
PB (E)
P (B)
B
PB (E)
PC (E)
P (C)
bE
bE
b
P (A ∩ E) + P (A ∩ E)
P (A)
=
= 1.
P (A)
P (A)
(2) La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités figurant sur ses
branches.
Par exemple : P (E)
PA (E)
A
C
bE
bE
b
PC (E)
bE
Terminale S
Probabilités : Conditionnement et indépendance
Exemple 4
Représenter la situation décrite dans l’exemple des aquariums par un arbre pondéré.
A
b
bR
5/11
6/11
3/5
bR
b
Solution
2/5
B
b
bR
9/12
3/12
bR
III - Évenements indépendants
Définition 3
On dit que deux événements A et B de Ω sont indépendants pour la probabilité P lorsque :
P (A ∩ B) = P (A) × P (B).
Remarque : Pour tout événement A ⊂ Ω :
• A et Ω sont indépendants car P (A ∩ Ω) = P (A) = P (A) × P (Ω).
• A et ∅ sont indépendants car P (A ∩ ∅) = P (∅) = 0 = P (A) × P (∅).
Exemple 5
On lance un dé équilibré à six faces et on note le numéro de sa face supérieure. On considère les événements
suivants :
A : «le numéro est un nombre pair » ;
B : «le numéro est 2» ;
C : «le numéro est un nombre supérieur ou égal à 5».
Les événements A et B sont-ils indépendants ? Et les événements A et C ?
On a : P (A) =
1
6
1
P (A ∩ C) =
6
Solution P (A ∩ B) =
1
1
1
; P (B) = ; P (C) = . De plus,
2
6
3
1
et P (A) × P (B) =
donc A et B ne sont pas indépendants.
12
1
et P (A) × P (C) = donc A et C sont indépendants.
6
Propriété 3
Soit A et B deux événements de Ω de probabilité non nulle.
(1) A et B sont indépendants si, et seulement si PA (B) = P (B).
(2) A et B sont indépendants si, et seulement si PB (A) = P (A).
Démonstration
(1) A et B sont indépendants ⇔ P (A ∩ B) = P (A) × P (B) ⇔
P (A ∩ B
= P (A) ⇔ PB (A) = P (A).
P (B)
(2) Idem.
Propriété 4
Si A et B sont deux événements indépendants alors A et B ; A et B ou bien A et B sont indépendants.
Démonstration
D’après la formule des probabilités totales P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B). Si A et B sont indépendants, on a P (A ∩ B) =
P (A) − P (A) × P (B) = P (A)(1 − P (B)) = P (A) × P (B). En remplaçant A par B, on obtient le deuxième résultat et en utilisant
ce résultat avec A et B on obtient le troisième résultat.
17 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre B
18 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Chapitre
C
Droites et plans de l’espace
Ce que dit le programme
Capacités attendues
Commentaires
Droites et plans
Positions relatives de droites et de plans :
intersection et parallélisme.
• Étudier les positions relatives de droites
et de plans.
Orthogonalité :
— de deux droites ;
• Établir l’orthogonalité d’une droite et
d’un plan.
— d’une droite et d’un plan.
19
Le cube est une figure de référence pour
la représentation des positions relatives de
droites et de plans.
On étudie quelques exemples de sections
d’un plan. Ce travail est facilité par l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique.
Terminale S
Chapitre C
I - Règles d’incidence : positions relatives de droites et de plans
1. Position relative des plans et des droites de l’espace
Deux plans distincts
Plans disjoints : intersection vide
Plans sécants : une droite d’intersection
Propriété 1 (Admise)
Soit P et Q deux plans sécants.
Si les points A et B (distincts) appartiennent au plan P et au plan Q alors la section des plans P et Q est
la droite (AB).
Un plan et une droite (non contenue dans le plan)
b
Droite et plan disjoints :
intersection vide
Droites et plans sécants :
un point d’intersection
Remarque : Une droite et un plan sont parallèles lorsque soit la droite est incluse dans ce plan, soit ils sont
disjoints.
Deux droites distinctes
b
Droites coplanaires parallèles :
intersection vide
Droites non coplanaires :
intersection vide
20 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Droites sécantes :
un seul point d’intersection
Terminale S
Droites et plans de l’espace
Exemple 1
ABCDEF GH est parallélépipède rectangle.
H
b
E
b
b
b
b
1. a) deux plans disjoints.
b) deux plans sécants et leur section.
F
D
2. a) une droite et un plan disjoints.
b
b
Sans justification, citer :
G
b
C
M
b) une droite et un plan sécants et leur intersection.
3. a) deux droites disjointes.
b
A
b) deux droites non coplanaires.
B
c) deux droites sécantes et leur intersection.
1. a) (EF H) et (ABD).
b) (EF H) et (DCG) de section (HG) : (EF H ∪ (DCG) = (HG).
2. a) (EF H) et (AB), ils sont parallèles.
Solution
b) (EF H) et (GC) sont sécants en G : (EF H) ∪ (GC) = {G}.
3. a) (EF ) et (AB), elles sont parallèle ou bien (EF ) et (BC) elles sont non coplanaires.
b) (EF ) et (BC).
c) (AB) et (BC) sont sécantes en B : (AB) ∪ (BC) = {B}.
2. Droites parallèles
Propriété 2 (Admise)
(1) Si deux droites sont parallèles alors toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
(2) Si deux droites sont parallèles alors tout plan qui coupe l’une coupe l’autre.
Exemple 2
En appliquant cette propriété, justifier que dans le pavé droit ABCDEF GH :
1. les droites (AB) et (HG) sont parallèles ;
2. le plan (EGB) et la droite (DC) sont sécants, puis construire en argumentant la démarche cette intersection.
1. Les faces étant des rectangles, (AB) est parallèle à (EF ) qui elle même est parallèle à (HG), ainsi (AB) est parallèle
à (HG).
Solution
2. Les droites (DC) et (AB) sont parallèles et la droite (AB) est sécante en B avec le plan (EGB), ainsi ce plan coupe
également la droite (DC). Si on note N le milieu de [BG] donc de [F C] également, les droites (EN ) et (DC) sont
coplanaires et sécantes en M . Ce point étant sur (EN ) qui est contenue dans (EGB), il appartient bien à (EGB) et
(AD).
3. Plans parallèles
Propriété 3 (Admise)
(1) Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l’un est parallèle à l’autre.
(2) Étant donnés un plan P et un point A de l’espace.
Il existe un unique plan P ′ parallèle à P passant par A.
(3) Étant donnés deux plans P et P ′ parallèles :
• toute droite d qui coupe l’un coupe l’autre ;
• tout plan Q qui coupe l’un coupe l’autre et les droites ∆ et ∆′ d’intersection sont parallèles. (voir
la figure )
21 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre C
b
A
P est le plan parallèle à P passant par le point A.
La droite d non incluse dans P ′ passant par A (c’est-à-dire sécante en A avec P ′ )
est également sécante avec P.
P′
b
∆ est incluse dans les plans P et Q : Q ∩ P = ∆.
∆′ est incluse dans les plans P ′ et Q : Q ∩ P ′ = ∆′ .
∆′
P
Par conséquent : ∆ et ∆′ sont parallèles.
∆Q
Propriété 4
Si un plan P contient deux droites sécantes et parallèles à un plan P ′ , alors les plans P et P ′ sont parallèles.
Démonstration
Notons ∆ et ∆′ les droites sécantes de P parallèles à P ′ .
Raisonnons par l’absurde : supposons que les plans P et P ′ ne soient pas parallèles, c’est-à-dire sécants suivant une droite d.
Cette droite est alors incluse dans P donc sécante à au moins l’une des deux (dans le cas contraire elle serait parallèle aux deux
qui le serait aussi, ce qui est contraire à l’hypothèse) : on arrive donc à une contradiction avec l’hypothèse que les droites ∆ et ∆′
soient parallèles à P ′ . Notre supposition est donc absurde, c’est donc le contraire qui est vrai : les plans P et P ′ sont parallèles.
4. Droites et plans parallèles
Propriété 5 (Admise)
Étant donnés deux plans parallèles.
Toute droite contenue dans un des plans est parallèles à l’autre plan.
Les plans P et P ′ sont parallèles.
Puisque d ⊂ P on peut affirmer que la droite d et le plan P ′ sont
parallèles.
P′
P
Propriété 6
Étant donnés deux droites parallèles.
Tout plan contenant l’une des droites est parallèle à l’autre.
d′
Les droites d et d′ sont parallèles.
d
Puisque d ⊂ P on peut affirmer que le plan P est parallèle à la droite
d′
P
22 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Droites et plans de l’espace
Démonstration
Dans le cas où d′ appartient à P, le résultat est immédiat.
Considérons maintenant le cas où d′ n’est pas incluse dans P.
Raisonnons par l’absurde : on suppose que d′ coupe P et notons M le point d’intersection de d′ et P. La parallèle D à d passant
par M est incluse dans P, comme D//d et d//d′ , on en déduit que D//d′ , puisque M appartient à ce deux droites, elles sont
confondues, et d′ est incluse dans P ce qui est absurde, car on est dans le cas où d′ n’est pas incluse dans P. On en déduit que
d′ et P sont disjoints : donc parallèles.
Remarque : Grâce à cette propriété, pour montrer qu’une droite est parallèle à un plan, il suffit de trouver
une droite de ce plan parallèle à cette droite.
Théorème 1 Théorème du toit
Étant donnés deux deux plans P et P ′ sécants suivant une droite ∆, d une droite du plan P et d′ un droite
du plan P ′ .
Si d et d′ sont parallèles alors ces deux droites sont aussi parallèles à l’intersection ∆.
∆
d′
P′
d
P
P et P sont sécants suivants la droite ∆ : P ∩ P ′ = ∆.
d est incluse dans P : d ⊂ P et d′ est incluse dans P ′ : d′ ⊂ P ′ .
Puisque d et d′ sont parallèles on peut affirmer que d et d′ sont
parallèles à ∆.
Démonstration
Si d et d′ sont confondues, alors elles sont aussi confondues avec ∆ donc parallèles avec elle.
Considérons maintenant le cas où d et d′ sont strictement parallèles.
Raisonnons par l’absurde : on suppose que ∆ et d sont sécantes en M . Ainsi, puisque sur ∆, M est aussi un point de P ′ . M
n’appartenant pas à d′ (en effet d et d′ sont strictement parallèles) M et d′ définissent le plan P ′ . Mais puisque d et d′ sont
parallèles, d est parallèle au plan P ′ et passe par M , elle est donc incluse dans P ′ , ainsi P et P ′ sont sécants suivant la droite d,
alors confondue avec ∆, ce qui contredit le fait que d et ∆ soient sécantes. En conclusion, elles ne sont pas sécantes, mais comme
elles sont coplanaires, elles sont parallèle. Par suite, ∆ est aussi parallèle à d′ car d et d′ sont parallèles.
Exemple 3
ABCDEF GH étant le parallélépipède rectangle de l’exemple 1, I et J sont les centres respectifs des faces
EF GH et ABCD.
En utilisant le théorème du toit, montrer que la droite (IJ) est parallèle au plan (ABE).
Les plans (BDHF ) et (ACGE) sont sécants suivant la droite (IJ), de plus (BF ) ⊂ (BDHF ) et (AE) ⊂ (ACGE).
Solution Puisque (BF ) et (AE) sont parallèles, d’après le théorème du toit les droites (AE) et (BF ) sont parallèles à la droite (IJ).
De plus d’après la propriété 6, (IJ) est parallèle au plan (ABF E).
II - Orthogonalité
1. Orthogonalité de deux droites
Définition 1
Deux droites de l’espace sont dites orthogonales lorsque leurs parallèles respectives menées par un point
quelconque de l’espace sont perpendiculaires.
Exemple 4
En utilisant la figure des exemples précédents, justifier que :
1. les droites (EF ) et (EH) sont orthogonales ;
2. les droites (EA) et (DC) sont orthogonales.
1. les droites (EF ) et (EH) sont orthogonales car elles sont coplanaires et dans le plan (EF H) elles sont perpendiculaires.
Solution
2. les droites (EA) et (DC) sont orthogonales car si on mène par exemple la parallèle à (DC) passant par A, c’est-à-dire
la droite (AB), cette dernière est perpendiculaire à la droite (EA) dans le plan (EAB).
Remarque : Dans l’espace, bien que toutes droites perpendiculaires soient orthogonales, la réciproque est
fausse :
23 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre C
• deux droites perpendiculaires sont coplanaires et sécantes ;
• deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et, par conséquent, pas nécessairement
sécantes.
2. Droite perpendiculaire à un plan
Définition 2
On dit qu’une droite est perpendiculaire ou orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les
droites de ce plan.
Théorème 2
d
Pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu’elle soit perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan.
P
Démonstration
Voir le chapitre sur le produit scalaire dans l’espace. Activité 2 page 292 à l’aide du théorème de la médiane.
Exemple 5
Dans le parallélépipède rectangle ABCDEF GH, montrer que les droites (AE) et (HF ) sont orthogonales.
Solution
En prenant à nouveau la figure de l’exemple 2, la droite (AE) est orthogonale aux droites (EF ) et (EH), donc perpendiculaire
au plan (EF H), on en déduit qu’elle est orthogonale par exemple à la droite (HF ) du plan (EF H).
Remarque : Dans le théorème précédent, l’hypothèse que les droites sont sécantes est essentielle. Par exemple,
dans la figure de l’exemple 2, la droite (AE) est orthogonale aux droites (HG) et (DC), mais elle n’est pas
perpendiculaire au plan (DCG).
d
Définition 3
Deux plans sont perpendiculaires lorsque l’un d’eux contient une droite perpendiculaire à l’autre.
24 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
P
Chapitre
D
Échantillonnage et estimation
Ce que dit le programme
Contenus
Modalités de mise en oeuvre
Commentaires
Démontrer que si la variable aléatoire
Xn suit la loi B(n, p), alors,
α
pour tout
Xn
∈ In =
dans ]0; 1[ on a, lim P
n→+∞
n
1 − α,p où In désigne
ô
ñ
p l’intervalle
p(1 − p)
p(1 − p)
√
√
.
; p + uα
p − uα
n
n
• Connaître l’intervalle de fluctuation
au seuilp
de 95 % ô
:
ñ asymptotique(*)
p
p(1 − p)
p(1 − p)
√
√
; p + 1, 96
p − 1, 96
n
n
où p désigne la proportion dans la population.
La démonstration ci-contre donne l’expression d’un intervalle de fluctuation asymptotique(*) au seuil 1−α de la variable aléaXn
toire fréquence Fn =
qui, à tout échann
tillon de taille n, associe la fréquence obtenue f .
Intervalle de fluctuation
Estimation
Intervalle de confiance (*).
• Estimer par intervalle une proportion inconnue à partir d’un echantillon.
Niveau de confiance
• Déterminer une taille d’échantillon suffisante pour obtenir, avec une précision donnée, une estimation d’une proportion au niveau de confiance 0, 95.
25
Avec les exigences usuelles de précision, on
pratique cette approximation dès que n >
30, np > 5 et n(1 −pp) > 5.
En majorant 1, 96 p(1 − p), on retrouve
l’intervalle de fluctuation présenté en classe
de seconde.
La problématique de prise de décision, déjà
rencontrée, est travaillée à nouveau avec
l’intervalle de fluctuation asymptotique.
Les attendues de ce paragraphe sont modestes et sont à exploiter en lien avec les
autres disciplines.
Il est intéressant de démontrer que,
pour
une valeur deò p fixée, l’intervalle
ï
1
1
contient, pour n asFn − √ ; Fn + √
n
n
sez grand, la proportion p avec une probabilité au moins égale à 0, 95.
On énonce
ï alors que p est òélément de l’in1
1
tervalle f − √ ; f + √
avec un niveau
n
n
de confiance de plus de 95 %, où f désigne
la fréquence observée sur un échantillon de
taille n.
Avec les exigences usuelles de précision, on
utilise cet intervalle dès que n > 30, np > 5
et n(1 − p) > 5.
La simulation de sondages sur tableur permet de sensibiliser aux fourchettes de sondage.
Il est important de noter que, dans
d’autre
champs,
on utilise p
l’intervalle ô
ñ
p
f (1 − f )
f (1 − f )
√
√
; f + 1, 96
f − 1, 96
n
n
qu’il n’est pas possible de justifier dans ce
programme.
Terminale S
Chapitre D
⇆ [SVT] Analyse de graphiques où les données sont fournies par des intervalles de
confiance.
AP
○ Prise de décision lors de la comparaison de deux proportions (par exemple lors
d’un essai thérapeutique).
(*)Avec les notations précédentes :
Un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire Fn au seuil 1 − α est un intervalle déterminé à
partir de p et de n et qui contient Fn avec une probabilité d’autant plus proche de 1 − α que n est grand.
Un intervalle de confiance pour une proportion p à un niveau de confiance 1 − α est la réalisation, à partir d’un
échantillon, d’un intervalle aléatoire contenant la proportion p avec une probabilité supérieure ou égale à 1 − α,
intervalle aléatoire déterminé à partir de la variable aléatoire fréquence Fn qui, à tout échantillon de taille n, associe
la fréquence.
Les intervalles de confiance considérés ici sont centrés en la fréquence observée f .
26 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Échantillonnage et estimation
I - Échantillonnage et loi binomiale
1. Description de la méthode
Dans une population donnée, on suppose qu’un caractère est présent dans la proportion p. On prélève au hasard
avec remise, un échantillon de taille n. Que peut-on dire de la fréquence f du caractère sur cet échantillon ?
En classe de seconde
On a observé que sur un grand
nombre d’échantillons
de taille n simulés, 95 % au moins fournissent une fréquence f
ô
ñ
1
1
appartenant à l’intervalle p − √ ; p + √ , sous certaines conditions de n et p. Traduit en terme de probabilité,
n
n
on dispose alors du résultat suivant :
Théorème 1
Pour n > 25 et 0, 2 6 p 6 0, 8, lorsqu’on prélève au hasard un échantillon de taille n dans une population
où
caractère est p, la fréquence f du caractère sur cet échantillon appartient à l’intervalle
ô
ñ la proportion d’un
1
1
avec une probabilité égale à 0, 95.
p − √ ;p + √
n
n
En classe de première
Le tirage au hasard dans la population d’un individu qui peut présenter un caractère avec une probabilité p est
une épreuve de Bernoulli de paramètre p, où le succès est l’issue : «l’individu possède le caractère».
Le prélèvement au hasard avec remise d’un échantillon de taille n dans cette population est un schéma de Bernoulli
de paramètre n et p, et la variable aléatoire Xn , qui compte le nombre de succès, c’est-à-dire le nombre d’individu
présentant le caractère, suit la loi binomiale B(n; p).
Xn
représente alors «la fréquence théorique» du succès sur un échantillon de taille n.
La variable aléatoire Fn =
n
ô
å
ñ
Ç
1
1
1
1
est un
> 0, 95 et on dit que p − √ ; p + √
D’après le résultat de seconde, on a P p − √ 6 Fn 6 p + √
n
n
n
n
intervalle de fluctuation de Fn au seuil de 95 %.
Définition 1
X
la variable aléatoire qui représente
n
la fréquence théorique du succès. Un intervalle de fluctuation associé à X au seuil de 95 % est un intervalle :
ï
ò
a b
• de la forme
; , où a et b sont des entiers compris entre 0 et n ;
n n
ã
Å
b
a
6 Fn 6
> 0, 95, ce qui équivaut à P (a 6 Xn 6 b) > 0, 95.
• tel que P
n
n
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n; p) et Fn =
Remarques :
ï
ò
a b
• En pratique, on s’efforce d’obtenir l’intervalle
;
de plus faible amplitude ; pour celà, il suffit de chercher
n n
les plus petits entiers a et b tels que P (Xn 6 a) > 0, 025 et P (Xn > b) > 0, 975.
• L’intérêt de l’intervalle calculé à partir de la loi binomiale, est de fournir un intervalle convenable pour toutes
les valeurs de n et p, alors que l’intervalle vu en seconde n’est pas adapté pour les «petites binomiales».
27 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre D
Règle de décision
On veut examiner l’hypothèse selon laquelle dans la population le caractère est présent dans la proportion p.
Soit f la fréquence d’apparition observé du caractère dans un échantillon de taille n.
On désigne par In l’intervalle de fluctuation au de seuil de 95 % associé à une variable aléatoire qui suit une
loi binomiale B(n; p).
• Si f ∈ In , on accepte l’hypothèse.
• Si f ∈
/ In , on rejette l’hypothèse avec une probabilité inférieure à 5 % de rejeter une hypothèse
pourtant vraie.
2. Un exemple
Considérons l’exemple traité en activité : un médecin de santé publique veut savoir si, dans sa région, le pourcentage
d’habitants atteints d’hypertension artérielle est égal à la valeur de 16 % récemment publiée pour des populations
semblables. En notant p la proportion d’hypertendus dans la population de sa région, le médecin formule l’hypothèse
p = 0, 16. Pour vérifier cette hypothèse, le médecin constituera un échantillon de n = 100 habitants de la région ;
il déterminera la fréquence f d’hypertendus (l’échantillon est prélevé au hasard et la population est suffisamment
importante pour considérer qu’il s’agit de tirages avec remise).
Loi binomiale B(100; 0, 16)
0.12
0.10
0.08
Intervalle de
fluctuation :
au moins 95 %
0.06
0.04
0.02
0
0
5
Zone de rejet
à gauche : au
plus 2,5 %
10
a
15
20
25
b
30
35 40 45
Zone de rejet
à droite : au
plus 2,5 %
50
55
Pour déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, nous allons travailler avec les probabilités cumulées
croissantes, que la calculatrice ou le tableur fournissent facilement. En tabulant les probabilités cumulées P (X 6 k),
pour k allant de 0 à 100, il suffit de déterminer le plus petit entier a tel que P (X 6 a) > 0, 025 et le plus petit
entier b tel que P (X 6 b) > 0, 975.
Le document ci-après a été construit de la manière suivante :
• la cellule B3 contient la valeur de n, taille de l’échantillon et la cellule E3 contient la valeur de p, proportion
supposée dans la population ;
• B6 la formule =LOI.BINOMIALE(A6 ;B$3 ;D$3 ;FAUX) pour tabuler les probabilités P (X = k) (ceci n’est pas
nécessaire) ;
• C6 la formule =LOI.BINOMIALE(A6 ;B$3 ;D$3 ;VRAI) pour tabuler les probabilités P (X 6 k) lorsque X suit
la loi binomiale de paramètres n et p ;
• D6 la formule =SI(C6>0,025 ;A6/B$3 ;"") pour afficher les valeurs de k telles que P (X 6 k) dépasse strictement 0, 025 ;
• E6 la formule =SI(C6>=0,975 ;A6/B$3 ;"") pour afficher les valeurs de k telles que P (X 6 k) égale ou
dépasse 0, 975 ;
Ces trois formules ont été ici recopiées vers le bas jusqu’à la ligne 106. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %
est affiché en cellules G8 et H8 contenant les formules =MIN(C6 :C1006) et =MIN(D6 :D1006).
b
a
Dans le cas de l’exemple choisi, on a n = 100 et p = 0, 16. L’algorithme fournit = 0, 09 et = 0, 23.
n
n
28 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Échantillonnage et estimation
La règle de décision, pour le médecin, sera la suivante :
• si la fréquence observée f appartient à l’intervalle de fluctuation [0, 09; 0, 23], on considère que l’hypothèse
selon laquelle la proportion d’hypertendus dans la population est p = 0, 16 n’est pas remise en question et on
l’accepte ;
• sinon, on rejette l’hypothèse selon laquelle cette proportion vaut p = 0, 16.
Avec la calculatrice TI Pour avoir dans la table les listes correspondants à P (X = k) et P (X 6 k), on saisit
Y1=binomFdp(100,0.16,X) et Y2=binomFRép(100,0.16,X) ou plus simplement pour des valeurs de n pas trop grandes
voici un programme :
PROGRAM :FLUCTBIN
:Prompt N, P
:0→I
:While binomFRép(N,P,I)60.025
:I+1→I
:End
:Disp ˝B1=˝,I/N
:While binomFRép(N,P,I)<0,975
:I+1→I
:End
:Disp ˝B2=˝,I/N
II - Théorème de Moivre-Laplace
Une variable aléatoire est dite centrée réduite, si son espérance est nulle et son écart type vaut 1.
Propriété 1
»
Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X) = m, de variance V (X) et d’écart type σ = V (X) non nul.
X −m
est centrée réduite.
La variable aléatoire Z =
σ
Démonstration
1
X−
σ
1
X−
V (Z) = V
σ
E(Z) = E
m
=
σ
m
=
σ
1
m
E(X) −
= 0.
σ
σ
1
× σ 2 = 1.
σ2
Rappel : Soit p ∈ [0; 1] et n ∈ N∗ fixés. La variable aléatoire Xn qui suit la loi binomiale B(n, p) vérifie
E(Xn ) = np et V (Xn ) = np(1 − p).
29 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre D
Xn − np
Ainsi, la variable aléatoire Zn = »
est centrée réduite.
np(1 − p)
Notation
Soit a et b deux réel. On admet que pour la fonction
x2
1
f : x 7→ √ e− 2
2π
l’aire du domaine compris entre sa courbe, l’axe des
abscisses et les droites d’équation x = a et x = b existe,
on notera cette aire :
Z
b
a
x2
1
√ e− 2 dx
2π
Théorème 2 Théorème de Moivre-Laplace (admis)
Avec les notations précédentes, pour tous réels a et b tels que a < b :
lim P (a 6 Zn 6 b) =
n→+∞
Z
b
a
x2
1
√ e− 2 dx.
2π
En pratique
Dans la pratique, on considère que la limite dans le théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte
lorqu’on a simultanément n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5.
: La calculatrice donne ce nombre par la commande : normalFRép(a,b,0,1) à l’aide des touches
✄ Remarque
✄
2nde
var
,
ou
bien
pour avoir
représentation graphique (choisir une fenêtre adaptée) taper Y1=normalFpd(X,0,1)
✂
✁✂ ✁
✄ une
✄
puis à l’aide des touches ✂2nde ✁✂trace ✁choisir 7 :... et indiquer la borne inférieure et la borne supérieure :
30 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Échantillonnage et estimation
Exemple 1
ã
Å
1
Soit X une variable aléatoire suivant une loi B 180; . On souhaite calculer P (27 6 X 6 36).
6
1. Est-il raisonnable d’utiliser l’approximation fournie par le théorème de Moivre-Laplace pour calculer cette
probabilité ?
2. Donner une valeur approchée de la probabilité demandée à 10−1 près en utilisant l’approximation de
Moivre-Laplace.
3. Comparer ce résultat avec ce que donne la calculatrice avec la loi binomiale.
Théorème 3
Pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un unique réel positif uα tel que :
Z
uα
−uα
x2
1
√ e− 2 dx = 1 − α.
2π
Démonstration
La démonstration se fera dans le chapitre sur les lois à densité.
Remarques :
x2
1
• on admettra que l’aire totale sous comprise entre la courbe de la fonction x 7→ √ e− 2 vaut 1 : on dit que
2π
c’est une fonction de densité de probabilité.
✄
• La calculatrice donne uα par la commande : FracNormale(1 − α/2) à l’aide des touches ✂2nde ✁✂var ✁.
• On retiendra les valeurs approchées : u0,05 ≃ 1, 96 et u0,01 ≃ 2, 58.
✄
III - Échantillonnage et intervalle de fluctuation asymptotique
Théorème 4
Pour tout entier naturel n non nul, on note Xn la variable aléatoire suivant la loi B(n, p) et Fn =
variable fréquence associée à Xn . Pour α ∈]0; 1[, on note uα le réel définie dans le théorème 3. Alors :
(1)

»
p(1 − p)
√
; p + uα
n
lim P (Fn ∈ In ) = 1 − α avec In = p − uα
n→+∞
»
Xn
la
n

p(1 − p)
.
√
n
(2) L’intervalle In contient la fréquence Fn avec une probabilité proche de 1 − α lorsque n est grand : on dit
que In est un intervalle de fluctuation asymptotique de Fn au seuil 1 − α.
Démonstration
D’après le théorème de Moivre-Laplace et le théorème 3,
lim P (−uα 6 Zn 6 uα ) = 1 − α.
n→+∞
p
Xn − np
6 uα ⇔ −uα np(1 − p) 6 Xn − np 6 uα np(1 − p)
Or, −uα 6 Zn 6 uα ⇔ −uα 6 p
np(1 − p)
p
p
p(1 − p)
p(1 − p)
Xn
√
√
⇔ p − uα
6
6 p + uα
⇔ Fn ∈ In .
n
n
n
Ainsi, P (−uα 6 Zn 6 uα ) = P (Fn ∈ In ), d’où le résultat.
p
En pratique
Pour α = 0, 05, lorsque n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5 la fréquence de succès Fn fluctue avec une probabilité
de 0, 95 dans l’intervalle


»
»
p(1 − p)
p(1 − p)
.
p − 1, 96
√
√
; p + 1, 96
n
n
Cet intervalle appelé : intervalle de fluctuation asymptotique de Fn au seuil de 95 %.
31 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre D
Exemple 2
Dans une urne contenant 3 boules rouges et 7 boules bleues, on effectue 100 tirages avec remise. On désigne
X
.
par X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules rouges obtenues. On pose F =
100
1. a) Déterminer la loi de la variable aléatoire X.
b) Déterminer l’intervalle de fluctuation de la variable aléatoire F au seuil de 95 %.
2. En utilisant la loi binomiale, déterminer l’intervalle de fluctuation de la variable aléatoire F au seuil 95 %
(arrondir les bornes à 10−2 . Comparer avec le résultat obtenu à la question 1.b).
Théorème 5 Intervalle de fluctuation simplifié
Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi B(n, p) avec p ∈]0; 1[. Pour n assez grand, l’intervalle simplifié
vue en seconde
ô
ñ
1
1
p − √ ;p + √
n
n
est un intervalle de fluctuation au seuil 95 %.
Démonstration
Posons, an = P (−2 6 Zn 6 2), pour n > 1, d’après le théorème de Moivre-Laplace,
lim an =
n→+∞
Z
2
−2
x2
1
√ e− 2 dx = l ≈ 0, 9545
2π
(avec la calculatrice).
Soit ε un réel tel que 0 < ε < 0, 004 (ainsi l − ε > 0, 95, par puisque la suite (an ) converge vers l, il existe un entier n0 tel que
pour tout n > n0 , an ∈]l − ε; l + ε[. Ainsi, pour n > n0 , on a an > 0, 95.
Comme dans la démonstration du théorème 4, on a
ñ
−2 6 Zn 6 2 ⇔ Fn ∈ In avec In = p − 2
p
p(1 − p)
√
;p+ 2
n
p
p(1 − p)
√
n
ô
Donc P (Fn ∈ In ) = an .
L’étude de la fonction p 7→ p(1 − p) sur l’intervalle ]0; 1[ permet de majorer p(1 − p) par son maximum
p
p(1 − p) 6
1
, d’où 2
2
p
p(1 − p)
1
√
6 √ , ainsi
n
n
ï
1
1
In ⊂ p − √ ; p + √
n
n
Å
Puisque pour n > n0 , an > 0, 95, on a aussi P
D’où le résultat.
1
sur ]0; 1[, donc
4
ò
Å
et P (Fn ∈ In ) 6 P
ï
1
1
Fn ∈ p − √ ; p + √
n
n
ï
1
1
Fn ∈ p − √ ; p + √
n
n
òã
.
òã
> 0, 95.
IV - Estimation et intervalle de confiance
Considérons une expérience aléatoire à deux issues possibles (succès ou échec) dont on ne connaît pas la probabilité
du succès p. On désire estimer au mieux p à partir de la réalisation de n expériences indépendantes.
En notant Xn le nombre de succès parmi n, il est naturel de proposer comme estimateur de p la proportion de
Xn
.
succès Fn =
n
À quel point peut-on se fier à cette estimation ? Peut-on évaluer une marge d’erreur ? On répond généralement à
cette question en estimant p par un intervalle de confiance.
32 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Échantillonnage et estimation
Définition 2
Soit α ∈]0; 1[, un intervalle de confiance au niveau 1 − α pour l’estimation de p est un intervalle, noté IC ,
qui ne s’exprime qu’en fonction de Fn et de n, tel que P (p ∈ IC) > 1 − α.
Propriété 2
Lorsque n est grand (en pratique n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5, l’intervalle
ñ
1
1
IC = Fn − √ ; Fn + √
n
n
ô
est un intervalle de confiance de proportion inconnue p à un niveau de confiance de 0, 95.
Démonstration
1
1
1
1
p − √ 6 Fn 6 p + √ ⇔ Fn − √ 6 p 6 Fn + √ ., ainsi d’après le théorème 5, pour n assez grand, P (p ∈ IC ) > 0, 95.
n
n
n
n
Remarques :
ñ
ô
1
1
• L’intervalle Fn − √ ; Fn + √
est aléatoire car il dépend de la réalisation de Fn : il a plus de 95 % de
n
n
chances de contenir le paramètre inconnue p.
ñ
ô
1
1
• En pratique, ayant observé une réalisation f de Fn , l’intervalle f − √ ; f + √
n’est plus aléatoire :
n
n
il contient ou non
p mais il n’estô pas possible de le savoir puisque p est inconnu. On dit que p est élément
ñ
1
1
avec un niveau de confiance de plus de 95 %. Ainsi, à chaque tirage d’un
de l’intervalle f − √ ; f + √
n
n
échantillon, on obtient un intervalle de confiance différent.
• Supposons que l’on puisse observer Fn de nombreuses fois et
ñ notons f1 ,..., fN ces
ô observations (N grand). On
1
1
remarquerait la chose suivante : plus de 95 % des intervalles fi − √ ; fi + √ , pour 1 6 i 6 n, contiendrait
n
n
p, les autres non.
33 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre D
34 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Chapitre
E
Vecteurs de l’espace
Ce que dit le programme
Contenus
Capacités attendues
Géométrie vectorielle
Caractérisation d’un plan par un point et
deux vecteurs non colinéaires.
Vecteurs coplanaires.
Décomposition d’un vecteur en fonction de
trois vecteurs non coplanaires.
Repérage.
Représentation paramétrique d’une droite.
• Choisir une décomposition pertinente
dans le cadre de la résolution de problèmes
d’alignement ou de coplanarité.
• Utiliser les coordonnées pour :
- traduire la colinéarité ;
- caractériser l’alignement ;
- déterminer une décomposition de vecteurs.
35
Commentaires
On étend à l’espace la notion de vecteur et
les opérations associées.
On fait observer que des plans dirigés par
le même couple de vecteurs non colinéaires
sont parallèles.
Il est intéressant de présenter la démonstration du théorème dit «du toit».
On fait percevoir les notions de liberté et
de dépendance.
On ne se limite pas à des repères orthogonaux.
La caractérisation d’un plan par un point
et deux vecteurs non colinéaires conduit
à une représentation paramétrique de ce
plan.
⇆ [SI] Cinématique et statique d’un système en mécanique.
Terminale S
Chapitre E
I - Généralités
On généralise à l’espace la notion de vecteur rencontrée en géométrie plane.
Définition 1
# »
# »
Deux vecteurs non nuls AD et BC sont égaux si, et seulement si ABCD est un parallélogramme (éventuellement applati).
A
C
#»v
+
»
#u
#»
u
v#»
v#»
D
ABCD est un parallélogramme.
B
Toutes les définitions et règles établies en géométrie plane se généralisent à l’espace. En particulier :
Définition 2
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non nuls de l’espace.
Les vecteurs #»
u et #»
v sont colinéaires lorsqu’il existe un réel k tel que #»
u = k #»
v (ou bien #»
v = k #»
u ).
Remarque : On conviendra que le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs de l’espace.
Théorème 1 Caractérisation d’une droite
Soit A un point et #»
u un vecteur non nul de l’espace.
# »
L’ensemble D des points M de l’espace tels que AM = k #»
u , avec k ∈ R est une droite : la droite passant par
A de vecteur directeur #»
u.
Démonstration
# »
Soit B un point tel que #»
u = AB.
# »
# »
# »
# »
M ∈ D ⇔ il existe un réel k tel que AM = k #»
u = kAB ⇔ AM et AB sont colinéaires⇔ A, B et M sont
alignés⇔ M ∈ (AB). Donc D est la droite (AB).
D
#»u
b
b
B
A
Remarques :
# »
# »
• Tout vecteur non nul colinéaire au vecteur AB est un vecteur directeur de AB ;
• Si deux droites ont des vecteurs directeurs colinéaires alors elles sont parallèles.
#»
w
II - Vecteurs coplanaires
#»
u
Définition 3
(1) Quatre points de l’espace sont coplanaires s’il appartiennent à un
même plan.
#»v C
(2) Trois vecteurs de l’espace sont coplanaires s’il existe quatre points
# »
# »
# »
#» = AD.
A, B, C et D coplanaires tels que : #»
u = AB, #»
v = AC et w
A
36 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
B
D
Terminale S
Vecteurs de l’espace
Théorème 2 Caractérisation de la coplanarité
#» trois vecteurs de l’espace tels que #»
Soit #»
u , #»
v et w
u et #»
v ne sont pas colinéaires.
#»
#»
#»
Les vecteurs u , v et w sont coplanaires si, et seulement si il existe deux réels α et β tels que :
#» = α #»
w
u + β #»
v.
Démonstration
# »
# »
# »
#» = AD.
Soit A, B, C, et D tels que #»
u = AB, #»
v = AC et w
Puisque #»
u et #»
v ne sont pas colinéaires, les points A, B et C ne sont
pas alignés et (A; B, C) est un repère du plan (ABC).
# »
#» sont coplanaires alors D ∈ (ABC). Soit (α; β) ses coordonnées dans le repère (A; B, C), on a : AD
«⇒»Si #»
u , #»
v et w
=
# »
# »
#»
#»
#»
αAB + β AC ⇔ w = α u + β v .
# »
# »
# »
#» = α #»
«⇐»Si il existe deux réels α et β tels que w
u + β #»
v , on a AD = αAB + β AC.
# » # »′
# » # »′
′
′
Soit B tel que αAB = AB et C tel que β AC = AC .
# » # »
# »
B ′ et C ′ appartiennent à (ABC) puisque B ′ ∈ (AB) et C ′ ∈ (AC). Or, AD = AB ′ + AC ′ , donc D est le quatrième point du
#»
parallélogramme dont trois sommets sont A, B ′ et C ′ appartiennent au plan (ABC). Donc D ∈ (ABC) et les vecteurs #»
u , #»
v et w
sont coplanaires.
Théorème 3 Caractérisation d’un plan
Soit A un point, #»
u et #»
v deux vecteurs non colinéaires de l’espace.
# »
L’ensemble P des points M de l’espace tels que : AM = α #»
u + β #»
v avec α, β ∈ R est un plan : le plan passant
#»
#»
par A et de vecteurs directeurs u et v .
Démonstration
# »
# »
# »
# »
Soit A, B et C, et D tels que #»
u = AB et #»
v = AC. D ∈ P ⇔ il existe deux réels α et β tels que AM = α #»
u + β #»
v ⇔ AM , #»
u et
#»
v sont coplanaires⇔ A, B, C et M sont coplanaires⇔ M ∈ (ABC). Donc P est le plan (ABC).
III - Repères de l’espace
1. Repérage dans l’espace
Définition 4
#»
(1) On appelle base de l’ensemble des vecteurs de l’espace, tout triplet ( #»
ı , #»
 , k ) de vecteurs de l’espace non
coplanaires tels que #»
ı et #»
 soient non colinéaires.
#»
#»
(2) On appelle repère de l’espace, tout quadruplet (O; #»
ı , #»
 , k )où O est un point de l’espace et ( #»
ı , #»
, k)
un base.
#»
Dans la suite du chapître (O; #»
ı , #»
 , k )est un repère de l’espace.
Théorème 4
Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet (x; y; z) de nombres réels tel que :
#»
# »
OM = x #»
ı + y #»
 +zk.
# »
Le triplet (x; y; z) est appelé triplet de coordonnées du vecteur OM ou du point M dans le repère
#»
(O; #»
ı , #»
 , k ). x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la cote.
37 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre E
Démonstration
b
#»
La parallèle à (O, k ) coupe le plan (O; #»
ı , #»
 )en un unique point
′
M .
Dans le repère (O; #»
ı , #»
 ), il existe un unique couple (x; y) de
# »′
réels tel que : OM = x #»
ı + y #»
.
# »
#»
De plus, k est colinéaire à M ′ M , donc il existe un réel z tel que
# »
#»
M ′M = z k .
Ainsi, on a bien :
#»
# » # » # »
OM = OM ′ + M ′ M = x #»
ı + y #»
 +zk.
M
#»
u
#»
k
O
#»

y
b
#»
ı
x
b
M′
Propriété 1
Soit A(xA ; yA ; zA ) et B(xB ; yB ; zB ) deux points de l’espace. Alors :
# »
# »
(1) le vecteur AB a pour coordonnées AB(xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ).
Å
ã
xA + xB yA + yB zA + zB
;
;
.
(2) le milieu du segment [AB] a pour coordonnées :
2
2
2
Démonstration
#»
#»
# »
# »
ı + yB #»
 + zB k .
(1) On a OA = xA #»
ı + yA #»
 + zA k et OB = xB #»
#»
# » # » # » # » # »
#»
Ainsi, AB + AO + OB = OB − OA = (xB − xA ) ı + (yB − yA ) #»
 + (zB − zA ) k .
# » # » #»
# » # » #» #» #» #»
#»
#»
1 # » # »
OA + OB ,
(2) Lorsque I est le milieu de [AB], on a IA + IB = 0 , ainsi OA + OB = OI + IA + OI + IB = 2OI, donc OI =
2
d’où le résultat.
2. Représentation paramétrique d’une droite
Propriété 2
Soit A(xA ; yA ; zA ) un point et #»
u (a; b; c) un vecteur non nul de l’espace.
On considère la droite ∆ passant par A et de vecteur directeur #»
u.
M (x; y; z) ∈ ∆ ⇔



x = xA + at
avec t ∈ R.
y = y + bt
A


z = z + ct
A
Ce système d’équation est appelé une représentation paramétrique de ∆.
Démonstration
# »
M (x; y; z) ∈ ∆ ⇔ AM = t #»
u avec t ∈ R ⇔

x − xA = at

y − yA = bt
z − zA = ct
avec t ∈ R ⇔

x = xA + at

y = yA + bt
z = zA + ct
38 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
avec t ∈ R.
Terminale S
Vecteurs de l’espace
Exemple 1
On donne les points A(1; 4; −2) et B(2; −3; 4).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
b. Déterminer les coordonnées du point M d’intersection de la droite (AB) et du plan (xOy).
c. Les points C(0; 11; −8) et D(2; −3; 3) sont-ils des points de la droite (AB) ?
# »
a. Le vecteur AB a pour coordonnées (1; −7; 6), ainsi
la droite (AB).
b. M (x; y; z) ∈ (AB) ∩ (xOy) ⇔
Solution

x = 1 + t
y = 4 − 7t
z = −2 + 6t
c. Lorsque C ∈ (AB), il existe t tel que

x = 1 + t
y = 4 − 7t
z = −2 + 6t
1
et z = 0 ⇔ t = et
3

1 + t = 0
4 − 7t = 11
−2 + 6t = −8
De la mêfaçon pour le point D, on cherche t tel que
équation mais pas pour la dernière. Donc D 6∈ (AB).
avec t ∈ R est un représentation paramétrique de


x =
4
3
5
y=

3

z=0
. Donc M (4/3; 5/3; 0).
. La valeur t = −1, convient. Donc C ∈ (AB).

1 + t = 2
. Or, t = 1 convient pour les deux premières
4 − 7t = −3
−2 + 6t = 3
3. Représentation paramétrique d’un plan
Propriété 3
Soit A(xA ; yA ; zA ) un point, #»
u (a; b; c) et #»
v (a′ ; b′ ; c′ ) des vecteurs non colinéaires de l’espace.
On considère le plan P passant par A et de vecteurs directeurs #»
u et #»
v.
M (x; y; z) ∈ P ⇔

′ ′


x = xA + at + a t
y = y + bt + b′ t′
A


z = z + ct + c′ t′
A
avec t, t′ ∈ R.
Ce système d’équation est appelé une représentation paramétrique de P.
Démonstration
# »
M (x; y; z) ∈ P ⇔ AM = t #»
u + t′ #»
v avec t, t′ ∈ R ⇔

′ ′
x − xA = at + a t
y − yA = bt + b′ t′
z − zA = ct + c′ t′

avec t ∈ R ⇔

x = xA + at

y = yA + bt
z = zA + ct
avec t ∈ R.
Exemple 2
Dans un repère
 de l’espace, on considère les points E(2; −3; 5), H(1; −8; 8) et la droite d de représentation


x = 1 + t
paramétrique y = 4 − t
, t ∈ R.


z = −2 + 2t
a. Montrer que les droites d et (EH) sont sécantes et préciser les coordonnées de leur point d’intersection K.
b. On note P, le plan contenant la droite d et le point E, déterminer un système d’équations paramétriques
de P.
c. Les points A(4; 1; 3) et B(3; 2; 2) sont-ils des points du plan P ?
39 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre E
40 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Chapitre
F
Nombres complexes - Forme trigonométrique
Ce que dit le programme
Contenus
Forme trigonométrique :
— module et argument, interprétation
géométrique dans un repère orthonormé direct ;
— notation exponentielle.
Capacités attendues
Commentaires
• Passer de la forme algébrique à la forme
trigonométrique et inversement.
• Connaître et utiliser la relation zz = |z|2 .
• Effectuer des opérations sur les nombres
complexes écrits sous différentes formes.
La notation exponentielle est introduite
après avoir montré que la fonction θ 7→
cos θ + isinθ vérifie la même relation fonctionnelle que la fonction exponentielle.
Les nombres complexes permettent de
mémoriser les formules trigonométriques
d’addition et de duplication vues en première.
⇆ Analyse fréquentielle d’un système.
41
Terminale S
Chapitre F
Dans tout le chapitre le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct.
I - Module d’un nombre complexe
1. Définition, interprétation géométrique
Définition 1
Soit z = a + ib avec a, b ∈ R un nombre complexe. On appelle module de z le réel noté |z| défini par :
|z| =
Remarques :
p
a2 + b2 .
• |z| > 0 ;
• Si z ∈ R alors |z| = |a| (valeur absolue du réel a) ;
Exemples 1
• |3 + 2i| =
• |3 − 2i| =
• |i| =
p
02
p
32 + 22 =
p
32 + 22 =
+
12
√
√
13 ;
13 ;
= 1.
Propriété 1
Soit z ∈ C.
(1) Si M est le point d’affixe z alors OM = |z|.
#» est un vecteur d’affixue z alors k wk
#» = |z|.
(2) Si w
2. Propriétés des modules
Propriété 2
z et z ′ étant deux nombres complexes.
√
(1) |z|2 = zz ou bien |z| = zz.
1
1
.
(5) Si z 6= 0 alors =
z
|z|
z′ |z ′ |
.
(6) Si z 6= 0 alors =
z
|z|
(2) |z| = 0 ⇔ z = 0.
(3) |z| = |z| = | − z| = | − z|.
(7) Si z 6= 0 alors pour tout n ∈ Z, |z n | = |z|n .
(4) |zz ′ | = |z| · |z ′ |.
Démonstration
(1),(2),(3) évidents.
(4) |zz ′ |2 = zz ′ zz ′ = zz ′ zz ′ = zzz ′ z ′ = |z|2 .|z ′ |2 = (|z|.|z ′ |)2 .
(5), (6), (7) même idée.
II - Forme trigonométrique d’un nombre complexe
M (z)
b
1. Arguments d’un nombre complexe non nul
Définition 2
Soit z un nombre complexe non nul et M le point d’affixe z.
On appelle argument de z et on le note arg(z) une mesure en radian de l’angle
# »
orienté ( #»
u ; OM ).
|z|
O
42 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
arg(z)
#»
v
#»
u
Terminale S
Nombres complexes - Forme trigonométrique
Remarques :
• 0 n’a pas d’argument ;
• Tout nombre complexe admet une infinité d’arguments : si θ est un argument de z alors pour tout k ∈ Z,
θ + 2kπ est aussi un argument de z. On écrit :
arg(z) = θ (2π).
Exemples 2
3
Soit A, B, C, D et E les points du plan complexe d’affixes respectives , −4, 3i, −2i et 1 + i.
2
Déterminer un argument de chacun d’eux.
Solution arg(1, 5) = 0 (2π) ; arg(−4) = π (2π) ; arg(3i) =
π
π
π
(2π) ; arg(−2i) = − (2π) et arg(1 + i) =
(2π).
2
2
4
2. Forme trigonométrique
Théorème 1
Soit z = a+ib un nombre complexe non nul avec a, b ∈ R et θ un argument
de z. Alors :
a = |z| cos θ et b = |z| sin θ.
b
b = |z] sin θ
M (z)
b
|z|
#»
v
θ = arg(z)
b
O
b
#»
u
a = |z| cos θ
Définition 3
Une écriture d’un nombre complexe z sous la forme :
z = |z|(cos θ + i sin θ) où θ = arg(z) (2π).
est appelée forme trigonométrique de z.
Exemples 3
1. Donner deux formes trigonométriques distincts du nombre complexe z = 1 − i.
√
2. Déterminer une forme trigonométrique du nombre z = −3 + i 3.
2π
3. Soit z le nombre complexe, tel que |z| = 4 et arg(z) =
(2π).
3
Déterminer la forme algébrique de z.
Ä π äó
√
πä
+ i sin −
ou z = 2 cos
4
4
»
√ 2 √
√
2. |z| =
(−3)2 + 3 = 9 + 3 = 2 3.
1. z =
Solution
√
î
Ä
h
2 cos −
3π
4
+ i sin
3π
4
i
.
√
√
−3
−3 3
3
=−
√ =
2
×
3
2
2
3
√
En posant θ = arg(z) (2π), on a

sin θ = √3 = 1
2
2 3
√
5π
5π
5π
À l’aide du cercle trigonométrique, on en déduit que θ =
, d’où z = 2 2(sin
+ i sin
).
6
6
6
Å
√ ã
√
3
2π
2π
1
= −2 + 2i 3.
+ i sin
3. z = 4 cos
=4 − +i
3
3
2
2


cos θ =
ã
Å
ã
√ Å
π
π
π
π
2 cos − i sin
n’est pas une forme trigonométrique mais puisque cos −
= cos et
4
4
4
4
ã
ã
Å
ãò
Å
Å
√ ï
π
π
π
π
= − sin , une forme trigonométrique de a est a = 2 cos −
+ i sin −
.
sin −
4
4
4
4
L’unicité de l’écriture d’un nombre complexe sous forme algébrique donne immédiatement les deux propriétés
suivantes :
Remarque : a =
Propriété 3
Si un nombre complexe z s’écrit sous la forme z = r(cos α + i sin α) où r ∈ R avec r > 0 et α ∈ R alors :
|z| = r et arg(z) = α (2π).
43 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre F
Théorème 2
Soit z et z ′ deux nombres complexes.
z = z ′ ⇔ |z| = |z ′ | et arg(z) = arg(z ′ ) (2π).
3. Propriétés des arguments
Propriété 4
Pour tout nombre complexe z non nul, on a :
θ+π
(1) arg(z) = − arg(z) (2π) ;
M (z)
b
#»
v
(2) arg(−z) = arg(z) + π (2π) ;
θ
b
(3) z ∈ R ⇔ arg(z) = 0 [π] (c’est-à-dire 0 ou 2π (2π)) ;
π
π
π
(4) z ∈ iR ⇔ arg(z) = [π] (c’est-à-dire − ou (2π)).
2
2
2
O
b
#»
u
−θ
M1 (z)
b
M2 (−z)
Théorème 3
Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ , on a :
arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) (2π).
Démonstration
Rappelons qu’en première on démontre à l’aide des angles orientés de vecteurs et de la formule analytique du produit scalaire
dans un repère orthonormé que pour tous nombres réels a et b on a :
• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b ;
• sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b.
On pose θ = arg(z) (2π) et θ′ = arg(z ′ ) (2π).
zz ′ = |z|(cos θ + i sin θ) × |z ′ | cos θ′ + i sin θ′ ) = |z|.|z ′ (cos θ × cos θ′ − sin θ sin θ′ + i(cos θ sin θ′ + sin θ cos θ′ ) = |zz ′ |(cos(θ + θ′ ) +
′
i sin(θ + θ )).
D’après la propriété 3, on en déduit que arg(zz ′ ) = θ + θ′ (2π).
Propriété 5
Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ , on a :
Å ã
1
(1) arg
= − arg(z) (2π) ;
z
Å ã
z
(2) arg ′ = arg(z) − arg(z ′ ) (2π) ;
z
(3) Pour tout n ∈ Z, arg (z n ) = n arg(z) (2π).
Démonstration
1
1
= 1, d’où arg z × = arg(1) = 0 (2π).
z
z
1
= 0 (2π), d’où le résultat.
D’après le théorème 3, arg(z) × arg
z
Äzä
z
1
1
(2) ′ = z × ′ , d’après le théorème 3, arg ′ = arg(z) + arg
et avec le point précédent on obtient le résultat.
z
z
z
z′
(3) Pour n ∈ N, on raisonne par récurrence sur n.
arg(z 0 ) = arg(1) = 0 (2π), et 0 × arg(z) = 0 (2π). La propriété est initialisée.
Supposons que pour un entier naturel n, on ait arg(z n ) = n. arg(z) (2π).
arg(z n+1 ) = arg(z n × z) = arg(z n ) + arg(z) = n. arg(z) + arg(z) = (n + 1) arg(z) (2π). La propriété est donc héréditaire.
D’après l’axiome de récurrence pour tout n ∈ N, on a arg(z n ) = n arg(z) (2π).
1
Si n ∈ Z− , alors on pose m = −n ∈ N, ainsi arg(z n ) = arg(z −m ) = arg
= − arg(z m ) = −m arg(z) = n arg(z) (2π).
zm
(1) z ×
44 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Nombres complexes - Forme trigonométrique
Exemples 4
1
Déterminer la forme trigonométrique de z1 =
, z2 = (1 + i)
1+i
Ç √
− 3+i
4
å
et z3 = (1 + i)4 .
√
π
On remarque d’abord que |1 + i| = 2 et que arg(1 + i) =
(2π).
4
√
√ î
Ä πä
Ä π äó
1
2
2
π
Ainsi, |z1 | =
=
et arg(z1 ) = − arg(z1 ) = − , d’où z1 =
cos −
+ i sin −
.
|1 + i|
2
4Å
4
4
ã2
√
√
√
3
2
− 3+i
1
1
5π
π 5π
13π
, on a |z4 | = et arg(z4 ) = arg −
+ i =
. D’où |z2 | =
et arg(z2 ) = +
=
.
Solution En posant z4 =
4
2
2
2
6
2
4
6
12
√ h
i
2
13π
13π
cos
+ i sin
.
Donc z2 =
2
12
12
√ 4
4
On a |z3 | = |1 + i| = 2 = 4 et arg(z3 ) = 4 arg(1 + i) = π.
Donc z3 = 4 [cos π + i sin π].
Théorème 4
Soit A(zA ), B(zB ), C(zC ) et D(zD ) quatre points du plan complexe tels que A 6= B et C 6= D.
# »
u , AB) = arg(z − z ) (2π) ;
(1) AB = |z − z | et ( #»
B
A
Å
zD − zC
# » # »
(2) (AB, CD) = arg
zB − zA
B
ã
A
(2π).
Démonstration
# » = zB − zA , d’où le résultat.
(1) zAB
# » # »
# »
# »
# »
# »
zD − zC
(2) (AB, CD) = (AB, #»
u ) + ( #»
u , CD) = ( #»
u , CD) − ( #»
u , AB) = arg(zD − zC ) − arg(zB − zA ) = arg
(2π).
zB − zA
III - Forme exponentielle d’un nombre complexe
Soit f la fonction définie sur R par f (θ) = cos θ + i sin θ.
Remarques :
• f (θ) ∈ C et f (0) = 1 ;
• f (θ + θ′ ) = cos(θ + θ′ ) + i sin(θ + θ′ ).
Donc f (θ + θ′ ) est le nombre complexe de module 1, et dont un argument est θ + θ′ (propriété 4).
De plus, f (θ)f (θ′ ) a également pour module 1 et pour module θ + θ′ (théorème 3).
En appliquant le théorème 2, on en déduit que : f (θ + θ′ ) = f (θ)f (θ′ ).
• La fonction f est dérivable sur R (on dérive la partie réelle et la partie imaginaire indépendamment). Par
analogie avec la propriété caractéristique de la fonction exponentielle, on a envie de dire que f (θ) = exp(kθ)
avec k ∈ C.
• De plus, f ′ (θ) = − sin θ + i cos θ = i(cos θ + i sin θ) = if (θ). et f (0) = 1. Par conséquent k = i.
Définition 4
Pour tout réel θ, on pose :
cos θ + i sin θ = eiθ .
eiθ est le nombre complexe de module 1 et d’argument θ.
Exemples 5
π
π
π
Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes√ suivants : e2iπ , eiπ , ei 2 , e−i 2 et ei 3 .
π
π
π
Solution e2iπ = 1, eiπ = −1, ei 2 = i, e−i 2 = −i et ei 3 =
3
1
+i
.
2
2
Remarque : La formule eiπ = −1 est appelée la formule d’Euler.
45 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre F
Propriété 6
Pour tous réels θ et θ′ et tout entier n :
Ä
ä
1
= e−iθ ;
iθ
e
Ä än
(5) eiθ = einθ (formule de Moivre).
(1) eiθ = 1 et arg eiθ = θ (2π) ;
(4)
(2) eiθ eiθ = ei(θ+θ ) ;
eiθ
′
(3) iθ′ = ei(θ−θ ) ;
e
′
′
Démonstration
Conséquences de la propriété 6 et du théorème 3.
Remarques :
• La formule de Moivre s’écrit aussi : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
z−z
z+z
et Im(z) =
au nombre complexe z = cos θ + i sin θ pour tout réel θ, on
• En appliquant Re(z) =
2
2i
obtient les formules d’Euler :
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
cos θ =
et sin θ =
.
2
2i
Théorème 5
Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme z = |z|eiθ où θ est un argument de z. Cette
écriture est appelée forme exponentielle de z.
Démonstration
Conséquences du théorème 1 et de la définition 4.
Propriété 7
Soit z ∈ C, si z = reiα où z ∈ R∗+ et α ∈ R alors
r = |z| et α = arg(z) (2π).
Démonstration
Conséquences de la propriété 4 et de la définition 4.
Exemple 6
π
Déterminer le module de z = −3ei 3 et un argument de z.
Solution |z| = | − 3| × 1 = 3 et arg(z) = arg(−3) +
π
π
4π
2π
=π+ =
=−
(2π).
3
3
3
3
Propriété 8 Équation paramétrique d’un cercle
Soit A un point du plan complexe d’affixe zA et r un réel positif.
Une équation de la forme z = zA + reiθ avec θ ∈ R est une équation paramétrique du cercle de centre A
et de rayon r.
Démonstration
On note C le cercle de centre A et de rayon r.
M (z) ∈ C ⇔ AM = r ⇔ |z − zA | = r ⇔ z − zA = reiθ avec θ ∈ R car reiθ et le nombre complexe de module r et d’argument θ.
46 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Chapitre
G
Produit scalaire dans l’espace
Ce que dit le programme
Contenus
Capacités attendues
Produit scalaire
Produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace : définition, propriétés.
Vecteur normal à un plan. Équation cartésienne d’un plan.
Commentaires
On étend aux vecteurs de l’espace la définition du produit scalaire donnée dans le
plan.
• Déterminer si un vecteur est normal à un
plan.
Caractériser les points d’un plan de l’espace par une relation ax + by + cz + d = 0
avec a, b et c trois nombres réels non tous
nuls.
• Déterminer une équation cartésienne
d’un plan connaissant un point et un vecteur normal.
• Déterminer un vecteur normal à un plan
défini par une équation cartésienne.
Démontrer qu’une droite est orthogonale
à toute droite d’un plan si et seulement si
elle est orthogonale à deux droites sécantes
de ce plan.
• Choisir la forme la plus adaptée entre
équation cartésienne et représentation paramétrique pour :
- déterminer l’intersection d’une droite et
d’un plan ;
- étudier la position relative de deux plans.
On caractérise vectoriellement l’orthogonalité de deux droites et on introduit la
notion de plans perpendiculaires.
AP
○ Perpendiculaire commune à deux
droites non coplanaires.
Intersection de trois plans.
47
Terminale S
Chapitre G
I - Rappels de première sur le produit scalaire dans le plan
1. Définitions et propriétés
Définition 1
# »
# »
• Si #»
u et #»
v sont deux vecteurs non nuls tels que #»
u = AB et #»
v = AC.
On note H le projeté orthogonal de C sur (AB) .
C
C
#»
v
A
#»
u
#»
v
B
H
H
A
#»
u
B
Le produit scalaire de ces deux vecteurs est le nombre réel, que l’on note #»
u · #»
v défini par :
# » # »
#»
u · #»
v = AB · AC =
(
# »
# »
AB × AH si AB et AH ont le même sens.
# »
# »
−AB × AH si AB et AH sont de sens contraire.
• Si #»
u ou #»
v est nul, on pose par : #»
u · #»
v = 0.
Propriété 1
Deux vecteurs #»
u et #»
v sont orthogonaux si, et seulement si #»
u · #»
v = 0.
Propriété 2
Pour tous vecteurs #»
u et #»
v non nuls, on a : #»
u · #»
v = || #»
u || × || #»
v || × cos( #»
u , #»
v ).
Propriété 3 Expression analytique du produit scalaire
#» #»
Le planÇétant
å muni
Ç d’un
å repère orthonormal (O; ı ,  ).
′
x
x
Soit #»
u
et #»
v
dans (O; #»
ı , #»
 ). Alors : #»
u · #»
v = xx′ + yy ′ .
y
y′
Propriété 4
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs.
ó
ó
1 î #» 2
1 î #» #» 2
|| u + v || − || #»
u ||2 − || #»
v ||2 =
|| u || + || #»
u ||2 − || #»
u − #»
v ||2 ;
(1) #»
u · #»
v =
2
2
»
2
2
2
2
#»
#»
#»
2
2
ı , #»
 );
(2) u = || u || = x + y et || u || = x + y dans un repère orthonormal (O; #»
(3) Les vecteurs #»
u et #»
v sont orthogonaux si, et seulement si dans un repère orthonormal (O; #»
ı , #»
) :
Ç å
Ç ′å
x
x
xx′ + yy ′ = 0 avec #»
u
et #»
v
.
y
y′
Propriété 5
#» des vecteurs et k un réel. Alors :
Soit #»
u , #»
v et w
(1) #»
u · #»
v = #»
v · #»
u;
(2) (k #»
u ) · #»
v = #»
u · (k #»
v ) = k( #»
u · #»
v);
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
(3) u · ( v + w) = u · v + u · w.
48 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Produit scalaire dans l’espace
2. Droites et cercles
Définition 2
Soit #»
n un vecteur non nul et A un point du plan.
# »
L’ensemble des points M du plan tels que AM · #»
n = 0 est une droite D, passant par A, et dirigée par une
vecteur #»
u orthogonal à #»
n.
On dit que n est un vecteur normal à la droite D.
Propriété 6 Caractérisation d’une droite
#»
Soit A
Ç un
å point du plan et n un vecteur non nul.
a
Si #»
n
dans un repère orthonormal (O; #»
ı , #»
 ), alors la droite D a une équation cartésienne de la forme
b
ax + by + c = 0.
Exemple 1
Ç
å
−1
Soit A(3; 1) et #»
n
. On note #»
u un vecteur directeur de la droite D passant par A de vecteur normal #»
n.
2
Ç å Ç å
Ç å
x
−1
2
On a #»
n · #»
u =0⇔
·
= 0 ⇔ −x + 2y = 0 ⇔ x = 2y. On peut prendre #»
u
.
y
2
1
# » #»
M (x; y) ∈ D ⇔ AM · n = 0
⇔ (x − 3) × (−1) + (y − 1) × 2 = 0
⇔ −x + 3 + 2y − 2 = 0
⇔ −x + 2y + 1 = 0
Propriété 7 Caractérisation d’un cercle
# » # »
Le cercle C de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que M A · M B = 0.
Propriété 8
Soit Ω(a; b) un point du plan dans un repère orthonormé (O; #»
ı , #»
 ), R un réel strictement positif.
Le cercle C de centre Ω et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que ΩM = R, ou encore
ΩM 2 = R2 .
Une équation cartésienne de C dans (O; #»
ı , #»
 )est (x − a)2 + (y − b)2 = R2 .
Exemple 2
Prenons Ω(−2; 5) et R = 3.
Le cercle de centre Ω et de rayon 3 a pour équation cartésienne : (x+2)2 +(y−5)2 = 9 ⇔ x2 +y 2 +4x−10y+20 =
0.
49 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre G
II - Produit scalaire dans l’espace
1. Repère orthonormé de l’espace
Définition 3
Soit O, I, J et K quatre points non coplanaires.
Le quadruplet (O; I, J, K) est un repère :
(1) orthogonal lorsque les droites (OI), (OJ) et (OK) sont deux à deux perpendiculaires.
(2) orthonormé (ou orthonormal) lorsqu’il est orthogonal et OI = OJ = OK.
Théorème 1
Soit (O; I, J, K) un repère orthonormé de l’espace et #»
u de coordonnées (a; b; c) un vecteur de l’espace. On a :
|| #»
u || =
p
a2 + b2 + c2 .
Démonstration
b
# »
Soit M le point tel que OM = #»
u.
La parallèle à (OK) coupe le plan (OIJ) en H.
La droite (OK) est perpendiculaire à (OH), ainsi le triangle
(OHM ) est rectangle en M . D’après le théorème de Pythagore,
on a OM 2 = OH 2 + HM 2 = OH 2 + c2 .
De plus, en notant M1 le projeté orthogonale de H sur la droite
(OI) dans le plan (OIJ), le triangle OM1 H est rectangle en
M1 et d’après le théorème de Pythagore, on a OH 2 = OM12 +
M1 H 2 = a2 + b2 .
p
On en déduit finalement que || #»
u || = OM = a2 + b2 + c2 .
M (a; b; c)
#»
u
K
O
b
M2
J
I
M1
b
H
Remarque
: Si A(xA ; yA ; zA ) et B(xB ; yB ; zB ) sont deux points de l’espace muni d’un repère orthonormé alors
»
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 .
2. Définition du produit scalaire
Définition 4
# »
# »
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs de l’espace et A, B et C trois points tels que : #»
u = AB et #»
v = AC. Il existe
toujours un plan P contenant A, B et C et le produit scalaire des vecteurs #»
u et #»
v est le produit scalaire des
# »
# »
vecteurs AB et AC dans le plan P.
ä
1 Ä #» #» 2
k u + v k − k #»
u k2 − k #»
v k2 et cette expression est indépendante du choix des
Remarque : On a #»
u · #»
v =
2
représenants de #»
u et #»
v . Par conséquent, le produit scalaire est indépendant du plan P.
50 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Produit scalaire dans l’espace
Théorème 2
Toutes les propriétés du produit scalaire établies en géométrique plane s’appliquent à des vecteurs coplanaires
de l’espace.
Propriété 9
Soit #»
u (x; y; z) et #»
v (x′ ; y ′ ; z ′ ) deux vecteurs de l’espace muni d’un repère orthonormé (O; I, J, K). On a :
#»
u · #»
v = xx′ + yy ′ + zz ′ .
Démonstration
On note (O; I, J, K) le repère orthonormé.
Ainsi || #»
u ||2 = x2 + y 2 + z 2 et de même || #»
v ||2 = x′2 + y ′2 + z ′2
2
′ 2
′ 2
#»
#»
et || u − v || = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ′ )2 = x2 + y 2 + z 2 + x′2 + y ′2 + z ′2 − (2xx′ + 2yy ′ + 2zz ′ ).
1
1 #» 2
Or, #»
u · #»
v =
|| u || + || #»
v ||2 − || #»
u − #»
v ||2 = (2xx′ + 2yy ′ + 2zz ′ ).
2 ′
2
D’où #»
u · #»
v = xx + yy ′ + zz ′ .
Définition 5 Projection orthogonale sur un plan
Soit P un plan et M un point de l’espace. La droite perpendiculaire à P passant par M coupe le plan P en
M ′ appelé projeté orthogonal de sur P.
D
b
M
B
b
C
M′
C′
P
P
A
# » # » # » # »
Remarque : Si A, B soit deux points d’un plan P et C ∈
/ P alors AB · AC = AB · AC ′ où C ′ est le projeté
orthogonal de C sur P.
# » # » # » # » # »
# » # » # » # » # » # »
En effet, AB · AC = AB · (AC ′ + C ′ C) = AB · AC ′ + AB · AC ′ = AB · AC ′ .
Propriété 10
Soit A et B deux points de l’espace.
# » # »
(1) L’ensemble des points M tels que M A · M B = 0 est la sphère de diamètre [AB].
(2) Soit R un réel strictement positif et Ω(a; b; c) un point dans un repère orthonormé de l’espace. Une
équation cartésienne de la sphère de centre Ω et de rayon R est :
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 .
Démonstration
Soit I le milieu de [AB].
# » # »
# » #»
# » #» # »
# » #» #»
#» #»
(1) M A · M B = (M I + IA) · (M I + IB = M I 2 + M I · (IA + IB) + IA · IB = M I 2 − IA2 car I est le milieu de [AB], c’est-à-dire
#»
#»
IA = −IB.
# » # »
Ainsi, M A · M B = 0 ⇔ IM = IA ⇔ M est un point de la sphère de diamètre [AB].
(2) M (x; y; z) appartient à la sphère de centre Ω et de rayon R si, et seulement si ΩM 2 = R2 , c’est-à-dire (x − a)2 + (y − b)2 +
(z − c)2 = R2 .
51 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre G
III - Orthogonalité dans l’espace
1. Vecteurs orthogonaux, vecteurs normaux
Propriété 11
# »
# »
Soit #»
u et #»
v deux vecteurs de l’espace. A, B et C sont trois points tels que #»
u = AB et #»
v = AC.
#»
#»
#»
÷ = π.
u · #»
v = 0 si, et seulement si #»
u = 0 ou #»
v = 0 ou BAC
2
Démonstration
’
AC.
v || × cos B
u || × || #»
v = || #»
u · #»
En effet, #»
÷
Remarque : La notion d’angle orienté n’a pas de sens dans l’espace mais cos( #»
u , #»
v ) = cos(−( #»
u , #»
v )) = cos BAC.
Définition 6
On dit que deux vecteurs #»
v = 0.
u · #»
v sont orthogonaux lorsque #»
u et #»
Remarque : Deux droites de l’espace sont orthogonales si, et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Définition 7
#»
#»
Soit O un point et #»
ı , #»
 et k trois vecteurs non coplanaires de l’espace. Le quadruplet (O; #»
ı , #»
 , k ) est un
repère de l’espace :
#»
ı , #»
 et k sont deux à deux orthogonaux ;
(1) orthogonal de l’espace lorsque les vecteurs #»
#»
(2) orthonormé (ou orthonormal) de l’espace lorsqu’il est orthogonal et que || #»
ı || = || #»
 || = || k || = 1.
Définition 8
On dit qu’un vecteur non nul de l’espace est normal à un plan lorsqu’il est orthogonal à tout vecteur du plan.
Remarque : On rappelle qu’un vecteur est normal à une droite lorsqu’il est orthogonal à tout vecteur direction
de cette droite.
Théorème 3
Un vecteur est normal à un plan si, et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
Démonstration
"⇒" Évident par définition du vecteur normal à un plan.
"⇐" Soit #»
u et #»
v deux vecteurs non colinéaires d’un plan P et #»
n un vecteur orthogonal à #»
u et #»
v.
#»
#»
#»
Soit w un vecteur normal de P. Il faut montrer que w · n = 0.
#» sont coplanaires, il existe deux réels α et β tels que w
#» = α #»
Puisque #»
u et #»
v sont non colinéaires et que #»
u , #»
v et w
u + β #»
v.
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
Ainsi, n · w = n · (α u ) + n · (β v ) = α n · u +β n · v = 0. Ainsi n est orthogonal à w.
| {z }
=0
| {z }
=0
Remarques :
• Soit M un point de l’espace n’appartenant pas à un plan P et H le projeté orthogonal de M sur P. Le
# »
vecteur HM est un vecteur normal de P. Ainsi, tout plan de l’espace admet un vecteur normal.
• Deux vecteurs normaux d’un plan de l’espace sont colinéaires.
52 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Produit scalaire dans l’espace
2. Droites perpendiculaires (ou orthogonales) à un plan
Théorème 4
Une droite est perpendiculaire à un plan si, et seulement si tout vecteur directeur de cette droite est normal
au plan.
Démonstration
"⇒" Soit D une droite perpendiculaire au plan P et #»
n un vecteur directeur de D.
Considérons #»
u et #»
v deux vecteurs non colinéaires de P et notons d et d′ deux droites de P de vecteurs directeurs respectifs #»
u
et #»
v.
Par définition D est orthogonale à d et d′ , donc #»
n est orthogonal à #»
u et #»
v , ainsi #»
n est normal à P.
#»
"⇐" Soit D une droite de l’espace et n un vecteur directeur de D. Puisque #»
n est normal à D, il est othogonal à tout vecteur de
P.
Considérons d et d′ deux droites de P, #»
n étant orthogonal aux vecteurs directeurs de d et d′ , la droite D est orthogonal à d et
d′ , elle est alors perpendiculaire au plan P.
Propriété 12
Soit A un point et #»
n un vecteur non nul de l’espace.
Il existe un unique plan P de vecteurs directeurs #»
u et #»
v ayant pour vecteur normal le vecteur #»
n . De plus,
#»
#»
#»
les vecteurs u , v et n sont non coplanaires.
Démonstration
!
a
u dans ce repère. Puisque #»
u est non nul, on peut
On munit l’espace d’un repère orthonormé et on note b les coordonnées de #»
c
supposer par exemple que a est non nul (dans le cas contraire on échangera les rôles de a, b et c).
!
!
−c
−b
0
a .
Posons #»
u
et #»
v
a
0

c = kb
⇔ k = 0 puisque a est non nul, de plus on vérifie facilement que #»
n · #»
u = 0 et #»
n · #»
v = 0.
0 = ka
a=k×0
Considérons maintenant le plan P passant par A de vecteurs directeurs #»
u et #»
v . Si les vecteurs #»
u , #»
v et #»
n étaient coplanaires,


2
2
(1 + α + β )a = 0
a = −αc − βb
, ce qui est absurde car
⇔ b = βa
il existerait deux réels α et β tels que #»
n = α #»
u + β #»
v ⇔ b = βa


c = αa
c = αa
puisque a est non nul, il faudrait que 1 + α2 + β 2 soit nul, ce qui n’est pas possible.
Par suite, les vecteurs #»
u , #»
v et #»
n sont non coplanaires.
Ils sont non colinéaires car

On admettra l’unicité.
Propriété 13
# »
Soit A un point et #»
n un vecteur non nul de l’espace. L’ensemble des points M de l’espace tels que AM · #»
n =0
#»
est le plan passant par A de vecteur normal n .
Démonstration
Soit P le plan de vecteur normal #»
n . On note #»
u et #»
v deux vecteurs directeurs de P non coplanaires avec #»
n.
# »
Ainsi (A; #»
u , #»
v , #»
n ) forme un repère de l’espace et pour tout point M de l’espace il existe trois réel x, y et z tels que AM =
#»
#»
#»
xu + y v + zn.
=0
=0
z }| { z }| {
# »
# »
# »
u · #»
n +y #»
v · #»
n +z #»
n · #»
n = 0 ⇔ z × || #»
n ||2 = 0 ⇔ z = 0 ⇔ AM = x #»
u + y #»
v ⇔ AM , #»
u et #»
v sont coplanaires ⇔
Or, AM · #»
n ⇔ x #»
M ∈ P.
D’où le résultat.
53 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre G
3. Plan perpendiculaires
Propriété 14 Admise
#»
Soit P et P ′ deux plans de l’espace de vecteurs normaux respectifs #»
n et n′ .
#»
(1) P et P ′ sont perpendiculaires si, et seulement si #»
n · n′ = 0.
#»
(2) P et P ′ sont parallèles si, et seulement si #»
n et n′ sont colinéaires.
4. Équations cartésiennes d’un plan
Propriété 15
Soit A un point et #»
n un vecteur non nul de l’espace.
#»
(1) Si n a pour coordonnées (a; b; c) dans un repère orthonormé de l’espace, alors le plan P passant par A
et de vecteur normal #»
n admet dans ce repère une équation cartésienne de la forme :
ax + by + cz + d = 0 où a, b, c, d ∈ R.
(2) Un équation de la forme ax + by + cz + d = 0 où a, b, c, d ∈ R avec (a, c, d) 6= (0, 0, 0) est dans un repère
orthonormé de l’espace une équation cartésienne d’un plan de vecteur normal #»
n de coordonnées (a; b; c).
Démonstration
à faire ! ! !
#»
#»
Remarque : Dans un repère orthonormé (O; #»
ı , #»
 , k ), le plan d’équation z = 0 admet le vecteur k (0; 0; 1)
pour vecteur normal et contient le point O(0; 0; 0). C’est donc le plan (O; #»
ı , #»
 ).
+donner des exemples pour passer d’une équation cartésienne à un système d’équations paramétriques et réciproquement
54 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Chapitre
H
Lois à densité
Contenus
Capacités attendues
Notion de loi à densité à partir
d’exemples
Loi à densité sur un intervalle.
Loi uniforme sur [a; b].
Espérance d’une variable aléatoire suivant
une loi uniforme.
• Connaître la fonction de densité de la loi
uniforme sur [a; b].
Commentaires
Les exemples étudiés s’appuient sur une
expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une probabilité. On définit
alors une variable aléatoire X, fonction de
Ω dans R, qui associe à chaque issue un
nombre réel d’un intervalle I de R. On admet que X satisfait aux conditions qui permettent de définir la probabilité de l’événement {X ∈ J} comme aire du domaine :
{M (x, y) ; x ∈ J et 0 6 y 6 f (x)} où f
désigne la fonction de densité de la loi et J
un intervalle inclus dans I.
Toute théorie générale des lois à densité et
des intégrales sur un intervalle non borné
est exclue.
L’instruction «nombre aléatoire» d’un logiciel ou d’une calculatrice permet d’introduire la loi uniforme sur [0; 1]. La notion
d’espérance d’une variable aléatoire à densité f sur [a; b] est introduite à cette occasion par E(X) =
Z
b
tf (t) dt. On note que
a
Lois exponentielles.
• Calculer une probabilité dans le cadre
d’une loi exponentielle.
Espérance d’une variable aléatoire suivant
une loi exponentielle.
Démontrer que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponen1
tielle de paramètre λ est .
λ
55
cette définition constitue un prolongement
dans le cadre continu de l’espérance d’une
variable aléatoire discrète.
AP
○ Méthode de Mont-Carlo.
On démontre qu’une variable aléatoire T
suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement :
pour tous réels t et h positifs, PT >t (T >
t + h) = P (T > h).
L’espérance est définie comme
la limite
Z
x
quand x tend vers +∞ de
tf (t) dt où
0
f est la fonction de densité de la loi exponentielle considérée.
Cette partie du programme se prête
particulièrement à l’étude de situations
concrètes, par exemple sur la radioactivité
ou la durée de fonctionnement d’un système non soumis à un phénomène d’usure.
Terminale S
Loi normale centrée réduite N (0, 1).
Théorème de Moivre-Laplace (admis).
Chapitre H
• Connaître la fonction de densité de la loi
normale N (0, 1) et sa représentation graphique.
Démontrer que pour α ∈]0; 1[, il existe
un unique réel positif α tel que P (−uα 6
X 6 uα ) = 1 − α lorsque X suit la loi
normale N (0, 1).
• Connaître les valeurs approchées u0,05 ≃
1, 96 et u0,01 ≃ 2, 58.
Pour introduire la loi normale N (0, 1), on
s’appuie sur l’observation des représentations graphiques de la loi de la variable
Xn − np
aléatoire Zn = p
où Xn suit
np(1 − p)
la loi binomiale B(n, p), et cela pour de
grandes valeurs de n et une valeur de p
fixée entre 0 et 1. Le théorème de MoivreLaplace assure que pour Ztous réels a et b,
b
x2
1
√ e− 2 dx
P (Zn ∈ [a, b]) tend vers
2π
a
lorsque n tend vers +∞.
L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi N (0, 1) est définie par
lim
t→−∞
Loi normale N (µ, σ 2 ) d’espérance µ et
d’écart-type σ.
• Utiliser une calculatrice ou un tableur
pour calculer une probabilité dans le cadre
d’une loi normale N (µ, σ 2 ).
• Connaître une valeur approchée de la
probabilité des événements suivants : {X ∈
[µ − σ, µ + σ]}, {X ∈ [µ − 2σ, µ + 2σ]} et
{X ∈ [µ − 3σ, µ + 3σ]}, lorsque X suit la
loi normale N (µ, σ 2 ).
56 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Z
t
0
tf (t) dt + lim
x→+∞
Z
0
t
tf (t) dt où
f désigne la densité de cette loi.
On peut établir qu’elle vaut 0.
On admet que la variance, définie par
E(X − E(X))2 , vaut 1.
Une variable aléatoire X suit une loi
X −µ
suit la loi normale
N (µ, σ 2 ) si
σ
N (0, 1).
On fait percevoir l’information apportée
par la valeur de l’écart-type.
⇆ [SI et SPC] Mesures physiques sur un
système réel en essai.
La connaissance d’une expression algébrique de la fonction de densité de la loi
N (µ, σ 2 ) n’est pas un attendu du programme.
On illustre ces nouvelles notions par des
exemples issus des autres disciplines.
Terminale S
Lois à densité
On considère une expérience aléatoire dont l’ensemble des issues ou univers est notée Ω.
I - Variables aléatoires à densité
Rappel
Une variable aléatoire X est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R. Ainsi, pour tout élément x ∈ Ω, on
a X(x) ∈ R et on confondra la fonction et ses images, on pourra donc écrire X ∈ R.
Remarques :
• Jusqu’à présent, une expérience aléatoire conduisait à un univers fini, ainsi une variable aléatoire X prenait
un nombre fini de valeurs. La loi de X se définissait par la donnée des probabilités de toutes ses valeurs (ou
une formule pour la loi binomiale).
• Il arrive que les issues d’une expérience aléatoire ou les valeurs prises par X puissent-être n’importe quel
nombre d’un intervalle I de R (durée de vie d’une ampoule). Dans ce cas, on dit que la loi de probabilité de X
est continue.
• Dans ce cas, on ne la définie plus en donnant la probabilité de chacune de ses valeurs mais la probabilité que
chacune de ses valeurs appartiennent à un intervalle [a; b] inclus dans I, on la notera P (X ∈ [a; b]) ou encore
P (a 6 X 6 b).
Définition 1
Une fonction f définie sur un intervalle I de R est appelée densité sur I lorsque :
• f > 0 sur I ;
• f est continue (sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs) ;
• En notant D = {M (x; y)/x ∈ I et 0 6 y 6 f (x)}, l’aire du domaine D existe et vaut 1 u.a..
Exemples 1
3
• La fonction définie par f (x) = x2 pour x ∈ [−1; 1] est une densité sur [−1; 1].
2
1
• La fonction définie par f (x) = 2 pour x > 1 est une densité sur [1; +∞[.
x
Théorème 1 Admis
Soit X une variable aléatoire continue sur Ω et f une densité sur un intervalle I de R.
Pour tout intervalle [a; b] de R de la forme, on note :
P (X ∈ [a; b]) =
Z
b
f (x) dx.
a
P est une probabilité sur Ω et définie ainsi une loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Remarque : On a donc pour tous intervalles disjoints [a; b] et [c; d] inclus dans I :
• 0 6 P (X ∈ [a; b]) 6 1 (conservation de l’ordre de l’intégrale) ;
• P (X ∈ I) = 1 ;
• P (X ∈ [a; b] ∪ [c; d]) = P (X ∈ [a; b]) + P (X ∈ [c; d]) (relation de Chasles de l’intégrale).
• Rappelons que si X est une variable aléatoire discrète alors l’espérance de X est
E(X) =
n
X
xi P (X = xi ).
i=1
57 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre H
Définition 2
Soit X une variable aléatoire continue de loi de probabilité définie par la densité f sur I = [a; b].
L’espérance E(X) est définie par :
E(X) =
Z
b
xf (x)dx.
a
Remarque : Lorsque l’intervalle I n’est pas bornée, il faudra passer à la limite dans les bornes de l’intégrale
définissant l’espérance de X.
II - Loi uniforme
a et b sont deux réels tels que a < b.
Définition 3
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a; b] lorsque sa densité f est définie sur [a; b]
par :
1
.
f (x) =
b−a
On note X ֒→ U ([a; b]).
Exemple 2
1
La fonction définie par f (x) = sur [3; 5] la densité de la loi uniforme sur [3; 5] et si X ֒→ U ([3; 5]) alors par
2
exemple :
1
P (X ∈ [0; 4]) = P (X ∈ [3; 4]) =
2
Z
4
3
1
dx = .
2
Propriété 1
Si X suit la loi uniforme sur [a; b] alors
(1) Pour tout a 6 c 6 d 6 b, P (X ∈ [c; d]) =
(2) Pour tout a ∈ R, P (X = a) = 0.
a+b
(3) E(X) =
.
2
d−c
.
b−a
Démonstration
(1) P (X ∈ [c; d]) =
(2) P (X = a) =
Z
Z
a
a
c
d
h
x
1
dx =
b−a
b−a
1
dx = 0.
b−a
id
c
d−c
.
=
b−a
(3) E(X) =
Z
b
a
ï
x2
1
x
dx =
b−a
2(b − a)
òb
=
a
b+a
b2 − a2
=
.
2(b − a)
2
III - Loi exponentielle
Soit λ un réel strictement positif, la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = λe−λx est positive et continue, de plus,
pour tout réel t > 0, on a :
Z
î
t
λe−λx dx = −e−λx
0
Par suite, puisque lim −λt = −∞ et
lim
Z
t→+∞ 0
t→+∞
t
ót
0
= −e−λt + 1.
lim eX = 0, par composition et somme de limites, on en déduit que
X→−∞
Z +∞
λe−λx dx = 1 et on peut noter :
0
λe−λx dx = 1. Ainsi f est une densité sur [0; +∞[.
58 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Lois à densité
Définition 4
On dit qu’une variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0 lorsque sa
densité f est définie sur [0; +∞[ par :
f (x) = λe−λx .
On note T ֒→ E (λ).
Remarques :
• pour tous réels 0 6 a < b, on a P (T ∈ [a; b]) =
• Pour tout t > 0, P (T 6 t) =
Z
0
t
Z
b
a
î
λe−λx dx = −e−λx
ób
a
= e−λa − e−λb .
f (x) dx = 1 − e−λt et P (T > t) = 1 − P (T < t) = 1 − P (T 6 t) = e−λt .
Exemple 3
On considère que la durée de vie d’un élément radioactif est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle
de paramètre λ.
On appelle demi-vie de cet élément, le réel t tel que P (X 6 t) = 0, 5.
1. Exprimer t en fonction de lambda.
Solution P (T 6 t) =
Z
0
t
λe−λx dx = 1 − e−λt = 0, 5, d’où e−λt =
ln 2
1
⇔ −λt = − ln 2 ⇔ t =
.
2
λ
2. La demi-vie du Césium 137 est de 30 ans.
Calculer la probabilité que la durée de vie du Césium 137 dépasse 50 ans.
ln 2
.
30
Solution
5
P (T > 50) = 1 − P (T 6 50) = 1 − 1 − e−λ×50 = e− 3
t = 30 ⇔ λ =
ln 2
1
= √
≃ 0, 315.
3
32
Remarque : La durée de vie d’un appareil est dite «sans vieillissement» lorsque la probabilité qu’il fonctionne
encore pendant une durée h (au moins) ne dépend que de h et pas de la durée t de son fonctionnement passé.
Théorème 2
Soit T ֒→ E (h), elle vérifie la propriété de «durée de vie sans vieillissement» :
Pour tous réels t et h positifs : PT >t (T > t + h) = P (T > h).
Démonstration
PT >t (T > t + h) =
P ((T > t + h) ∩ (T > t))
P (T > t + h)
e−λ(t+h)
=
=
= e−λh = P (T > h).
P (T > t)
P (T > t)
e−λt
Exemple 4
La durée de vie T en heure, d’un appareil suit la loi exponentielle de paramètre λ. On a P (T > 800) = 0, 45
et P (T > 1200) = 0, 3.
Calculer P (T > 2000).
PT >1200 (T > 2000) = P (T > 800) car 2000 = 1200 + 800.
Solution Ainsi, P (T > 2000) = P (T > 800) ⇔ P (T > 2000) = P (T > 800) × P (T > 1200) = 0, 45 × 0, 3 = 0, 135.
P (T > 1200)
59 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre H
Propriété 2
Si T ֒→ E (h) alors son espérance est :
E(T ) = lim
Z
t→+∞ 0
t
xλe−λx dx =
1
.
λ
Démonstration
′
−λx
−λx
En posant u(x) = x et v(x) = −e−λx , on a (uv)′ (x) = u′ (x)v(x) + u(x)v
Z (x) = xλe Z− e .
t
En intégrant entre 0 et t, par linéarité de l’intégrale, on a : (uv)(t) =
Z
Z
t
t
h
1
e−λx dx = −te−λt + − e−λx
λ
0
0
En posant X = −λt, on a lim X = −∞.
Donc,
xλe−λx dx = −te−λt +
t→+∞
Par composition, lim −λte−λt =
t→+∞
Par produit et somme, lim
t→+∞
Z
it
t
(uv)(x) dx =
0
=
0
0
xλe−λx dx −
1
1
1
−λte−λt − e−λt + .
λ
λ
λ
lim XeX = 0 (par croissance comparée) et lim e−λt =
X→−∞
t→+∞
t
xλe−λx dx =
0
Z
t
e−λx dx.
0
lim eX = 0.
X→−∞
1
1
, d’où E(T ) = .
λ
λ
IV - Lois normales
1. Loi normale N (0, 1)
Définition 5
On appelle fonction de Laplace-Gauss, la fonction ϕ définie
sur R par :
x2
1
ϕ(x) = √ e− 2 .
2π
Sa représentation graphique est la courbe de Gauss ou courbe
«en cloche».
Remarques :
1
• ϕ est continue, dérivable, positive sur R, paire et admet en 0 un maximum : √ .
2π
•
lim ϕ(x) = 0 et lim ϕ(x) = 0.
x→+∞
x→−∞
Théorème 3 Admis
La fonction de Laplace-Gauss est une densité sur R.
En particulier :
Z +∞
x2
1
√
e− 2 dx = 1.
2π −∞
Définition 6
On dit qu’une variable aléatoire Z suit la loi normale standard ou centrée réduite lorsque sa densité est
la fonction de Gauss-Laplace.
On note Z ֒→ N (0, 1).
Remarques :
1
• P (a 6 Z 6 b) = √
2π
Z
b
a
e−
x2
2
dx.
60 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Lois à densité
• Les primitives de la fonction de Laplace-Gauss existent mais ne peuvent pas s’exprimer à partir d’opérations
algébriques simples sur les fonctions usuelles. On utilisera la calculatrice pour déterminer une valeur approchée
des probabilités.
Exemple 5
Sur TI : normalFRép(-1,2,0,1) donne P (−1 6 Z 6 2) ≃ 0, 819.
1
• P (Z 6 0) = P (Z > 0) = .
2
• P (Z 6 b) = lim
Z
b
a→−∞ a
ϕ(x) dx :
Exemple 6
Avec la calculatrice, il faudra écrire normalFRép(-10^99,1,0,1) pour P (Z 6 1) ≃ 0, 841.
1
Ou bien remarquer que P (Z 6 1) = P (Z 6 0) + P (0 6 Z 6 1) = + P (0 6 Z 6 1).
2
• P (Z 6 −b) = P (Z > b) = 1 − P (Z 6 b).
• P (−a 6 Z 6 a) = 1 − 2P (Z > a) = 2P (Z 6 a) − 1.
61 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre H
Propriété 3 Admise pour la variance
î
ó
Si Z ֒→ N (0, 1) alors son espérance est nulle et sa variance, définie par V (Z) = E (Z − E(Z))2 vaut 1 :
E(Z) = 0 et V (Z) = 1.
Démonstration
Z b
•
a
Z
1
xϕ(x)dx = √
2π
b
xe−x
2
a
2
Or, par composition lim e−a
/2
a→−∞
+∞
Par somme E(Z) =
Z
/2
ä
2
1 Ä −a2 /2
1 î −x2 /2 ób
= √
−e
e
− e−b /2 .
dx = √
a
2π
2π
=
lim eX = 0 et lim e−b
X→−∞
2
/2
b→+∞
=
lim eX = 0.
X→−∞
xϕ(x)dx = 0.
−∞
• En ce qui concerne la variance, puisque E(Z) = 0, on a V (Z) = E(Z 2 ).
Par ailleurs, à l’aide d’une intégration par parties :
Z
b
2
x ϕ(x)dx =
a
Z
a
b
[−xϕ(x)]ba
x × xϕ(x) dx =
|{z}
| {z }
u(x)
v ′ (x)
+
Z
b
a
2 /2
Par composition et croissances comparées lim ae−a
Et puisque ϕ est une densité sur R :
ϕ(x)dx = aϕ(a) − bϕ(b) +
Z
a→−∞
+∞
= lim be−b
2 /2
b→+∞
Z
b
ϕ(x)dx.
a
= 0.
ϕ(x)dx = 1, d’où V (Z) = 1.
−∞
Théorème 4
Soit Z ֒→ N (0, 1).
Pour tout réel α tel que 0 < α < 1, il existe un unique
nombre strictement positif uα tel que
P (−uα 6 Z 6 uα ) = 1 − α.
Démonstration
Z x
Soit Φ(x) =
ϕ(t) dt = 2
−x
Z
x
ϕ(t) dt (par parité de la fonction de Laplace-Gauss).
0
Comme ϕ est continue et positive, on en déduit que Φ est dérivable, et que sa dérivée 2ϕ est strictement positive, donc Φ est
strictement croissante sur [0; +∞[.
Ainsi, P (−uα 6 Z 6 uα ) = Φ(uα ).
Donc P (−uα 6 Z 6 uα ) = 1 − α ⇔ Φ(uα ) = 1 − α.
Puisque 0 < α < 1, on a 0 < 1 − α < 1 et comme la fonction Φ est continue et strictement croissante sur [0; +∞[ avec Φ(0) = 0
et lim Φ(x) = 1, d’après le théorème de la bijection, l’équation Φ(x) = 1 − α possède une unique solution uα > 0.
x→+∞
Remarque : En pratique, on cherche −uα , tel que P (Z 6 −uα ) =
α
avec la calculatrice.
2
Par exemple pour α = 0, 05, on trouve avec FracNormal(.05/2,0,1), u0,05 ≃ 1, 96 et pour α = 0, 01, u0,01 ≃ 2, 56.
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Terminale S
Lois à densité
Exemple 7
Lors d’un concours, la moyenne des notes est de 8. On note Z la note obtenue par un candidat. En admettant
que Z − 8 suit la loi normale N (0, 1).
1. À combien faut-il fixer la note de réussite pour que 60 % des candidats soient reçus ?
Le seuil d’admission est le nombre a tel que P (Z > a) = 0, 6.
Solution Or, P (Z > a) = 0, 6 ⇔ P (Z − 8 > a − 8) = 0, 6 ⇔ P (Z − 8 6 a − 8) = 0, 4.
Avec la calculatrice FracNormal(0.4,0,1), on trouve a − 8 ≃ −0, 25, c’est-à-dire a ≃ 7, 75.
2. Dans quel intervalle de notes, centré en 8, se trouvent 80 % des résultats ?
On cherche un nombre u tel que P (8 − u 6 Z 6 8 + u) = 0, 8 ⇔ P (−u 6 Z − 8 6 u) = 0, 8.
α
Or, 1 − α = 0, 8 ⇔ α = 0, 2 ⇔
= 0, 1.
Solution
2
La calculatrice FracNormal(0.1,0,1) donne u ≃ 1, 28, c’est-à-dire que 80 % des notes sont dans l’intervalle [8−1, 28; 8+1, 28] =
[6, 72; 9, 28].
2. Loi normale N (µ, σ 2 )
Soient µ un réel et σ un réel strictement positifs.
Définition 7
Soient µ un réel et σ un réel strictement positifs.
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ 2 ) lorsque la variable aléatoire
la loi normale centrée réduite N (0, 1).
X −µ
suit
σ
Remarques :
• µ est l’espérance de X et σ est son écart-type.
• Les calculatrices permettent de calculer directement des probabilités selon la loi N (µ, σ 2 ) mais on peut
X −µ
toujours se ramener à la loi normale centrée réduite pour la variable aléatoire Z =
.
σ
1 x−µ 2
1
• La densité de la loi normale N (µ, σ 2 ) est x 7→ √ e− 2 ( σ ) mais n’est pas à connaître.
σ 2π
Propriété 4
Soit une variable aléatoire X suivant la loi normal N (µ, σ 2 ) :
P (µ − σ 6 X 6 µ + σ) ≃ 0, 683
P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) ≃ 0, 954
P (µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ) ≃ 0, 997
3. Lien entre loi binomiale et loi normale
Théorème 5 Moivre-Laplace (Admis)
Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel de [0; 1]. On considère les variables aléatoires Xn suivants
une loi binomiale B(n, p). Pour tous les réels a et b avec a < b, on a :
é
Ñ
lim P
n→+∞
Xn − np
6b
a6 »
np(1 − p)
= P (a 6 Z 6 b) où Z suit la loi normale centrée réduite N (0, 1).
Rappel de l’activité vue dans le chapitre sur l’échantillonnage :
63 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre H
En pratique
On considère que la limite dans le théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte lorsqu’on a simultanément n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5. Dans ces conditions, on a donc pour tous réels a et b,
Ñ
P
é
Xn − np
a6 »
6b
np(1 − p)
≃ P (a 6 Z 6 b) où Z suit la loi normale centrée réduite N (0, 1).
Remarque : Comme la loi binomiale est représentée par un histogramme dont les rectangles centrés en chaque
valeur entière k comprise entre 0 et n ont pour largeur 1 et pour hauteur P (Xn = k), lorsqu’on approche la loi
binomiale par la loi normale, il est préférable de remplacer P (k1 6 Xn 6 k2 ) par P (k1 − 0, 5 6 Xn 6 k2 + 0, 5)
avant de centrer et réduire la variable aléatoire : c’est ce qu’on appelle la correction de continuité.
Exemple 8
On lance 180 fois de suite un dé équilibré et on souhaite estimer la probabilité d’obtenir entre 25 et 32 fois le
chiffre 6.
1
Le nombre X de 6 obtenus suit la loi binomiale B(180, ).
6
1
X − 30
Les conditions n > 30, np = 180 × = 30 et np(1 − p) = 25 permettent de considérer que la variable aléatoire
suit
6
5
«approximativement» une loi N (0, 1).
en remplaçant P (25 6 X 6 32) par P (24, 5 6 X 6 32, 5) et P (24, 5 6 X 6
Solution On applique
une correction de continuité,
X − 30
6 0, 5 .
32, 5) = P −1, 1 6
5
Or, pour une variable aléatoire Z qui suit la loi normale N (0, 1), on a P (−1, 1 6 Z 6 0, 5) ≃ 0, 556, on peut donc estimer
que P (25 6 X 6 32) ≃ 0, 556.
Si on calcule la probabilité précédente avec une loi binomiale, on trouve P (25 6 X 6 32) ≃ 0, 563.
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