Exercices sur la géométrie vectorielle

Exercices sur la géométrie vectorielle
Exercice 1 ABCDEFG H est un cube. On appelle Ile centre de la face BCGF .
Le point Mest défini par la relation −−−→ M A +2−−→ M I =
−→
0 .
Démontrer que les points B,Met Hsont alignés.
Exercice 2 Dans un repère (O;−→ i;−→ j;
−→
k)de l’espace, on donne les points A(5;0;0),B(2;−1;1),C(10;1;−2) et D(3;2;1).
On définit Ile milieu du segment [BC],Lle point tel que 3−−→ AL =
−−→
AD et Gle centre de gravité du triangle BC D.
1. Démontrer que les vecteurs (−−→ AB ,−−→ AC ,−−→ AD ) forment une base de l’espace.
2. Dans le repère (A,−−→ AB ,−−→ AC ,−−→ AD ), démontrer que les droites (AI ) et (GL) sont parallèles.
Exercice 3 ABC D est un tétraèdre. Iet Jsont les milieux respectifs des arêtes [BC ] et [AD]. Gest le centre de gravité du
triangle BCD.On pose :
−→
u=
−−→
AB +
−−→
AC +
−−→
AD
On se propose de démontrer de deux façons que les vecteurs −→ u,−→ I J et −−→ DG sont coplanaires.
Première méthode : 1. (a) Exprimez le vecteur −→ I J en fonction des vecteurs −−→ AB ,−−→ AC et −−→ AD .
(b) Exprimez le vecteur −−→ DG en fonction des vecteurs −−→ AB ,−−→ AC et −−→ AD .
2. En déduire deux nombres réels aet btels que : −→ u=a−→ I J +b−−→ DG .Conclure.
Deuxième méthode : On munit l’espace du repère (A,−−→ AB ,−−→ AC ,−−→ AD ).
1. (a) Déterminez les coordonnées des points I,Jet Gdans ce repère.
(b) En déduire les coordonnées des vecteurs −→ u,−→ I J et −−→ DG .
2. Conclure.
Exercice 4 Dans un repère (O;−→ i;−→ j;
−→
k)de l’espace, on considère les droites det ∆dont une équation paramétrique est :
d:
x=1+t
y=2−3t
z=3−3t
,t∈Ret ∆:
x=s
y= −3−3s
z=1−s
,s∈R
Etudier la position relative de ces deux droites.
Exercice 5 Même exercice que le précédent avec :
d:
x=2+3t
y= −1−t
z=1+t
,t∈Ret ∆:
x=s+1
y=2s−3
z=2−s
,s∈R
Exercice 6 On considère la droite dpassant par le point A(0;2;3) et de vecteur directeur −→ u
1
1
1
et la droite d′passant par
le point B(2;0;−1) et C(4;−2;2).
Etudier la position relative de ces deux droites.
Exercice 7 On considère la droite ∆et le plan Pdont les représentations paramétriques sont données ci-dessous :
∆:
x= −1+2t
y=t
z=2+t
,t∈Ret P:
x= −1+3s−u
y=s+u
z=1+s+2u
,s∈R,u∈R
1. Démontrer que ∆coupe P.
2. On appelle Sle point d’intersection de ∆et P. Déterminer les coordonnées de S.
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