Exercices sur la géométrie vectorielle

Exercices sur la géométrie vectorielle
Exercice 1 ABC DE FG H est un cube. On appelle I le centre de la face BCGF .
−−−→
−−→ →
−
Le point M est défini par la relation M A + 2M I = 0 .
Démontrer que les points B, M et H sont alignés.
−
→
− →
− →
Exercice 2 Dans un repère (O; i ; j ; k )de l’espace, on donne les points A(5; 0; 0), B (2; −1; 1),C (10; 1; −2) et D(3; 2; 1).
−−→ −−→
On définit I le milieu du segment [BC ],L le point tel que 3 AL = AD et G le centre de gravité du triangle BC D.
−−→ −−→ −−→
1. Démontrer que les vecteurs ( AB , AC , AD ) forment une base de l’espace.
−−→ −−→ −−→
2. Dans le repère (A, AB , AC , AD ), démontrer que les droites (AI ) et (GL) sont parallèles.
Exercice 3 ABC D est un tétraèdre. I et J sont les milieux respectifs des arêtes [BC ] et [AD]. G est le centre de gravité du
triangle BC D.On pose :
→
− −−→ −−→ −−→
u = AB + AC + AD
→
− −→ −−→
On se propose de démontrer de deux façons que les vecteurs u , I J et DG sont coplanaires.
−→
−−→ −−→ −−→
Première méthode :
1. (a) Exprimez le vecteur I J en fonction des vecteurs AB , AC et AD .
−−→
−−→ −−→ −−→
(b) Exprimez le vecteur DG en fonction des vecteurs AB , AC et AD .
→
−
−→
−−→
2. En déduire deux nombres réels a et b tels que : u = a I J + b DG .Conclure.
−−→ −−→ −−→
Deuxième méthode : On munit l’espace du repère (A, AB , AC , AD ).
1. (a) Déterminez les coordonnées des points I , J et G dans ce repère.
→
− −→ −−→
(b) En déduire les coordonnées des vecteurs u , I J et DG .
2. Conclure.
−
→
− →
− →
Exercice 4 Dans un repère (O; i ; j ; k )de l’espace, on considère les droites d et ∆ dont une équation paramétrique est :

 x
y
d:

z
=
=
=

1+t
 x
2 − 3t , t ∈ R et ∆ :
y

3 − 3t
z
=
=
=
s
−3 − 3s , s ∈ R
1−s
Etudier la position relative de ces deux droites.
Exercice 5 Même exercice que le précédent avec :

 x
y
d:

z

= 2 + 3t
 x
= −1 − t , t ∈ R et ∆ :
y

= 1+t
z
=
=
=
s +1
2s − 3 , s ∈ R
2−s
 
1
→
− 
Exercice 6 On considère la droite d passant par le point A(0; 2; 3) et de vecteur directeur u 1 et la droite d ′ passant par
1
le point B (2; 0; −1) et C (4; −2; 2).
Etudier la position relative de ces deux droites.
Exercice 7 On considère la droite ∆ et le plan P dont les représentations paramétriques sont données ci-dessous :

 x
y
∆:

z

= −1 + 2t
 x
= t
y
, t ∈ R et P :

= 2+t
z
= −1 + 3s − u
= s +u
, s ∈ R, u ∈ R
= 1 + s + 2u
1. Démontrer que ∆ coupe P .
2. On appelle S le point d’intersection de ∆ et P . Déterminer les coordonnées de S.
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