M2.10. Freinage d`un véhicule spatial. 1. Evolution de la vitesse. On

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M2.10. Freinage d’un véhicule spatial.
1. Evolution de la vitesse.
On applique la seconde loi de Newton au vaisseau spatial assimilé à un point dans le référentiel terrestre
posé galiléen. Seule une force de frottement s’exerce sur le vaisseau. On a :
dv dv
F ma m m u
dt dt
La projection de cette équation suivant le vecteur
u
qui oriente la vitesse donne :
2
exp 1
dv z
m k v
dt h
Or,
sin
z l avec ldistance parcourue suivant la direction de
u
, d’où :
2
1
sin sin car 0 et 0
sin
1(2)
sin
dz dl dz dz
v v v
dt dt dt dt
dz
v v dt
On remplace
2
v
dans (1) par son expression donnée par (2) :
1
exp sin
1
exp sin
1
exp sin
1
exp 3
sin
dv z dz
m k v
dt h dt
dv dz z dz
m k v
dz dt h dt
dv z
m k v
dz h
dv k z v
dz m h
Le terme
dv
dz
est positif car lors de la descente les termes dv et dz sont tous les deux négatifs.
2. Expression du logarithme népérien de la vitesse.
Dans l’équation (3) on opère une séparation des variables :
1
exp sin
dv k z
dz
v m h
Par intégration on obtient :
ln exp exp
sin o
o
z
v k h z
v m h h
3. Allure de la fonction v(z).
Dans le cas où exp
z
h
>>exp o
z
h
on obtient :
ln exp
sin
o
v k h z
v m h
Soit :
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exp exp
sin
o
k h z
v v
m h
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