G.P. Questions de cours outils mathématiques Équations

G.P. Questions de cours outils mathématiques
Équations différentielles:
Résoudre l'équation différentielle suivante en adoptant obligatoirement une méthode utilisant
les complexes:
Fsint− vt=m dv t/dt
On définira un temps de relaxation et on donnera la réponse à une constante près.
Indiquer le sens physique de chaque partie de la solution.
Réponse:
L'équation s'écrira:
dv
dt v
=F
msin t
au niveau des dimensions puisque
dv
dt
est une vitesse divisée par un temps,
v
doit avoir la
même dimension, est bien un temps
donc:
= m
1) Pour la solution de l'équation homogène (en lien avec le régime transitoire):
dv
dt v
=0
on essaye une solution de la forme:
v=Aexpr t 
d'où, en reportant:
r vv
=0
l'équation caractéristique est :
r1
=0
On obtient :
v=Aexp− t
2) Pour la solution particulière (traduisant le régime sinusoïdal forcé):
En régime forcé,
v
varie avec un certain déphasage en
sin t
. On travaille donc en
complexes avec
v
complexe associé à
v
. On pose que la solution particulière
v
est en

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exp jt
.
On décide que c'est la partie réelle qui a un sens, il faudra mettre un
− j
pour le second
membre ( puisque il s'agit ici d'un sinus et que la partie réelle de
− jexp jt
vaut bien
sin t
).
d v
dt v
=F
m− jexp jt
v
est en
exp jt
donc:
d v
dt =jv
On obtient :
vj 1
=− j F
mexp jt
v=− j F
mexpjt
1
j
On a souvent intérêt en physique à traduire les complexes écrits sous forme algébrique en
complexes écrits sous forme exponentielle.
1
j=
21
2exp j
avec:
=arg 1
j
soit ( il faut deux lignes trigonométriques pour définir un angle modulo
2
. Ici, je vous donne
les trois... penser à la représentation dans le plan complexe pour les obtenir )
sin= 
21
2
cos=
1
21
2
tan = 
1
=
Le cosinus étant positif ( on vient d'utiliser une première ligne trigonométrique ) , on peut donc
écrire finalement ( en utilisant une deuxième ligne trigonométrique ) :
=arctan 

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v=− j F
mexp jt
21
2expj
v=− j
F
m
21
2
exp jt−
donc pour la partie réelle:
v=
F
m
21
2
sin t−
v=
F
m
21
2
sin t−arctan 
3).Solution complète:
On fait alors la somme des deux solutions:
v=Aexp− t
F
m
21
2
sin t−arctan 
C'est seulement à ce stade que l'on devrait porter la condition initiale afin d'obtenir la constante
inconnue
A
.