sujet

Lycée Brizeux
PCSI B
2015-2016
D EVOIR S URVEILLÉ N O 6
19/03/16 – Durée : 4h – Calculatrices interdites
Justifier toutes vos réponses.
Soulignez vos conclusions et encadrez vos résultats. Numérotez les pages de vos copies.
E XERCICE 1 – D ÉNOMBREMENT
Le digicode d’un immeuble est une séquence de 5 caractères. Les caractères possibles sont les chiffres
de 0 à 9, ainsi que les lettres A et B. Mis à part qu’il doit être constitué de 5 caractères, il n’y a pas d’autre
contrainte sur le digicode.
Chaque réponse devra être justifiée. Par contre, il n’est pas nécessaire de calculer complètement le résultat obtenu.
1. Combien existe-t-il de digicodes possibles ?
2. Sur certains très anciens modèles, le digicode ne peut pas utiliser deux fois le même caractère. Combien existe-t-il alors de digicodes possibles ?
3. En examinant attentivement le panneau de saisie du digicode, on peut souvent déterminer les caractères qui composent celui-ci (mais pas leur ordre). Combien existe-t-il de digicodes utilisant tous les
caractères 0, 1, 2, 3, et 4 (et uniquement ceux-là) ?
4. Combien existe-t-il de digicodes utilisant tous les caractères 0, 1, 2, 3 (et uniquement ceux-là) ?
E XERCICE 2 – E SPACES VECTORIELS
u ,~
v ).
Soient ~
u = (3, 0, 1), ~
v = (1, 0, 1), E = {(x, y, z) ∈ R3 ; y = 0} et F = Vect (~
1. Montrer que F = E .
2. Soit G l’ensemble des triplets de réels (x, y, z) vérifiant :
½
2x + y + z = 0
x − 2y + 8z = 0
(a) Montrer que G est un sous-espace vectoriel de R3 , et déterminer une base de G.
(b) Montrer que F et G sont supplémentaires dans R3 .
P ROBLÈME – É TUDE DE FONCTIONS
P REMIÈRE PARTIE : ENCADREMENT DE L’ ARC - TANGENTE
3
Soient g et h les fonctions définies sur [0, +∞[ par g (x) = arctan(x) − x et h(x) = arctan(x) − x + x3 .
1. Etudier les variations des fonctions g et h sur [0, +∞[.
2. En déduire que, pour tout x Ê 0,
x−
x3
É arctan(x) É x.
3
(?)
Le dernier résultat (?) de cette partie est utile dans la suite : on pourra l’utiliser même sans avoir traité
cette première partie.
1
D EUXIÈME PARTIE : ÉTUDE D ’ UNE FONCTION
Soit f l’application définie sur ]0, +∞[ par : f (x) =
arctan(x)
.
x
1. Montrer que f est prolongeable par continuité en 0.
Le prolongement ainsi obtenu sera encore noté f : dans toute la suite, f est donc une fonction définie
sur [0, +∞[.
2. Montrer que f est dérivable en 0, et calculer f 0 (0).
3.
(a) Soit u la fonction définie sur R+ par u(x) =
déduire son signe.
x
1+x 2
− arctan(x). Etudier les variations de u, et en
(b) Dresser le tableau de variation de f sur [0, +∞[, en précisant la limite éventuelle de f en +∞.
4. Dessiner l’allure de la courbe représentative de f .
5.
(a) Montrer que f établit une bijection de R+ sur un intervalle I que l’on précisera.
On note g la réciproque de cette restriction.
(b) Dresser le tableau de variation de g , en y faisant apparaitre les limites et valeurs particulières.
(c) Etudier la continuité et la dérivabilité de g sur I .
(d) Que peut-on dire de la représentation graphique de g au point d’abscisse 1 ?
(e) Calculer g ( π4 ) et g 0 ( π4 ).
T ROISIÈME PARTIE : ÉTUDE D ’ UNE FONCTION CONSTRUITE À PARTIR D ’ UNE PRIMITIVE DE f
La fonction f étant continue, elle admet des primitives sur R+ . On note F la primitive de f définie sur R+
qui s’annule en 0.
Soit ϕ l’application définie sur ]0, +∞[ par : ϕ(x) = F (x)
x .
1.
(a) Montrer que ϕ est continue sur ]0, +∞[.
(b) Montrer que ϕ est prolongeable par continuité en 0.
Pour cela, on pourra remarquer que, pour tout x > 0, ϕ(x) est le taux de variation d’une fonction...
2.
(a) Montrer que, pour tout x > 0, il existe c ∈ ]0, x[ tel que ϕ(x) = f (c).
(b) En déduire que, pour tout x > 0, f (x) < ϕ(x) < 1.
3.
(a) Montrer que ϕ est dérivable sur ]0, +∞[, et que, pour tout x > 0, ϕ0 (x) =
1
x
¡
¢
f (x) − ϕ(x) .
(b) Déterminer les variations de ϕ sur ]0, +∞[.
On ne demande pas, ici, de préciser l’éventuelle limite de ϕ en +∞.
QUATRIÈME PARTIE : ÉTUDE D ’ UNE SUITE
Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 1, et, pour tout n ∈ N, u n+1 = ϕ(u n ).
1. Montrer que, pour tout n ∈ N, 0 < u n É 1.
2. Montrer que, pour tout x ∈ R∗+ , |ϕ0 (x)| É x1 (1 − f (x)).
On pourra utiliser les résultats de la partie précédente.
3. En déduire que, pour tout x ∈ ]0, 1], |ϕ0 (x)| É 13 .
On n’oubliera pas le résultat (?) de la première partie.
4. Montrer que, pour tout (x, y) ∈ ]0, 1]2 , |ϕ(x) − ϕ(y)| É 13 |x − y|.
5.
(a) Montrer que l’équation ϕ(x) = x admet une unique solution α dans ]0, +∞[. (On ne demandera
pas de déterminer la valeur de α.)
(b) Montrer que α ∈ ]0, 1].
6. Montrer que, pour tout n ∈ N, |u n+1 − α| É 13 |u n − α|.
¡ ¢n
7. Montrer que, pour tout n ∈ N, |u n − α| É 13 .
8. En déduire que (u n ) est convergente, et déterminer sa limite.
2