sujet

Lycée Brizeux PCSI B 2015-2016
DEVOIR SURVEILLÉ NO6
19/03/16 – Durée : 4h – Calculatrices interdites
Justifier toutes vos réponses.
Soulignez vos conclusions et encadrez vos résultats. Numérotez les pages de vos copies.
EXERCICE 1– DÉNOMBREMENT
Le digicode d’un immeuble est une séquence de 5 caractères. Les caractères possibles sont les chiffres
de 0 à 9, ainsi que les lettres A et B. Mis à part qu’il doit être constitué de 5 caractères, il n’y a pas d’autre
contrainte sur le digicode.
Chaque réponse devra être justifiée. Par contre, il n’est pas nécessaire de calculer complètement le résul-
tat obtenu.
1. Combien existe-t-il de digicodes possibles ?
2. Sur certains très anciens modèles, le digicode ne peut pas utiliser deux fois le même caractère. Com-
bien existe-t-il alors de digicodes possibles ?
3. En examinant attentivement le panneau de saisie du digicode, on peut souvent déterminer les carac-
tères qui composent celui-ci (mais pas leur ordre). Combien existe-t-il de digicodes utilisant tous les
caractères 0, 1, 2, 3, et 4 (et uniquement ceux-là) ?
4. Combien existe-t-il de digicodes utilisant tous les caractères 0, 1, 2, 3 (et uniquement ceux-là) ?
EXERCICE 2– ESPACES VECTORIELS
Soient ~ u=(3,0,1), ~ v=(1,0,1), E={(x,y,z)∈R3;y=0} et F=Vect(~ u,~ v).
1. Montrer que F=E.
2. Soit Gl’ensemble des triplets de réels (x,y,z) vérifiant :
½2x+y+z=0
x−2y+8z=0
(a) Montrer que Gest un sous-espace vectoriel de R3, et déterminer une base de G.
(b) Montrer que Fet Gsont supplémentaires dans R3.
PROBLÈME – ÉTUDE DE FONCTIONS
PREMIÈRE PARTIE :ENCADREMENT DE L’ARC-TANGENTE
Soient get hles fonctions définies sur [0,+∞[ par g(x)=arctan(x)−xet h(x)=arctan(x)−x+x3
3.
1. Etudier les variations des fonctions get hsur [0,+∞[.
2. En déduire que, pour tout xÊ0,
x−x3
3Éarctan(x)Éx. (?)
Le dernier résultat (?) de cette partie est utile dans la suite : on pourra l’utiliser même sans avoir traité
cette première partie.
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DEUXIÈME PARTIE :ÉTUDE D’UNE FONCTION
Soit fl’application définie sur ]0,+∞[ par : f(x)=arctan(x)
x.
1. Montrer que fest prolongeable par continuité en 0.
Le prolongement ainsi obtenu sera encore noté f : dans toute la suite, f est donc une fonction définie
sur [0,+∞[.
2. Montrer que fest dérivable en 0, et calculer f0(0).
3. (a) Soit ula fonction définie sur R+par u(x)=x
1+x2−arctan(x). Etudier les variations de u, et en
déduire son signe.
(b) Dresser le tableau de variation de fsur [0,+∞[, en précisant la limite éventuelle de fen +∞.
4. Dessiner l’allure de la courbe représentative de f.
5. (a) Montrer que fétablit une bijection de R+sur un intervalle Ique l’on précisera.
On note g la réciproque de cette restriction.
(b) Dresser le tableau de variation de g, en y faisant apparaitre les limites et valeurs particulières.
(c) Etudier la continuité et la dérivabilité de gsur I.
(d) Que peut-on dire de la représentation graphique de gau point d’abscisse 1 ?
(e) Calculer g(π
4) et g0(π 4).
TROISIÈME PARTIE :ÉTUDE D’UNE FONCTION CONSTRUITE À PARTIR D’UNE PRIMITIVE DE f
La fonction fétant continue, elle admet des primitives sur R+. On note Fla primitive de fdéfinie sur R+
qui s’annule en 0.
Soit ϕl’application définie sur ]0,+∞[ par : ϕ(x)=F(x)
x.
1. (a) Montrer que ϕest continue sur ]0,+∞[.
(b) Montrer que ϕest prolongeable par continuité en 0.
Pour cela, on pourra remarquer que, pour tout x >0,ϕ(x)est le taux de variation d’une fonction...
2. (a) Montrer que, pour tout x>0, il existe c∈]0,x[ tel que ϕ(x)=f(c).
(b) En déduire que, pour tout x>0, f(x)<ϕ(x)<1.
3. (a) Montrer que ϕest dérivable sur ]0,+∞[, et que, pour tout x>0, ϕ0(x)=1
x¡f(x)−ϕ(x)¢.
(b) Déterminer les variations de ϕsur ]0,+∞[.
On ne demande pas, ici, de préciser l’éventuelle limite de ϕen +∞.
QUATRIÈME PARTIE :ÉTUDE D’UNE SUITE
Soit (un) la suite définie par : u0=1, et, pour tout n∈N,un+1=ϕ(un).
1. Montrer que, pour tout n∈N, 0 <unÉ1.
2. Montrer que, pour tout x∈R∗
+,|ϕ0(x)| É 1
x(1−f(x)).
On pourra utiliser les résultats de la partie précédente.
3. En déduire que, pour tout x∈]0,1], |ϕ0(x)| É 1
3.
On n’oubliera pas le résultat (?)de la première partie.
4. Montrer que, pour tout (x,y)∈]0,1]2,|ϕ(x)−ϕ(y)| É 1
3|x−y|.
5. (a) Montrer que l’équation ϕ(x)=xadmet une unique solution αdans ]0,+∞[. (On ne demandera
pas de déterminer la valeur de α.)
(b) Montrer que α∈]0,1].
6. Montrer que, pour tout n∈N,|un+1−α| É 1
3|un−α|.
7. Montrer que, pour tout n∈N,|un−α| É ¡1
3¢n.
8. En déduire que (un) est convergente, et déterminer sa limite.
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