Feuille

Univ. P & M. Curie LM110
2009-2010 MIME 154
TD2 : G´en´eralit´es sur les
fonctions
Dans toute la feuille, on note, pour x∈R,E(x) la partie enti`ere de x. On rappelle que c’est le plus grand entier
inf´erieur ou ´egal `a x. Il est caract´eris´e par E(x)∈Z, et une des in´egalit´es suivantes :
E(x)≤x < E(x) + 1 ou x−1< E(x)≤x.
Encore des d´eriv´ees
Exercice 1
Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes (o`u a > 0).
1) sin(x2) 2) ln(ln(x)) 3) ln(ln(ln(x))) 4) ex2
5) (ln(cos x))26) e1/ln x7) ax8) xx
Exercice 2
1. Montrer que sur ]−π/2, π/2[ la fonction tangente a une d´eriv´ee qui ne s’annule pas, et qu’elle r´ealise une bijection
de ] −π/2, π/2[ sur R. On admet que cela impose que la fonction tangente a une r´eciproque d´erivable, autrement
dit qu’ il existe une fonction, appel´ee arctangente et not´ee arctan, d´efinie et d´erivable sur R, telle que pour tout
x∈R, tan(arctan x) = x, et pour tout x∈]−π/2, π/2[, arctan(tan x) = x.
2. Trouver la d´eriv´ee de arctan.
3. Donner les valeurs de arctan 1, arctan(−1) et de arctan(tan x) pour x∈]π/2,3π/2[.
4. Pour x∈R∗, simplifier la formule
arctan x+ arctan 1
x.
Un peu de tout
Exercice 3
On consid`ere une fonction f: [0,1] →[0,1] telle que
∀x∈[0,1] 2x−f(x)∈[0,1] et f(2x−f(x)) = x.
1. Pour x∈[0,1], on pose g(x)=2x−f(x). Dire pourquoi on peut d´efinir g◦g, et montrer que pour x∈[0,1],
g◦g(x) = 2g(x)−x.
2. En d´eduire que pour tout x∈[0,1] et n∈N∗,g(n)(x) = n(g(x)−x), o`u g(n)(x) = g◦ ··· ◦ g(x).
3. En d´eduire que |g(x)−x| ≤ 2
n. Puis en d´eduire get f.
Exercice 4
Soit f:R→Rune fonction T-p´eridique (T > 0). On suppose que fest born´ee sur [0, T [. Montrer que fest born´ee
sur R.
Exercice 5
Soit a, b ∈Rtels que
lim
x→1
ln2(2 −x)
x2+ax +b= 1.
Trouver aet b.

Continuit´e locale
Exercice 6
Soit f:R→Rune fonction continue en 0. On suppose qu’il existe a∈R\{−1,1}tel que
∀x∈Rf(ax) = f(x).
1. Montrer que pour tout x∈Ret tout n∈N,f(anx) = f(x).
2. Montrer que cela reste vrai pour n∈Z.
3. En d´eduire que fest constante (on pourra distinguer les cas o`u |a|>1et|a|<1).
Exercice 7
Tracer le graphe de la fonction x7→ E(x). Dire en quels points elle est continue. Mˆeme question avec x7→ E(1/x),
puis x7→ xE(1/x).
Exercice 8
On rappelle que Qest l’ensemble des nombres rationnels, c’est-`a-dire ceux qui peuvent s’´ecrire sous la forme p/q o`u
p∈Zet q∈N∗. On rappelle aussi que √2/∈Q(on dit qu’il est irrationnel).
1. Pour x∈Q, montrer que la suite (x+√2/n)n≥1est une suite de R\Qtendant vers x.
2. Pour x /∈Q, montrer que la suite (E(nx)/n)n≥1est une suite de Qtendant vers x.
3. Montrer que la fonction fd´efinie par
f(x) = 1 si x∈Q
0 si x /∈Q
n’est continue en aucun point de R.
Exercice de recherche
Soit f:]0,+∞[→Rune fonction croissante. On suppose que x7→ f(x)/x est d´ecroissante. Montrer que fest continue.