TD6. Fonctions définies par des intégrales. - math.univ

Université de Tours Année 2014-2015
L1 Mathématiques Analyse
TD6. Fonctions définies par des intégrales.
Exercice 1. Donner le domaine de définition, les intervalles de dérivabilitées et calculer la derivée des fonctions
suivantes:
F1(x) = Zx
1
(t2+ 3t)dt ;F2(x) = Zx2
1
(t2+ 3t)dt ;F3(x) = Z2x
1
(t2+ 3t)dt
G1(x) = Z3
x
sin2(t)dt ;G2(x) = Z100
ln(x)
sin2(t)dt ;G3(x) = Z1
cos(x2)
sin2(t)dt +x2
H1(x) = Z3x
x
e2tdt ;H2(x) = Zsin(3x)+5x2
sin(3x)
e2tdt ;H3(x) = Zln(12x)
ln(10x)
e2tdt
Exercice 2. Soit φla fonction définie par:
φ(x) = Z1+x2
1
lntdt.
a) Montrer que φest dérivable et déterminer φ0sans expliciter φ.
b) Calculer la dérivée de l’application ψ:t∈R∗
+7→ tlnt−t. En déduire une primitive de la fonction logarithme
puis l’expression de φ.
c) Retrouver l’expression de φ0obtenue à la question (a).
Exercice 3. Soit f(x) = Z2x
x
dt
√4 + t2
a) Préciser le domaine de définition Dfde fet montrer que fest impaire.
b) Établir que, pour tout t > 0, on a : 1
t+ 2 <1
√4 + t2<1
t·
c) En déduire un encadrement de f(x)(pour x > 0) puis trouver lim
x→+∞
f(x).
d) Justifier la dérivabilité de fet donner f0(x). Dresser le tableau de variation de f(pour x > 0) et tracer son
graphe sur Df.
Exercice 4. Soit fune fonction continue de [0,1] dans Rvérifiant
Z1
0
f(x)dx =1
2.
Démontrer qu’il existe α∈]0,1[ tel que f(α) = α.
Indication. Considérer la fonction hdéfinie de [0,1] dans Rpar
h(x) = Zx
0
f(t)dt −x2
2
et utiliser le théorème de Rolle.

Exercices d’entraînement
Exercice 5. Soit fune fonction continue de R∗
+vers R∗ +et telle que, pour tout tout x∈R∗ +,f(x+ 1) < f(x).
1. Soit g:R∗
+→Rla fonction définie par :
g(x) = Zx+1
x
f(t)dt .
Démontrer que Gest dérivable sur R∗
+et exprimer g0(x)pour tout x > 0.
Exercice 6. Soit f: [0,1] →Rune fonction continue sur [0,1], dérivable sur ]0,1[ et telle que
Z1
0
f(x)dx =f(1) .
Démontrer qu’il existe β∈]0,1[ tel que f0(β)=0.
Indication. Considérer la fonction g: [0,1] →Rdéfinie par
g(x) = Zx
0
f(t)dt −x f(x)
et utiliser le théorème de Rolle.
Exercice 7. (Extrait du sujet de Mai 2008).
Le but de l’exercice est d’étudier la fonction réelle défine par:
F(x) = Zx2
x
e−t2 dt.
1. Pour quelles valeurs de xla fonction Fs’annule-t-elle? Etudier le signe de F.
2. Vérifier que Fest dérivable et montrer que F0(x)=2xe−x4−e−x2.
3. Déterminer un dévéloppement limité de F0en 0 à l’ordre 6. En déduire un dévéloppement limité de Fen
0 à l’ordre 6.
4. Soit Cle graphe de F. Déterminer la tangente en l’origine à la courbe Cet préciser la position de la
tangente par rapport à Cau voisinage de l’origine.
5. Montrer que la limite de Fen +∞est nulle (on pourra majorer e−t2sur [x, x2]lorsque x > 1).
6. Montrer que Fest décroissante sur ]− ∞,0[ et en déduire que Fadmet une limite finie lquand xtends
vers −∞.
Indication: Pour x < −1, on pourra écrire
F(x) = Z−1
x
e−t2 dt +Z1
−1
e−t2 dt +Zx2
1
e−t2 dt
et majorer e−t2par 1
t2sur [x, −1] et [1, x2].