TD6. Fonctions définies par des intégrales. - math.univ

Université de Tours
L1 Mathématiques
Année 2014-2015
Analyse
TD6. Fonctions définies par des intégrales.
Exercice 1. Donner le domaine de définition, les intervalles de dérivabilitées et calculer la derivée des fonctions
suivantes:
Z x
Z x2
Z 2x
F1 (x) =
(t2 + 3t) dt ; F2 (x) =
(t2 + 3t) dt ; F3 (x) =
(t2 + 3t) dt
1
Z
1
3
G1 (x) =
sin2 (t) dt ;
Z
sin2 (t) dt ;
G2 (x) =
x
1
100
Z
3x
Z
2t
e dt ;
H1 (x) =
cos(x2 )
sin(3x)+5x2
e2t dt ;
H2 (x) =
x
sin2 (t) dt + x2
G3 (x) =
ln(x)
Z
1
Z
ln(12x)
H3 (x) =
e2t dt
ln(10x)
sin(3x)
Exercice 2. Soit φ la fonction définie par:
Z
1+x2
φ(x) =
lntdt.
1
a) Montrer que φ est dérivable et déterminer φ0 sans expliciter φ.
b) Calculer la dérivée de l’application ψ : t ∈ R∗+ 7→ tlnt − t. En déduire une primitive de la fonction logarithme
puis l’expression de φ.
c) Retrouver l’expression de φ0 obtenue à la question (a).
Z
2x
dt
4
+ t2
x
a) Préciser le domaine de définition Df de f et montrer que f est impaire.
Exercice 3. Soit f (x) =
√
b) Établir que, pour tout t > 0, on a :
1
1
1
< ·
<√
t+2
t
4 + t2
c) En déduire un encadrement de f (x) (pour x > 0) puis trouver lim f (x).
x→+∞
0
d) Justifier la dérivabilité de f et donner f (x). Dresser le tableau de variation de f (pour x > 0) et tracer son
graphe sur Df .
Exercice 4. Soit f une fonction continue de [0, 1] dans R vérifiant
Z
1
f (x)dx =
0
1
.
2
Démontrer qu’il existe α ∈]0, 1[ tel que f (α) = α.
Indication. Considérer la fonction h définie de [0, 1] dans R par
Z x
x2
h(x) =
f (t)dt −
2
0
et utiliser le théorème de Rolle.
Exercices d’entraînement
Exercice 5. Soit f une fonction continue de R∗+ vers R∗+ et telle que, pour tout tout x ∈ R∗+ , f (x + 1) < f (x).
1. Soit g : R∗+ → R la fonction définie par :
x+1
Z
g(x) =
f (t)dt .
x
Démontrer que G est dérivable sur R∗+ et exprimer g 0 (x) pour tout x > 0.
Exercice 6. Soit f : [0, 1] → R une fonction continue sur [0, 1], dérivable sur ]0, 1[ et telle que
Z
1
f (x)dx = f (1) .
0
Démontrer qu’il existe β ∈]0, 1[ tel que f 0 (β) = 0.
Indication. Considérer la fonction g : [0, 1] → R définie par
Z x
g(x) =
f (t)dt − x f (x)
0
et utiliser le théorème de Rolle.
Exercice 7. (Extrait du sujet de Mai 2008).
Le but de l’exercice est d’étudier la fonction réelle défine par:
x2
Z
2
e−t dt.
F (x) =
x
1. Pour quelles valeurs de x la fonction F s’annule-t-elle? Etudier le signe de F .
4
2
2. Vérifier que F est dérivable et montrer que F 0 (x) = 2xe−x − e−x .
3. Déterminer un dévéloppement limité de F 0 en 0 à l’ordre 6. En déduire un dévéloppement limité de F en
0 à l’ordre 6.
4. Soit C le graphe de F . Déterminer la tangente en l’origine à la courbe C et préciser la position de la
tangente par rapport à C au voisinage de l’origine.
2
5. Montrer que la limite de F en +∞ est nulle (on pourra majorer e−t sur [x, x2 ] lorsque x > 1).
6. Montrer que F est décroissante sur ] − ∞, 0[ et en déduire que F admet une limite finie l quand x tends
vers −∞.
Indication: Pour x < −1, on pourra écrire
Z
−1
F (x) =
x
2
et majorer e−t par
1
t2
sur [x, −1] et [1, x2 ].
2
e−t dt +
Z
1
−1
2
e−t dt +
Z
1
x2
2
e−t dt