DEVOIR SURVEILLÉ N° V : Fonction exponentielle et logarithme

D EVOIR SURVEILLÉ N° V : Fonction exponentielle et logarithme
TS4
Vendredi 7 décembre 2 heure s
α βγδǫηθφ
χ λ µ ν +∞ ρ σ ω
Exercice V1 Des équations ou inéquations
Résoudre les équations ou inéquations suivantes :
1
2
4. e(x ) ≤ .
e
2
5. e(x ) ≤ (ex )2
6. x(2ex − 1) ≥ 0.
1. ln(x + 4) + ln(x + 1) = ln(x + 9)
2. ex = −4
3. (ex − 3)2 = 9
Exercice V2
1. Factoriser le trinôme du second degré X 2 + X − 12, puis factoriser (ln x)2 + ln x − 12 pour tout x appartenant à ]0; +∞[.
2. Résoudre dans ]0; +∞[ l’équation (ln x)2 + ln x − 12 = 0.
3. Résoudre dans ]0; +∞[ l’inéquation (ln x)2 + ln x − 12 > 0
Exercice V3
Soit f définie sur [0; +∞[ par :
¶
µ
3
si x 6= 0 et f (0) = 0
f (x) = x 2 ln x −
2
¡ →
− →
−¢
On note C f sa représentation graphique dans un repère orthonormé O; ı ,  .
1. On admet que f ′ (0) = 0. Que peut-on en déduire pour C f ?
2. Etudier la limite de f en +∞.
3. a) Justifier que f est dérivable sur ]0; +∞[ et déterminer la dérivée f ′ de f sur ]0; +∞[.
b) Etudier f et dresser le tableau de variation de ¡f
→
− →
−¢
c) Construire sommairement la courbe C f dans O; ı ,  (unité graphique 2 ).
Exercice V4
Déterminer la limite de f en a dans les cas suivants :
1. f (x) =
x − x ln x + 1
,
x ln x + 5
2. f (x) =
a = +∞
ln(1 + 3x)
,
ln(1 + 2x)
Exercice V5
Soit P la fonction définie sur R par :
P(x) = 2x 3 − x 2 − 13x − 6
1. Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout réel x :
P(x) = (x + 2)(ax 2 + bx + c)
2. Étudier le signe de P(x) sur R.
3. Résoudre dans R l’inéquation :
(E) : ln(x 2 + 1) + ln(2x − 1) 6 ln(3x + 1) + ln 5
a=0
Exercice V6
Partie A
Soit f la fonction définie sur I = ]0; +∞[ par :
f (x) = 3 − x − ln x
1. Déterminer les limites de f aux bornes de I.
2. Étudier les variations de f .
3. Montrer que l’équation (E) : f (x) = 0 admet une unique solution α dans I. Déterminer un encadrement de α d’amplitude
10−2 .
4. Déterminer le signe de f (x) sur I.
Partie B
Soit g la fonction définie sur I par :
¶
µ
1
g (x) = 1 −
(2 − ln x)
x
1. Déterminer les limites de g aux bornes de I.
2. Justifier que g est dérivable sur I puis montrer que, pour tout x de I :
g ′ (x) =
f (x)
x2
3. Étudier les variations de g .
4. En utilisant l’égalité f (α) = 0, exprimer ln(α) en fonction de α. En déduire que :
g (α) =
(α − 1)2
α
5. Déduire de l’égalité précédente un encadrement de g (α) d’amplitude 0, 02.
6. Éudier le signe de g (x) sur I.
Exercice V7 Bonus !
Dans cet exercice toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans
l’évaluation.
Étudier la fonction définie par :
µ
¶
1
f (x) = 1 + ln 1 + 2
x
2