TD2

I.U.T d’Aix-Marseille
Premier semestre 2016/2017
Département Mesures Physiques
Mathématiques - TD no 2
Révisions-Equations différentielles linéaires d’ordre 1
Révisions.
Exercice A
1. Sans avoir recours au calcul du discriminant, déterminez les solutions des équations
suivantes :
x2 + 5 = 0, x2 − 6 = 0, 2x2 − 5x = 0.
2. Résoudre les équations ou inéquations suivantes :
√
x2 − 6
3x + 2
= 0, (x + 2)(3x + 1) ≤ 0,
> 0, x = 2x + 3.
x+1
x−1
3. Simplifiez les nombres réels suivants :
√
√
A = eln( 2) , B = ln( 3), C = ln(e3 ), D = ln(e−3 e3 ).
4. Soit x ∈ R, simplifiez les fonctions suivantes :
√
√
3
f (x) = x2 , g(x) = x3 .
Quelques techniques de calculs.
Le but de cette partie est d’apprendre à dériver et intégrer rapidement certains types de
fonctions. Ces méthodes sont à comprendre, il ne faut pas les apprendre par coeur. Il faut
savoir les appliquer aux moments voulus pour vous faciliter certains calculs.
Exercice 1
Soit P une fonction polynomiale et k ∈ R, on pose f (x) = ekx P (x) pour tout x ∈ R.
1. Calculer la dérivée de f (en fonction de celle de P ).
2. Calculer les dérivées des fonctions f , g et h définies ci-dessous en s’inspirant de la
question 1 :
f (x) = e−x (2x2 + x + 1) , g(x) = e2x (3x − 1) , h(x) = e3x (x3 − x).
Exercice 2
Soit f une fonction de la forme f (x) = ekx g(x) où g est une fonction dérivable sur R.
1. Calculer la dérivée de f .
2. Calculer les dérivées des fonctions f , g et h définies ci-dessous en s’inspirant de la
question 1 :
f (x) = ex (3 cos x − sin x) , g(x) = e−x (2 cos 2x + sin 2x) , h(x) = e2x (cos 3x + sin 3x).
Exercice 3
Après en avoir précisé la forme, calculer une primitive pour chacune des fonctions suivantes.
f (x) = ex (x2 + x), g(x) = e2x (x3 − 1)
h(x) = e−x (2 cos x + sin x), i(x) = e2x (sin 3x), j(x) = ex (cos x + sin x)
Equations différentielles linéaires d’ordre 1
Exercice 4 EDL du premier ordre à coefficients constants
Intégrer les équations différentielles suivantes :
a) y 0 = 2y + e2x (x2 + 1)
b) y 0 − y = e−x (sin x + cos x)
c) −y 0 = 3y + e2x sin x
1
d) y 0 = y + e2x (x2 + x + 1)
3
e) 2 di + 4i(t) = 3
dt
Exercice 5 Devoir surveillé octobre 2014
On considère l’équation différentielle (E1 )
y 0 = 2y + cos 2x.
1
1. Déterminer l’unique solution g de (E1 ) qui vérifie g(0) = − .
4
2. Montrer que g est une fonction sinusoı̈dale dont on précisera l’amplitude, la période et
la phase.
Exercice 6
1. Résoudre les équations suivantes en précisant le (ou les) intervalles de résolution :
0 + y = ex .
a) xy√
b) y 0 x + y = 1.
2. Déterminez l’unique solution du problème de Cauchy suivant :
0
y + x2 y = x2
y(0) = 3
Exercice 7
Résoudre l’équation différentielle suivante : y 0 + y = (cos x − sin x)2 .
Exercice 8 Pour s’entraı̂ner
Résoudre l’équation différentielle suivante sur l’intervalle I =]0, +∞[ :
xy 0 − y = ln x
Exercice 9 Pour s’entraı̂ner
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y 0 − 2y = (x2 − 3x + 2)e2x
b) y 0 + y + 1 = ex
c) y 0 = y + ex (x2 + sin x)
d) y 0 = 2y + (x2 + e2x )e2x .
Exercice 10 Pour s’entraı̂ner
Résoudre sur I =]1, +∞[, l’équation différentielle
y0 −
x−2
x4
y
=
ex
x2 − x
x2 − x
Indication : on pourra remarquer que la fraction a(x) =
forme suivante
x−2
se décompose sous la
x2 − x
1
2
−
.
x x−1
On appelle cette décomposition : décomposition en éléments simples, ces notions
seront étudiées à la fin du semestre.
a(x) =