TD2

I.U.T d’Aix-Marseille Premier semestre 2016/2017
D´epartement Mesures Physiques
Math´ematiques - TD no2
R´evisions-Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 1
R´evisions.
Exercice A
1. Sans avoir recours au calcul du discriminant, d´eterminez les solutions des ´equations
suivantes :
x2+ 5 = 0, x2−6=0,2x2−5x= 0.
2. R´esoudre les ´equations ou in´equations suivantes :
x2−6
x+ 1 = 0,(x+ 2)(3x+ 1) ≤0,3x+ 2 x−1>0, x =√2x+ 3.
3. Simplifiez les nombres r´eels suivants :
A=eln(√2), B = ln(√3), C = ln(e3), D = ln(e−3e3).
4. Soit x∈R, simplifiez les fonctions suivantes :
f(x) = √x2, g(x) = 3
√x3.
Quelques techniques de calculs.
Le but de cette partie est d’apprendre `a d´eriver et int´egrer rapidement certains types de
fonctions. Ces m´ethodes sont `a comprendre, il ne faut pas les apprendre par coeur. Il faut
savoir les appliquer aux moments voulus pour vous faciliter certains calculs.
Exercice 1
Soit Pune fonction polynomiale et k∈R, on pose f(x) = ekxP(x) pour tout x∈R.
1. Calculer la d´eriv´ee de f(en fonction de celle de P).
2. Calculer les d´eriv´ees des fonctions f,get hd´efinies ci-dessous en s’inspirant de la
question 1 :
f(x) = e−x(2x2+x+ 1) , g(x) = e2x(3x−1) , h(x) = e3x(x3−x).
Exercice 2
Soit fune fonction de la forme f(x) = ekx g(x) o`u gest une fonction d´erivable sur R.
1. Calculer la d´eriv´ee de f.
2. Calculer les d´eriv´ees des fonctions f,get hd´efinies ci-dessous en s’inspirant de la
question 1 :
f(x) = ex(3 cos x−sin x), g(x) = e−x(2 cos 2x+ sin 2x), h(x) = e2x(cos 3x+ sin 3x).
Exercice 3
Apr`es en avoir pr´ecis´e la forme, calculer une primitive pour chacune des fonctions suivantes.
f(x) = ex(x2+x), g(x) = e2x(x3−1)
h(x) = e−x(2 cos x+ sin x), i(x) = e2x(sin 3x), j(x) = ex(cos x+ sin x)

Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 1
Exercice 4 EDL du premier ordre `a coefficients constants
Int´egrer les ´equations diff´erentielles suivantes :
a) y0= 2y+e2x(x2+ 1)
b) y0−y=e−x(sin x+ cos x)
c) −y0= 3y+e2xsin x
d) 1
3y0=y+e2x(x2+x+ 1)
e) 2di
dt+ 4i(t)=3
Exercice 5 Devoir surveill´e octobre 2014
On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E1)
y0= 2y+ cos 2x.
1. D´eterminer l’unique solution gde (E1) qui v´erifie g(0) = −1
4.
2. Montrer que gest une fonction sinuso¨ıdale dont on pr´ecisera l’amplitude, la p´eriode et
la phase.
Exercice 6
1. R´esoudre les ´equations suivantes en pr´ecisant le (ou les) intervalles de r´esolution :
a) xy0+y=ex.
b) y0√x+y= 1.
2. D´eterminez l’unique solution du probl`eme de Cauchy suivant :
y0+x2y=x2
y(0) = 3
Exercice 7
R´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante : y0+y= (cos x−sin x)2.
Exercice 8 Pour s’entraˆıner
R´esoudre l’´equation diff´erentielle suivante sur l’intervalle I=]0,+∞[ :
xy0−y= ln x
Exercice 9 Pour s’entraˆıner
R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :
a) y0−2y= (x2−3x+ 2)e2x
b) y0+y+ 1 = ex
c) y0=y+ex(x2+ sin x)
d) y0= 2y+ (x2+e2x)e2x.
Exercice 10 Pour s’entraˆıner
R´esoudre sur I=]1,+∞[, l’´equation diff´erentielle
y0−x−2
x2−xy=x4 x2−xex
Indication : on pourra remarquer que la fraction a(x) = x−2
x2−xse d´ecompose sous la
forme suivante
a(x) = 2
x−1 x−1.
On appelle cette d´ecomposition : d´ecomposition en ´el´ements simples, ces notions
seront ´etudi´ees `a la fin du semestre.