DOSSIER Analyse 17 Th`eme : Séries de Fourier

Master 2 EADM 2013-2014
Université Claude Bernard Lyon 1
UE 2
CAPES Externe
Épreuve sur dossier
DOSSIER
Analyse 17
Thème : Séries de Fourier
L’exercice proposé au candidat
Soit f une fonction réelle deux fois dérivable, 2π-périodique et λ un réel. On
cherche une solution à l’équation différentielle
y 0 + λy = f.
1. Montrer que la solution peut s’écrire
x
Z
y(x) = e−λx y(0) +
f (u)eλu du .
0
2. Montrer si une solution φ vérifie
Z
φ(2π) = φ(0) =
2π
f (u)eλu du
0
e2πλ − 1
alors φ est l’unique solution 2π-périodique.
3. Montrer que φ admet un développement en série de Fourier et exprimer
ses coefficients en fonction de ceux de f .
Éléments de réponse d’élève.
1. La dérivée de la fonction e−λx y(0) +
e
−λx
Z
−λ y(0) − λ
Rx
0
f (x)eλx dx est
x
f (x)eλx dx + y 0 (0) + f (x)eλx .
0
En développant, λy puis e±λx s’annulent, laissant f = f .
2. Si φ vérifie φ(2π) = φ(0) alors elle est 2π-périodique. Puisque φ(0) est fixé
égal à φ(2π), elle est unique.
3. Comme φ est dérivable,P elle est développable en série de Fou∞
rier. φ0 (x) + λφ(x) = n=1 −an n sin(n x) + bn n cos(n x) + λ a0 +
P∞
an cos(n x) + bn cos(n x) = a0 + n=1 an cos(n x) + bn sin(n x) soit
(
n bn + λan = an ,
donc, en multipliant par λ et par n, en faisant la
−n an + λbn = bn
somme, on obtient
P∞
1
φ(x) = λ2 +n
2
n=1 (λan − n bn ) cos(nx) + (λbn + n an ) sin(nx).
Le travail à exposer devant le jury
1. Analyser la réponse proposée par l’élève.
2. Exposer la correction de cet exercice comme devant une classe dont on
précisera le niveau.
3. Proposer différents exercices sur le thème des série de Fourier.