DOSSIER Analyse 17 Th`eme : Séries de Fourier

Master 2 EADM 2013-2014 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 ´ Epreuve sur dossier
DOSSIER
Analyse 17 Th`eme : S´eries de Fourier
L’exercice propos´e au candidat
Soit fune fonction r´eelle deux fois d´erivable, 2π-p´eriodique et λun r´eel. On
cherche une solution `a l’´equation diff´erentielle
y0+λy =f.
1. Montrer que la solution peut s’´ecrire
y(x) = e−λxy(0) + Zx
0
f(u)eλu du.
2. Montrer si une solution φv´erifie
φ(2π) = φ(0) = Z2π
0
f(u)eλu du
e2πλ −1
alors φest l’unique solution 2π-p´eriodique.
3. Montrer que φadmet un d´eveloppement en s´erie de Fourier et exprimer
ses coefficients en fonction de ceux de f.
´
El´ements de r´eponse d’´el`eve.
1. La d´eriv´ee de la fonction e−λxy(0) + Rx
0f(x)eλx dxest
e−λx−λ y(0) −λZx
0
f(x)eλx dx+y0(0) + f(x)eλx.
En d´eveloppant, λy puis e±λx s’annulent, laissant f=f.
2. Si φv´erifie φ(2π) = φ(0) alors elle est 2π-p´eriodique. Puisque φ(0) est fix´e
´egal `a φ(2π), elle est unique.
3. Comme φest d´erivable, elle est d´eveloppable en s´erie de Fou-
rier. φ0(x) + λφ(x) = P∞
n=1
−annsin(n x) + bnncos(n x) + λa0+
ancos(n x) + bncos(n x)=a0+P∞
n=1 ancos(n x) + bnsin(n x) soit
(n bn+λan=an,
−n an+λbn=bn
donc, en multipliant par λet par n, en faisant la
somme, on obtient
φ(x) = 1
λ2+n2P∞
n=1(λan−n bn) cos(nx)+(λbn+n an) sin(nx).
Le travail `a exposer devant le jury
1. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve.
2. Exposer la correction de cet exercice comme devant une classe dont on
pr´ecisera le niveau.
3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des s´erie de Fourier.