Télécharger

PCSI 10 Septembre 2016
Correction du devoir surveillé n◦1
Exercice 1: Questions de cours
1. Soit fune fonction définie sur Dfà valeurs dans R.
La fonction fest périodique lorsque qu’il existe un réel T6= 0 tel que
∀x∈Df, x +T∈Dfet f(x+T) = f(x)
2. Soit fune fonction définie sur Rà valeurs dans R.
On dit que fest une fonction bornée sur Rlorsque elle est majorée et minorée sur R:
∃(m, M)∈R2,∀x∈R, m ≤f(x)≤M.
3. Soient f:Df→Ret g:Dg→Rtelles que f(Df)⊂Dg. Supposons fdécroissante sur Iet g
décroissante sur f(I).
∀(x, y)∈I2, x ≤y⇒f(x)≥f(y)car fest décroissante sur I
⇒g[f(x)] ≤g[f(y)] car gest décroissante sur f(I)
∀(x, y)∈I2, x ≤y⇒(g◦f)(x)≤(g◦f)(y)
La fonction g◦fest croissante sur I.
4. Soient fune fonction dérivable sur Iet gune fonction dérivable sur Jtelles que f(I)⊂J
La composée g◦fest dérivable sur Iet (g◦f)0=f0×g0◦f.
Exercice 2: Applications
1. La fonction x7→ cos(4x)est définie sur R.
∀x∈R,cos 4x+π
2 = cos(4x+ 2π) = cos(4x).
car la fonction cos est 2π-périodique. La fonction x7→ cos(4x)est π
2-périodique.
2. La fonction x7→ sin(x)−xest définie sur Rqui est bien un ensemble centré en 0.
∀x∈R,sin(−x)−(−x) = −sin(x) + x=−(sin(x)−x)
La fonction x7→ sin(x)−xest impaire.
3. Il existe plusieurs méthodes pour montrer que la fonction est bornée.
(a) Tableau de variations :
La fonction f:x7→ x
1+x2est définie et dérivable sur Rcomme quotient de deux fonctions
dérivables sur Ravec un dénominateur qui ne s’annule pas et
∀x∈R, f0(x) = 1 + x2−x×2x
(1 + x2)2=1−x2 (1 + x2)2
La dérivée est du signe du polynôme P(x)=1−x2, qui est positif entre les racines,
c’est-à-dire sur [−1,1]. La fonction fest décroissante sur ]− ∞;−1], elle est croissante
sur [−1; 1] et décroissante sur [1; +∞[.
∀x∈R, f(x) = 1
x1
x2+1donc lim
x→−∞ f(x)=0et lim
x→+∞f(x)=0
Mathématiques Lycée l’Essouriau 2016-2017

PCSI 10 Septembre 2016
x−∞ −11+∞
f0(x)−+−
f(x)0
−1
2
1
2
0
Finalement, ∀x∈R,−1
2≤f(x)≤1 2.
(b) Encadrements :
∀x∈R,(1 −x)2≥0
1−2x+x2≥0
1 + x2≥2x
1
2≥x 1 + x2
∀x∈R,(1 + x)2≥0
1+2x+x2≥0
1 + x2≥ −2x
−1
2≤x 1 + x2
Finalement, ∀x∈R,−1
2≤f(x)≤1 2.
4. La fonction f:x7→ xln(x)est définie et dérivable sur R∗
+comme produit de fonctions déri-
vables sur R∗
+et
∀x∈R∗
+, f0(x) = ln(x) + x×1
x= ln(x)+1
Or, ln(x)+1s’annule et change de signe en x=e−1=1
e.
La fonction fest décroissante sur ]0; e−1]et elle est croissante sur [e−1; +∞[.
5. Soit fune fonction définie et dérivable sur Rimpaire : ∀x∈R, f(−x) = −f(x)
On va dériver cette égalité. On a le droit puisque les fonction x7→ f(−x)est dérivable sur R
comme composée de la fonction fet de la fonction x7→ −x.
∀x∈R,−f0(−x) = −f0(x)
f0(−x) = f0(x)
Si la fonction fest impaire alors la fonction f0est paire. On peut démontrer également que si
la fonction fest paire alors la fonction f0est impaire.
Exercice 3: Compositions
Df=Ret Dg=R∗
+.
La fonction fest un polynôme du second degré qui s’annule deux points : (−√2,0) et (√2,0). Elle
est positive à l’extérieur des racines.
La fonction fest strictement positive sur ]− ∞;−√2[∪]√2; +∞[donc la fonction g◦fest définie
sur cet ensemble par
∀x∈]− ∞;−√2[∪]√2; +∞[, g ◦f(x) = ln(x2−2).
Exercice 4: Dérivations
a) La fonction kest définie sur R.
La fonction x7→ e−3xest dérivable sur Rcomme composée de la fonction x7→ −3xdéfinie
sur Rà valeurs dans Ret de la fonction exponentielle dérivable sur R. De même, la fonction
Mathématiques Lycée l’Essouriau 2016-2017

PCSI 10 Septembre 2016
x7→ sin(x2)est dérivable sur R.
Par produit, la fonction kest dérivable sur Ret
∀x∈R, k0(x) = 2xcos(x2)e−3x+ sin(x2)×(−3e−3x) = e−3x(2xcos(x2)−3 sin(x2))
b) Dh=nx∈R,2 + x≥0et 1 + √2 + x≥0o={x∈R,2 + x≥0}= [−2; +∞[.
La fonction x7→ 2 + xest dérivable sur ]−2; +∞[à valeurs dans R∗
+(on enlève 2 car la racine
carrée n’est pas dérivable en 0). La fonction x7→ √xest dérivable sur R∗
+. Par composée et
somme , la fonction x7→ 1+√2 + xest dérivable sur ]−2; +∞[à valeurs dans R∗
+. De nouveau
par composée, la fonction x7→ q1 + √2 + xest dérivable sur ]−2; +∞[et
∀x∈]−2; +∞[, h0(x) = (1 + √2 + x)0
2q1 + √2 + x
=
1
2√2+x
2q1 + √2 + x
=1
4√2 + xq1 + √2 + x
c) Dg={x∈R,2 + cos(x)6= 0}=Rcar ∀x∈R,1≤2 + cos(x)≤3.
La fonction gest dérivable sur Rcomme quotient de deux fonctions dérivables sur Ravec un
dénominateur qui ne s’annule jamais et
∀x∈R, g0(x) = cos(x)(2 + cos(x))2−sin(x)×(−2 sin(x)(2 + cos(x))
(cos(x) + 2)4
=cos(x)(4 + 4 cos(x) + cos2(x)) + 2 sin2(x)(2 + cos(x))
(cos(x) + 2)4
=4 cos(x) + 4 cos2(x) + cos3(x) + 4 sin2(x) + 2 sin2(x) cos(x)
(cos(x) + 2)4
=4 cos(x) + 4 + cos3(x) + 2(1 −cos2(x)) cos(x)
(cos(x) + 2)4
=4 + 6 cos(x)−cos3(x)
(cos(x) + 2)4
Exercice 5: On définit sur Rla fonction φpar φ(x) = e2x−1
e2x+1 .
1. φest définie sur Rqui est centré en 0.
∀x∈R, φ(−x) = e−2x−1
e−2x+ 1 =1−e2x 1 + e2xen multipliant numérateur et dénominateur par e2x
=−(e2x−1)
e2x+ 1 =−φ(x)
La fonction φest impaire. Nous pouvons restreindre son ensemble d’étude à [0; +∞[.
2. La fonction φest dérivable sur R+comme quotient de deux fonctions dérivables sur R+avec
un dénominateur qui ne s’annule jamais et
∀x∈R+, φ0(x) = 2e2x(e2x+ 1) −(e2x−1) ×2e2x
(e2x+ 1)2=4e2x (e2x+ 1)2
La dérivée de φest strictement positive sur R+donc φest strictement croissante sur R+. Par
symétrie, elle l’est aussi sur R−.
∀x∈R,e2x−1
e2x+1 =e2x(1−1
e2x)
e2x(1−1
e2x)=1−1
e2x
1−1
e2x
et lim
x→+∞
1
e2x= 0. Par somme et quotient, lim
x7→+∞φ(x) = 1.
La courbe admet une asymptote horizontale y= 1 en +∞.
Mathématiques Lycée l’Essouriau 2016-2017

PCSI 10 Septembre 2016
Par parité, lim
x7→−∞ φ(x) = −lim
x7→+∞φ(x) = −1. La courbe admet une asymptote horizontale
y=−1en −∞.
Nous pouvons alors tracer le tableau de variations de φsur R.
x−∞ 0+∞
φ0(x)+ +
φ(x)
−10
1
3. φest une fonction continue et strictement croissante sur Rà valeurs dans ]−1,1[. C’est donc
une bijection de Rsur ]−1,1[.
4. Soit x∈Ret soit y∈]−1,1[ tels que φ(x) = y.
φ(x) = y⇔e2x−1
e2x+ 1 =y
⇔e2x−1 = y(e2x+ 1)
⇔e2x(1 −y) = 1 + y
⇔e2x=1 + y
1−ycar y6= 1
⇔x=1
2ln 1 + y 1−y
Finalement, ∀y∈]−1,1[, φ−1(y) = 1
2ln 1+y 1−y.
5. Nous allons calculer 1−φ2.
∀x∈R,1−φ2(x) = 1 −e2x−1
e2x+ 12
= 1 −(e2x−1)2
(e2x+ 1)2
=(e2x+ 1)2−(e2x−1)2
(e2x+ 1)2
=2e2x×2
(e2x+ 1)2par l’identité remarquable (a+b)(a−b) = a2−b2
=4e2x
(e2x+ 1)2=φ0(x).
La fonction φest dérivable sur Ravec une dérivée qui ne s’annule jamais donc la fonction φ−1
est dérivable sur ]−1,1[ et
∀y∈]−1,1[,(φ−1)0(y) = 1
(φ0◦φ−1)(y)=1 φ0[φ−1(y)] =1 1−φ2[φ−1(y)] =1 1−y2
6.
∀x∈R,2
φ(2x)−1 φ(x)=2
e4x−1
e4x+1 −1
e2x−1
e2x+1
=2(e4x+ 1)
e4x−1−e2x+ 1 e2x−1=2(e4x+ 1) −(e2x+ 1)2 e4x−1
=2e4x+ 2 −e4x−2e2x−1
e4x−1=(e2x−1)2 (e2x−1)(e2x+ 1) =φ(x)
D’où l’égalité souhaitée.
Mathématiques Lycée l’Essouriau 2016-2017