Variables complexes

Variables complexes
Yves Chiricota, professeur
DIM, UQAC
Cours 8MAP111
8/ 12/2015
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1. INTRODUCTION
Notice
Ce document se veut un aide mémoire exhaustif concernant portant sur les
variables complexes pour le cours 8MAP111.
1
Introduction
Les nombres complexes apparaissent de façon naturelle lorsqu’il est question
de résoudre des équations polynomiales p(x) = 0, où p(x) est de la forme
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · an xn .
Considérons l’équation x2 − 1 = 0, il est facile de constater que celle-ci
possède les solutions x = 1 et x = −1. En fait, ce sont les deux seules
solutions. Qu’en est-il de l’équation x2 + 1 = 0 ? Pour résoudre cette
équation, nous avons besoin d’un nombre spécial, appelé nombre imaginaire
et désigné par i, qui satisfait la propriété i2 = −1. Ce nombre a été introduit
à l’époque de la renaissance.
2
Nombres complexes
• L’ensemble des nombres complexes est défini comme suit:
C = {a + bi | a, b ∈ R},
où i est défini par la propriété i2 = −1.
On écrira z = a + ib pour désigner un nombre complexe. On appèle a la
partie réelle de z et b la partie imaginaire. On peut représenter ces nombres
dans un plan, le plan complexe. En ce sens, un nombre complexe peut aussi
être considéré comme un point dans le plan.
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2. NOMBRES COMPLEXES
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Si z = a + ib, on écrit Re z pour désigner la partie réelle de z et Im z pour
désigner la partie imaginaire. Avec ces notations, Re z = a et Im z = b.
• L’ensemble C est muni d’opération d’addition et de multiplication qui
satisfont les mêmes propriétés que celles satisfaites par les nombre réels.
Le nombre 0 + 0i = 0 est le neutre pour l’addition et 1 + 0i = 1 est le neutre
pour la multiplication.
Si z1 = a + bi et z2 = c + di, on a
Somme: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
Produit: z1 z2 = (ac − bd) + (ad + bc)i
Conjugué : z̄ = a − bi
1
z
a
b
= a2 +b
2 − a2 +b2
√
Norme : |z| = a2 + b2 (on a z z̄ = |z|2 ).
Inverse multiplicatif :
=
z
z̄
La figure suivante illustre le conjugué d’un nombre complexe.
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2.1
2. NOMBRES COMPLEXES
Forme polaire
• Il est très commode de représenter les nombres complexes sous forme
polaire. Si z = a + bi, la forme polaire de z est r(cos θ + i sin θ), où
p
r = a2 + b2
est appelé le module de z et θ est l’angle entre l’axe des Ox et le vecteur
(a, b) dans le plan complexe. L’angle θ est appelé l’argument de z qu’on
écrit arg z. Notons que si z = r(cos θ + i sin θ), alors on a aussi
z = r(cos(θ + 2πk) + i sin(θ + 2πk)),
où k ∈ Z. Bref, l’argument de z n’est pas défini de manière unique car
si θ est l’argument, alors tous les angles de la forme θ + 2πk, avec k ∈ Z
le sont aussi. On définit l’argument principal de z en posant la contrainte
−π < θ ≤ π. L’argument principal de z = a + bi se calcule à partir des
valeur de a et b par


arctan ab ,



b


arctan a + π,
Arg (z) = arctan ab − π,


π



2

 π
−2
si
si
si
si
si
a>0
a<0
a<0
a=0
a=0
et
et
et
et
b≥0
b<0
b>0
b<0
Si z = 0 + 0i, Arg z n’est pas défini.
• On a les propriétés suivantes pour module et de l’argument de nombres
complexes z1 et z2 .
- |z1 z2 | = |z1 | |z2 |
- |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (inégalité du triangle)
- arg z1 z2 = arg z1 + arg z2
2.2
Formule d’Euler
• La formule suivante est très utile, elle s’appelle formule d’Euler :
z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ .
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2. NOMBRES COMPLEXES
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Si z1 = r1 eiθ1 et z2 = r2 eiθ2 , on a
z1 = z2 ⇔ r1 = r2 et θ1 = θ2 + 2πk.
Bref, les deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leur module
et leur arguments sont égaux entre-eux (modulo 2πk).
La formule d’Euler simplifie énormément le calcul avec les nombres complexes.
z1 z2 = r1 eiθ1 r2 eiθ2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )
1
1
1
z −1 =
= iθ = e−iθ
z
r
re
2.3
Racines n-ièmes
• La racine n-ième de x est la solution en y à l’équation y n = x. Par exemple,
2 est la racine troisième de 8 car 23 = 8. En d’autres mots, y est la racine
n-ième de x si y multiplié n fois par lui-même donne x. On écrit
√
n
x
ou encore
1
xn
pour désigner la racine n-ième de x.
• Supposons que z = reiθ , on a
wn = z ⇔ wn = rei(θ+2πk) (k ∈ Z)
√ (θ+2πk)
⇔ w = n rei n
(k = 0, 1, 2, . . . , n − 1)
On obtient ainsi n racines n-ièmes distinctes. Chacun des ces n nombres
complexes w distincts satisfait l’équation wn = z.
• Un cas particulier intéressant est celui des racines n-ièmes de l’unité. Ce
(θ+2πk)
sont les solutions de l’équation wn = 1. On trouve w = ei n , avec
(k = 0, 1, 2, . . . , n − 1).
Le diagramme suivant illustre les racines sixièmes de l’unité.
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3.1
3. FONCTIONS COMPLEXES
Fonctions complexes
Domaines dans le plan complexe C.
La notion de voisinage d’un point z est fondamentale dans l’étude des fonctions complexes. Le voisinage d’un point est défini à partir de la définition
suivante.
• Définition: une boule ouverte de rayon a centrée en z0 est l’ensemble des
nombres complexes z tels que |z − z0 | < a. On écrira Ba (z0 ) pour désigner
cet ensemble. Ainsi,
Ba (z0 ) = {z ∈ C | |z − z0 | < a}.
Le voisinage à distance de z0 ∈ C est l’ensemble des points de Ba (z0 ).
• Définitions: Soit S ⊂ C, un point z est un point intérieur à S s’il existe
un voisinage de z à l’intérieur de S. En d’autres termes, z est un point
intérieur à S si il existe (suffisament petit) tel que B (z0 ) ⊂ S. Dans le
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3. FONCTIONS COMPLEXES
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même ordre d’idée, un point z est un point extérieur si il existe un voisinage
de z complètement à l’extérieur de S. Un point qui n’est ni intérieur, ni
extérieur est appelé un point frontière de S. Un sous-ensemble S est dit
connexe si toute paire de points de S peut être reliés par une courbe continue
complètement contenue dans S. Un domaine est un sous ensemble ouvert
connexe.
Un sous-ensemble S ∈ C dit ouvert si tous les points de S sont des points
intérieurs. Le sous-ensemble S est dit fermé s’il contient sa frontière. Si il
existe un boule Ba (z) qui contient S, on dit que S est borné. La frontière
d’un domaine S est l’ensemble de ses points frontière. On utilise la notation
∂S pour désigner la frontière de S.
3.2
Fonctions
• Une fonction complexe f définie sur un domaine D est une règle qui associé
à chaque élément de D un nombre complexe w appelé la valeur de f .
Une fonction complexe correspond à peu de choses près à une transformation
de R2 → R2 .
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3. FONCTIONS COMPLEXES
• Exemple de fonctions:
f (z) = z 2
1
1+z
f (z) = ez
f (z) =
• En terme de coordonnées, avec z = x + yi, on peut écrire une fonction f
sous la forme
f (z) = f (x + yi) = u(x, y) + iv(x, y),
où x, y ∈ R. Par exemple, si f (z) = z 2 , on a z 2 = (x + yi)2 = (x2 − y 2 ) +
(2xy)i. Dans ce cas, u(x, y) = x2 + y 2 et v(x, y) = 2xy.
• La fonction exponentielle complexe joue un rôle important en sciences
appliquées, en particulier dans le domaine du traitement du signal lorsqu’il
est question de calculer des transformées de Fourier. En voici une définition:
ez = ex+yi = ex eyi .
Quelques propriétés de ez :
- Quelque soit z ∈ C, ez 6= 0;
- e0 = 1;
- ezw = ez ew ;
- ez = ez+2πk .
• Exemple: Calcul des racines de f (z) = ez − 1. Posons z = x + yi, il s’agit
de résoudre l’équation
ez = 1.
On a
ez = 1 ⇔ ex eiy = 1
⇔ ex (cos(y) + i sin(y)) = 1 + i0
⇔ ex cos y = 1 et ex sin(y) = 0
Vu que ex > 0 quelque soit x, ex sin(y) = 0 ⇒ sin(y) = 0, on en conclut
que y est de la forme πk, mais si y est de cette forme on a cos(y) = ±1.
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3. FONCTIONS COMPLEXES
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Or sous notre hypothèse, on sait que ex cos y = 1 et de plus ex > 0. On a
donc forcément cos(y) = 1. On peut conclure que ex = 1, d’où x = 0 et
y = 2πk, ainsi la solution de l’équation ez − 1 = 0 est de la forme z = 2πki.
On remarquera que cette équation, qui possède une solution unique dans R,
en a une infinité dans C.
3.3
Différentiabilité
• Le concept de limite dans le plan complexe est similaire du même concept
dans R à la différence près qu’on peut approcher les valeurs de plusieurs
façon dans le plan complexe tandis que dans R, on ne peut approcher une
valeur que par la gauche ou par la droite.
• Définition: On dit que
lim f (z) = w
z→z0
si pour toute valeur ∈ R, il existe δ ∈ R tel que |z − z0 | < δ ⇒ |f (z) − w)| <
.
On dit que la limite de f (z) lorsque z tend vers z0 est w. Cela veut dire
que peu importe la distance donnée, on peut trouver une valeur δ telle que
si z est à une distance inférieure à δ de z0 , alors f (z) sera à une distance
inférieure à de w. En d’autre termes, cela signifie intuitivement que l’on
peut approcher f (z) aussi près qu’on le désire de w en approchant z de w0 .
• La dérivée d’une fonction complexe est définie par une formule similaire à
une dérivée de fonctions réelles.
Définition: Soit f (z) une fonction complexe définie sur un domaine D. La
dérivée de f au point z0 est définie par
df
f (z) − f (z0 )
(z0 ) = f 0 (z0 ) = lim
z→z0
dz
z − z0
si cette limite existe. Dans ce cas, on dit que la fonction est différentiable
en z0 .
• Les règles de dérivations pour les fonctions complexes sont semblables aux
règles concernant les fonctions réelles. Si f et g sont des fonctions complexes
et si c ∈ R, on a entre autres:
d
dz c
= 0;
d
dz cf
d
= c dz
f;
d
dz (f
+ g) =
d
dz f
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+
d
dz g;
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3. FONCTIONS COMPLEXES
d n
dz z
d n−1
= n dz
z
;
( fg )0 =
f 0 g−f g 0
;
g2
(f (g(z)))0 = f 0 (g(z))g 0 (z).
3.4
Équations de Cauchy-Riemann
• Soit f (z) une fonction complexe. Écrivons f (z) = f (x + iy) = u(x, y) +
iv(x, y). Les équations de Cauchy-Riemann sont
∂u
∂v
=
∂x
∂y
et
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
Exemple: Vérifiez que la fonction f (z) = ez satisfait les équations de
Cauchy-Riemann. Pour ce faire, écrivons
f (z) = f (x + iy) = ex eiy = ex (cos y + i sin y) = ex cos y + iex sin y.
On a donc u(x, y) = ex cos y et v(x, y) = ex sin y. Par suite,
∂u
∂v
= ex cos y =
∂x
∂y
et
∂u
∂v
= −ex sin y = − .
∂y
∂x
Les équations de Cauchy-Riemann sont donc satisfaites.
On a le théorème suivant:
Théorème. Soit f (z) une fonction complexe définie sur un domaine D et
supposons que f 0 (z0 ) existe, pour z0 dans D. On a alors f (z) satisfait les
équations de Cauchy-Riemann et f 0 (z0 ) = ux (z0 ) + vx (z0 )i.
Ce théorème donne un critère pour vérifier si une fonction est différentiable
et une formule pour la dérivée.
• Exemple. Considérons f (z) = |z|2 = (x2 + y 2 ) + 0i. Cette fonction ne
satisfait pas les équations de Cauchy-Riemann si z 6= 0 + 0i. Le seul point
où ces équations sont satisfaites est le point 0 + 0i. La fonction est donc
éventuellement différentiable en ce point, mais pas ailleurs.
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3. FONCTIONS COMPLEXES
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On a aussi un théorème qui permet d’obtenir un critère de différentiabilité:
Théorème. Soit f (z) = u(z) + iv(z) définie sur un domaine D. Si f satisfait
les conditions de Cauchy-Riemann en z0 ∈ D et que les dérivées partielles
par rapport à x et y de u et v sont continues en z0 , alors f est différentiable
en z0 .
En vertu de ce théorème, dans l’exemple précédent f est différentiable en
0 + 0i car u et v sont continues en ce point. Cependant, c’est le seul point
où la fonction est différentiable.
La fonction ez est différentiable sur C au complet puisqu’on a vu qu’elle
satisfait les équations de Cauchy-Riemann sur C.
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