Variables complexes

Variables complexes
Yves Chiricota, professeur
DIM, UQAC
Cours 8MAP111
8/ 12/2015

2 1. INTRODUCTION
Notice
Ce document se veut un aide m´emoire exhaustif concernant portant sur les
variables complexes pour le cours 8MAP111.
1 Introduction
Les nombres complexes apparaissent de fa¸con naturelle lorsqu’il est question
de r´esoudre des ´equations polynomiales p(x) = 0, o`u p(x) est de la forme
p(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3+··· anxn.
Consid´erons l’´equation x2−1 = 0, il est facile de constater que celle-ci
poss`ede les solutions x= 1 et x=−1. En fait, ce sont les deux seules
solutions. Qu’en est-il de l’´equation x2+ 1 = 0 ? Pour r´esoudre cette
´equation, nous avons besoin d’un nombre sp´ecial, appel´e nombre imaginaire
et d´esign´e par i, qui satisfait la propri´et´e i2=−1. Ce nombre a ´et´e introduit
`a l’´epoque de la renaissance.
2 Nombres complexes
•L’ensemble des nombres complexes est d´efini comme suit:
C={a+bi |a, b ∈R},
o`u iest d´efini par la propri´et´e i2=−1.
On ´ecrira z=a+ib pour d´esigner un nombre complexe. On app`ele ala
partie r´eelle de zet bla partie imaginaire. On peut repr´esenter ces nombres
dans un plan, le plan complexe. En ce sens, un nombre complexe peut aussi
ˆetre consid´er´e comme un point dans le plan.
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2. NOMBRES COMPLEXES 3
Si z=a+ib, on ´ecrit Re zpour d´esigner la partie r´eelle de zet Im zpour
d´esigner la partie imaginaire. Avec ces notations, Re z=aet Im z=b.
•L’ensemble Cest muni d’op´eration d’addition et de multiplication qui
satisfont les mˆemes propri´et´es que celles satisfaites par les nombre r´eels.
Le nombre 0 + 0i= 0 est le neutre pour l’addition et 1 + 0i= 1 est le neutre
pour la multiplication.
Si z1=a+bi et z2=c+di, on a
Somme: z1+z2= (a+c)+(b+d)i
Produit: z1z2= (ac −bd)+(ad +bc)i
Conjugu´e : ¯z=a−bi
Inverse multiplicatif : 1
z=z ¯z=a
a2+b2−b a2+b2
Norme : |z|=√a2+b2(on a z¯z=|z|2).
La figure suivante illustre le conjugu´e d’un nombre complexe.
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4 2. NOMBRES COMPLEXES
2.1 Forme polaire
•Il est tr`es commode de repr´esenter les nombres complexes sous forme
polaire. Si z=a+bi, la forme polaire de zest r(cos θ+isin θ), o`u
r=pa2+b2
est appel´e le module de zet θest l’angle entre l’axe des Ox et le vecteur
(a, b) dans le plan complexe. L’angle θest appel´e l’argument de zqu’on
´ecrit arg z. Notons que si z=r(cos θ+isin θ), alors on a aussi
z=r(cos(θ+ 2πk) + isin(θ+ 2πk)),
o`u k∈Z. Bref, l’argument de zn’est pas d´efini de mani`ere unique car
si θest l’argument, alors tous les angles de la forme θ+ 2πk, avec k∈Z
le sont aussi. On d´efinit l’argument principal de zen posant la contrainte
−π < θ ≤π. L’argument principal de z=a+bi se calcule `a partir des
valeur de aet bpar
Arg (z) =
arctan b
a,si a > 0
arctan b
a+π, si a < 0 et b≥0
arctan b
a−π, si a < 0 et b < 0
π
2si a= 0 et b > 0
−π
2si a= 0 et b < 0
Si z= 0 + 0i, Arg zn’est pas d´efini.
•On a les propri´et´es suivantes pour module et de l’argument de nombres
complexes z1et z2.
-|z1z2|=|z1||z2|
-|z1+z2| ≤ |z1|+|z2|(in´egalit´e du triangle)
- arg z1z2= arg z1+ arg z2
2.2 Formule d’Euler
•La formule suivante est tr`es utile, elle s’appelle formule d’Euler:
z=r(cos θ+isin θ) = reiθ.
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2. NOMBRES COMPLEXES 5
Si z1=r1eiθ1et z2=r2eiθ2, on a
z1=z2⇔r1=r2et θ1=θ2+ 2πk.
Bref, les deux nombres complexes sont ´egaux si et seulement si leur module
et leur arguments sont ´egaux entre-eux (modulo 2πk).
La formule d’Euler simplifie ´enorm´ement le calcul avec les nombres com-
plexes.
z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2)
z−1=1
z=1
reiθ =1
re−iθ
2.3 Racines n-i`emes
•La racine n-i`eme de xest la solution en y`a l’´equation yn=x. Par exemple,
2 est la racine troisi`eme de 8 car 23= 8. En d’autres mots, yest la racine
n-i`eme de xsi ymultipli´e nfois par lui-mˆeme donne x. On ´ecrit
n
√x
ou encore
x1
n
pour d´esigner la racine n-i`eme de x.
•Supposons que z=reiθ, on a
wn=z⇔wn=rei(θ+2πk)(k∈Z)
⇔w=n
√rei(θ+2πk)
n(k= 0,1,2, . . . , n −1)
On obtient ainsi nracines n-i`emes distinctes. Chacun des ces nnombres
complexes wdistincts satisfait l’´equation wn=z.
•Un cas particulier int´eressant est celui des racines n-i`emes de l’unit´e. Ce
sont les solutions de l’´equation wn= 1. On trouve w=ei(θ+2πk)
n, avec
(k= 0,1,2, . . . , n −1).
Le diagramme suivant illustre les racines sixi`emes de l’unit´e.
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