TD analyse M1 - ÉNS de Lyon (2016

TD analyse M1 - ÉNS de Lyon (2016-2017)
François Dayrens
23 novembre 2016
1

M1 Mathématiques
TD Analyse
Feuille 1 - Révision topologie et espaces fonctionnels
ÉNS de Lyon
2016-2017
Exercice 1. On rappelle quelques définitions. Soit (E, T)un espace topologique.
— Les éléments de Tsont appelés les ouverts de la topologie.
—Best une base de la topologie si Best une sous partie de Ttelle que tout ouvert de Ts’écrit comme la
réunion d’ouverts de B.
— Pour x∈E,Uest un voisinage de xs’il existe U ∈ Ttel que x∈ U ⊂ U.
— Pour x∈E,B(x)est une base locale de voisinages en xsi B(x)est une sous partie de P(E)telle que,
pour tout ouvert Ucontenant x, il existe un voisinage U∈B(x)vérifiant x∈U⊂ U.
— ATTENTION : les éléments d’une base locale en xne sont pas forcément des ouverts, par exemple les
boules fermées de Rdmuni de la topologie classique.
1. Soit f:E→Fune application entre espaces topologiques. On dit que fest continue en xsi, pour tout
ouvert Vcontenant f(x), il existe un ouvert Ucontenant xtel que f(U)⊂ V. Montrer qu’on obtient une
définition équivalente en remplaçant les ouverts par les éléments d’une base de voisinages.
2. Soient Xun ensemble, (Fi)i∈Ides espaces topologiques et fi:X→Fides applications.
(a) Montrer que “la topologie la moins fine sur Xrendant les ficontinues” existe et en donner une base.
On utilisera cette topologie dans la suite.
(b) Soient Eun espace topologique et g:E→Xune application. Montrer que gest continue si et seulement
si, pour tout i∈I,fi◦gest continue.
(c) Soit (xn)une suite de X. Montrer que (xn)converge vers un élément x∈Xsi et seulement si, pour
tout i∈I,(fi(xn)) converge vers fi(x).Cette topologie est appelée topologie faible ou topologie de la
convergence simple.
Exercice 2. Soient Eun espace vectoriel topologique, Fun espace vectoriel normé et f:E→Fune application
linéaire. Montrer que fest continue si et seulement si fest continue en 0si et seulement si fest bornée sur un
voisinage ouvert de 0.
Exercice 3. Soient p, q ∈[1,+∞]avec p<q. On note
p=((xn)n∈RN
+∞
X
n=0
|xn|p<+∞),
muni de la norme ||(xn)||p= (P|xn|p)1
p.
1. Quelle inclusion y a-t-il entre pet q? Cette inclusion est-elle continue ?
2. Soit (X, µ)un espace mesurable muni d’une mesure finie. Quelle inclusion y a-t-il entre Lpet Lq? Cette
inclusion est-elle continue ?
3. Montrer qu’il existe une mesure µtelle que Lp([0,1], µ)et Lp(R, Lebesgue)soient isométriques.
4. Construire un sous espace vectoriel de Lp(R)isométrique à p.
Exercice 4. Soit Ωun ouvert de Rd. Pour tout α > 0et toute fonction f: Ω →R, on définit
|f|α= sup
x,y∈Ω
x6=y
|f(x)−f(y)|
|x−y|α.
On considère ensuite l’espace de Hölder C0,α(Ω) = nf∈C0(Ω) | |f|α+||f||∞<+∞o.
1. Soit f∈C0,α(Ω), montrer que fse prolonge de manière unique en une fonction fcontinue sur Ωet que
f∈C0,α(Ω).
2. On suppose Ωborné.
(a) Montrer que si α < α0alors C0,α0(Ω) ⊂C0,α(Ω).

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Feuille 1 - Révision topologie et espaces fonctionnels
ÉNS de Lyon
2016-2017
(b) On suppose de plus que Ωest convexe. Montrer que si f∈C1(Ω) et Df est borné alors f∈C0,α(Ω)
pour tout α < 1.
(c) Montrer que si α > 1alors C0,α(Ω) est constitué de fonctions localement constantes.
3. On note ||.||C0,α =|.|α+||.||∞. Montrer que (C0,α(Ω),||.||C0,α )est un espace de Banach.
4. On suppose de nouveau que Ωest borné. Montrer que l’injection (C0,α(Ω),||.||C0,α )→(C0(Ω),||.||∞)est
compacte (c’est-à-dire que de toute suite bornée pour ||.||C0,α , on peut extraire une sous-suite convergente
pour ||.||∞).
Exercice 5. Soit p∈]0,1[, on note Lpl’espace des fonctions réelles fdéfinies sur [0,1] pour lesquelles la quantité
suivante est finie
||f||p=Z1
0
|f|pdx
1
p
.
1. (a) Pour tout a, b >0, montrer que (a+b)p6ap+bp.
(b) Soient f∈Lpet n∈N∗. Montrer qu’il existe une partition de [0,1] en nintervalles I1, . . . , Intelle que
ZIj
|f|pdx=1
n||f||p
p,
et calculer ||fIj||p.
2. Montrer que Lpest un espace vectoriel et que d(f, g) = ||f−g||p
pest une distance.
3. Montrer que (Lp, d)est un espace métrique complet.
4. Soit q < 0tel que 1
p+1 q= 1. Soient f, g : [0,1] →Rdeux fonctions mesurables telles que, presque partout,
f>0et g > 0. Montrer que
Z1
0
|fg|dx>||f||p
1
g
−1
|q|
.
5. Soient f1, . . . , fndes fonctions de Lp. Montrer les inégalités suivantes
n
X
i=1
||fi||p6
n
X
i=1
|fi|
p
,
et 
n
X
i=1
fi
p
6n1
p−1
n
X
i=1
||fi||p.
Pour la deuxième inégalité, on pourra commencer par montrer que pour θ>1et a1, . . . , andes réels positifs,
on a
Xaiθ
6nθ−1Xaθ
i.
6. Montrer que la quantité n1
p−1est optimale dans la deuxième inégalité précédente.
7. Montrer que si Ωest un ouvert convexe autour de 0dans Lpalors Ω = Lp. En déduire que Lpn’est pas un
espace vectoriel localement convexe.
8. Montrer que le dual topologique de Lpest réduit à {0}.
9. Soit Nune semi-norme définie sur Lpcontinue pour la distance d.
(a) Montrer qu’il existe C > 0tel que pour tout f∈Lp
N(f)6C||f||p.
(b) En déduire que pour tout f∈Lp,N(f)=0.On pourra considérer la plus petite constante Cde la
question précédente.

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Feuille 2 - Hahn, Banach, Steinhaus et la convexité
ÉNS de Lyon
2016-2017
Exercice 1. Soient Eet Fdeux espaces de Banach. Soit (Tn)une suite d’applications linéaires continues de E
dans Ftelle que, pour tout x∈E,(Tnx)converge vers une limite notée T x.
1. Montrer que x7→ T x est linéaire.
2. Montrer que sup
n
||Tn|| <+∞. En déduire que Test continue.
3. Montrer que
||T|| 6lim inf
n→+∞||Tn||.
Exercice 2. Soit Eun espace de Banach. On considère Fet Gdeux sous-espaces vectoriels fermés de Etels que
F+Gsoit aussi fermé.
1. Montrer qu’il existe C > 0telle que, pour tout z∈F+G, il existe x∈Fet y∈Gvérifiant
||x|| 6C||z||,||y|| 6C||z|| et z=x+y.
2. En déduire qu’il existe une constante C0>0telle que, pour tout x∈E
d(x, F ∩G)6C0hd(x, F ) + d(x, G)i.
Exercice 3. Un espace avec deux normes.
1. Soit Eun espace vectoriel muni de deux normes ||.||1et ||.||2telles que (E, ||.||1)et (E, ||.||2)soit des espaces
de Banach. Montrer que s’il existe C > 0telle que
∀x∈E, ||x||16C||x||2,
alors les deux normes ||.||1et ||.||2sont équivalentes.
2. Soit L2([0,1]) muni des deux normes classiques ||.||L1et ||.||L2. On considère l’application
T: (L2,||.||L1)→(L2,||.||L2)
f7→ f.
(a) Montrer que l’espace vectoriel normé (L2,||.||L1)est bien défini (c’est-à-dire que pour tout f∈L2,
||f||L1<+∞).
(b) Montrer que le graphe de Test fermé.
(c) Montrer que Tn’est pas continue.
(d) Que peut-on en déduire ?
Exercice 4. Soit Eun espace vectoriel normé.
1. Soient Gun sous-espace vectoriel de Eet g:G→Rune forme linéaire continue. Montrer qu’il existe une
forme linéaire fcontinue sur Eprolongeant gtelle que
||f||E=||g||G.
2. En déduire que, pour tout x∈E, il existe f∈E∗tel que ||f|| =||x|| et f(x) = ||x||2.
3. En déduire que, pour tout x∈E,
||x|| = sup
f∈E∗
||f||61
|f(x)|.
4. On suppose que Eest un espace de Banach. Soit B∗un sous-ensemble de E∗tel que
∀x∈E, sup
f∈B∗
f(x)<+∞.
Montrer que B∗est borné.

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Feuille 2 - Hahn, Banach, Steinhaus et la convexité
ÉNS de Lyon
2016-2017
5. On suppose toujours que Eest un espace de Banach. Soit Bun sous-ensemble de Etel que
∀f∈E∗,sup
x∈B
f(x)<+∞.
Montrer que Best borné.
Exercice 5. Soit Aun sous-ensemble de Rd.
1. Montrer que tout point de co(A)(l’enveloppe convexe de A) est une combinaison convexe d’au plus d+ 1
points de A.
2. En déduire que si Aest compact alors co(A)est aussi compact.
Exercice 6. Soit Eun espace vectoriel normé. On dit que Hest un demi-espace fermé lorsqu’il existe ϕ∈E∗et
a∈Rtel que H={x∈E|ϕ(x)6a}. Soit Aun convexe fermé de E, montrer que Aest égal à l’intersection des
demi-espaces fermés le contenant.
Exercice 7. Travaillons un peu sur les points extrémaux.
1. Dans un espace de Hilbert, quels sont les points extrémaux de la boule unité fermée.
2. On note c0l’ensemble des suites réelles convergent vers 0muni de la norme ||.||∞.
(a) Montrer que (c0,||.||∞)est un espace de Banach.
(b) Montrer que les boules unités ouverte et fermée n’admettent pas de point extrémal.
3. Soit Iun intervalle de R. Montrer que la boule unité fermée de L1(I)n’admet pas de point extrémal.
Exercice 8. Dans Mn(R), une matrice est dite bi-stochastique si ses coefficients sont positifs, si la somme des
coefficients de chaque ligne vaut 1et si la somme des coefficients de chaque colonne vaut 1. On note SMn(R)
l’ensemble des matrices bi-stochastiques. Montrer que toute matrice de SMn(R)peut s’écrire comme combinaison
convexe de matrices de permutation.