TD analyse M1 - ÉNS de Lyon (2016

TD analyse M1 - ÉNS de Lyon (2016-2017)
François Dayrens
23 novembre 2016
1
M1 Mathématiques
TD Analyse
ÉNS de Lyon
2016-2017
Feuille 1 - Révision topologie et espaces fonctionnels
Exercice 1. On rappelle quelques définitions. Soit (E, T) un espace topologique.
— Les éléments de T sont appelés les ouverts de la topologie.
— B est une base de la topologie si B est une sous partie de T telle que tout ouvert de T s’écrit comme la
réunion d’ouverts de B.
— Pour x ∈ E, U est un voisinage de x s’il existe U ∈ T tel que x ∈ U ⊂ U .
— Pour x ∈ E, B(x) est une base locale de voisinages en x si B(x) est une sous partie de P(E) telle que,
pour tout ouvert U contenant x, il existe un voisinage U ∈ B(x) vérifiant x ∈ U ⊂ U.
— ATTENTION : les éléments d’une base locale en x ne sont pas forcément des ouverts, par exemple les
boules fermées de Rd muni de la topologie classique.
1. Soit f : E → F une application entre espaces topologiques. On dit que f est continue en x si, pour tout
ouvert V contenant f (x), il existe un ouvert U contenant x tel que f (U) ⊂ V. Montrer qu’on obtient une
définition équivalente en remplaçant les ouverts par les éléments d’une base de voisinages.
2. Soient X un ensemble, (Fi )i∈I des espaces topologiques et fi : X → Fi des applications.
(a) Montrer que “la topologie la moins fine sur X rendant les fi continues” existe et en donner une base.
On utilisera cette topologie dans la suite.
(b) Soient E un espace topologique et g : E → X une application. Montrer que g est continue si et seulement
si, pour tout i ∈ I, fi ◦ g est continue.
(c) Soit (xn ) une suite de X. Montrer que (xn ) converge vers un élément x ∈ X si et seulement si, pour
tout i ∈ I, (fi (xn )) converge vers fi (x). Cette topologie est appelée topologie faible ou topologie de la
convergence simple.
Exercice 2. Soient E un espace vectoriel topologique, F un espace vectoriel normé et f : E → F une application
linéaire. Montrer que f est continue si et seulement si f est continue en 0 si et seulement si f est bornée sur un
voisinage ouvert de 0.
Exercice 3. Soient p, q ∈ [1, +∞] avec p < q. On note
(
)
+∞
X
p
|xn | < +∞ ,
(xn )n ∈ R p
N
` =
n=0
1
P
muni de la norme ||(xn )||p = ( |xn |p ) p .
1. Quelle inclusion y a-t-il entre `p et `q ? Cette inclusion est-elle continue ?
2. Soit (X, µ) un espace mesurable muni d’une mesure finie. Quelle inclusion y a-t-il entre Lp et Lq ? Cette
inclusion est-elle continue ?
3. Montrer qu’il existe une mesure µ telle que Lp ([0, 1], µ) et Lp (R, Lebesgue) soient isométriques.
4. Construire un sous espace vectoriel de Lp (R) isométrique à `p .
Exercice 4. Soit Ω un ouvert de Rd . Pour tout α > 0 et toute fonction f : Ω → R, on définit
|f (x) − f (y)|
.
|x − y|α
x,y∈Ω
|f |α = sup
x6=y
n
o
On considère ensuite l’espace de Hölder C 0,α (Ω) = f ∈ C 0 (Ω) | |f |α + ||f ||∞ < +∞ .
1. Soit f ∈ C 0,α (Ω), montrer que f se prolonge de manière unique en une fonction f continue sur Ω et que
f ∈ C 0,α (Ω).
2. On suppose Ω borné.
0
(a) Montrer que si α < α0 alors C 0,α (Ω) ⊂ C 0,α (Ω).
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Feuille 1 - Révision topologie et espaces fonctionnels
(b) On suppose de plus que Ω est convexe. Montrer que si f ∈ C 1 (Ω) et Df est borné alors f ∈ C 0,α (Ω)
pour tout α < 1.
(c) Montrer que si α > 1 alors C 0,α (Ω) est constitué de fonctions localement constantes.
3. On note ||.||C 0,α = |.|α + ||.||∞ . Montrer que (C 0,α (Ω), ||.||C 0,α ) est un espace de Banach.
4. On suppose de nouveau que Ω est borné. Montrer que l’injection (C 0,α (Ω), ||.||C 0,α ) ,→ (C 0 (Ω), ||.||∞ ) est
compacte (c’est-à-dire que de toute suite bornée pour ||.||C 0,α , on peut extraire une sous-suite convergente
pour ||.||∞ ).
Exercice 5. Soit p ∈]0, 1[, on note Lp l’espace des fonctions réelles f définies sur [0, 1] pour lesquelles la quantité
suivante est finie
Z 1
p1
|f |p dx
.
||f ||p =
0
1. (a) Pour tout a, b > 0, montrer que (a + b)p 6 ap + bp .
(b) Soient f ∈ Lp et n ∈ N∗ . Montrer qu’il existe une partition de [0, 1] en n intervalles I1 , . . . , In telle que
Z
1
|f |p dx = ||f ||pp ,
n
Ij
et calculer ||f 1Ij ||p .
2. Montrer que Lp est un espace vectoriel et que d(f, g) = ||f − g||pp est une distance.
3. Montrer que (Lp , d) est un espace métrique complet.
4. Soit q < 0 tel que p1 + 1q = 1. Soient f, g : [0, 1] → R deux fonctions mesurables telles que, presque partout,
f > 0 et g > 0. Montrer que
−1
Z 1
1
|f g|dx > ||f ||p g .
0
|q|
5. Soient f1 , . . . , fn des fonctions de Lp . Montrer les inégalités suivantes
n
n
X
X
|fi | ,
||fi ||p 6 i=1
i=1
et
p
n n
X X
1
fi 6 n p −1
||fi ||p .
i=1
p
i=1
Pour la deuxième inégalité, on pourra commencer par montrer que pour θ > 1 et a1 , . . . , an des réels positifs,
on a
X θ
X
ai 6 nθ−1
aθi .
1
6. Montrer que la quantité n p −1 est optimale dans la deuxième inégalité précédente.
7. Montrer que si Ω est un ouvert convexe autour de 0 dans Lp alors Ω = Lp . En déduire que Lp n’est pas un
espace vectoriel localement convexe.
8. Montrer que le dual topologique de Lp est réduit à {0}.
9. Soit N une semi-norme définie sur Lp continue pour la distance d.
(a) Montrer qu’il existe C > 0 tel que pour tout f ∈ Lp
N (f ) 6 C||f ||p .
(b) En déduire que pour tout f ∈ Lp , N (f ) = 0. On pourra considérer la plus petite constante C de la
question précédente.
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Feuille 2 - Hahn, Banach, Steinhaus et la convexité
Exercice 1. Soient E et F deux espaces de Banach. Soit (Tn ) une suite d’applications linéaires continues de E
dans F telle que, pour tout x ∈ E, (Tn x) converge vers une limite notée T x.
1. Montrer que x 7→ T x est linéaire.
2. Montrer que sup ||Tn || < +∞. En déduire que T est continue.
n
3. Montrer que
||T || 6 lim inf ||Tn ||.
n→+∞
Exercice 2. Soit E un espace de Banach. On considère F et G deux sous-espaces vectoriels fermés de E tels que
F + G soit aussi fermé.
1. Montrer qu’il existe C > 0 telle que, pour tout z ∈ F + G, il existe x ∈ F et y ∈ G vérifiant
||x|| 6 C||z||,
||y|| 6 C||z||
et
z = x + y.
2. En déduire qu’il existe une constante C 0 > 0 telle que, pour tout x ∈ E
h
i
d(x, F ∩ G) 6 C 0 d(x, F ) + d(x, G) .
Exercice 3. Un espace avec deux normes.
1. Soit E un espace vectoriel muni de deux normes ||.||1 et ||.||2 telles que (E, ||.||1 ) et (E, ||.||2 ) soit des espaces
de Banach. Montrer que s’il existe C > 0 telle que
∀x ∈ E,
||x||1 6 C||x||2 ,
alors les deux normes ||.||1 et ||.||2 sont équivalentes.
2. Soit L2 ([0, 1]) muni des deux normes classiques ||.||L1 et ||.||L2 . On considère l’application
(L2 , ||.||L1 ) → (L2 , ||.||L2 )
f
7→
f.
T :
(a) Montrer que l’espace vectoriel normé (L2 , ||.||L1 ) est bien défini (c’est-à-dire que pour tout f ∈ L2 ,
||f ||L1 < +∞).
(b) Montrer que le graphe de T est fermé.
(c) Montrer que T n’est pas continue.
(d) Que peut-on en déduire ?
Exercice 4. Soit E un espace vectoriel normé.
1. Soient G un sous-espace vectoriel de E et g : G → R une forme linéaire continue. Montrer qu’il existe une
forme linéaire f continue sur E prolongeant g telle que
||f ||E = ||g||G .
2. En déduire que, pour tout x ∈ E, il existe f ∈ E ∗ tel que ||f || = ||x|| et f (x) = ||x||2 .
3. En déduire que, pour tout x ∈ E,
||x|| = sup |f (x)|.
f ∈E ∗
||f ||61
4. On suppose que E est un espace de Banach. Soit B ∗ un sous-ensemble de E ∗ tel que
∀x ∈ E,
sup f (x) < +∞.
f ∈B ∗
Montrer que B ∗ est borné.
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Feuille 2 - Hahn, Banach, Steinhaus et la convexité
5. On suppose toujours que E est un espace de Banach. Soit B un sous-ensemble de E tel que
∀f ∈ E ∗ ,
sup f (x) < +∞.
x∈B
Montrer que B est borné.
Exercice 5. Soit A un sous-ensemble de Rd .
1. Montrer que tout point de co(A) (l’enveloppe convexe de A) est une combinaison convexe d’au plus d + 1
points de A.
2. En déduire que si A est compact alors co(A) est aussi compact.
Exercice 6. Soit E un espace vectoriel normé. On dit que H est un demi-espace fermé lorsqu’il existe ϕ ∈ E ∗ et
a ∈ R tel que H = {x ∈ E | ϕ(x) 6 a}. Soit A un convexe fermé de E, montrer que A est égal à l’intersection des
demi-espaces fermés le contenant.
Exercice 7. Travaillons un peu sur les points extrémaux.
1. Dans un espace de Hilbert, quels sont les points extrémaux de la boule unité fermée.
2. On note c0 l’ensemble des suites réelles convergent vers 0 muni de la norme ||.||∞ .
(a) Montrer que (c0 , ||.||∞ ) est un espace de Banach.
(b) Montrer que les boules unités ouverte et fermée n’admettent pas de point extrémal.
3. Soit I un intervalle de R. Montrer que la boule unité fermée de L1 (I) n’admet pas de point extrémal.
Exercice 8. Dans Mn (R), une matrice est dite bi-stochastique si ses coefficients sont positifs, si la somme des
coefficients de chaque ligne vaut 1 et si la somme des coefficients de chaque colonne vaut 1. On note SMn (R)
l’ensemble des matrices bi-stochastiques. Montrer que toute matrice de SMn (R) peut s’écrire comme combinaison
convexe de matrices de permutation.
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Feuille 3 - Dualité et topologie faible
Exercice 1. Soit E un espace de Banach.
1. Soient f, f1 , · · · , fn des formes linéaires sur E. Montrer que si
tels que f =
n
X
n
\
ker fi ⊂ ker f alors il existe λ1 , · · · , λn ∈ R
i=1
λ i fi .
i=1
2. Montrer que si E est de dimension finie alors la topologie faible σ(E, E ∗ ) et la topologie forte coïncident.
3. On suppose que E est de dimension infinie.
(a) Montrer que tout ouvert faible de E contient une droite.
(b) En déduire que B = {x ∈ E | ||x|| < 1} n’est pas ouvert pour la topologie faible.
(c) Montrer que S = {x ∈ E | ||x|| = 1} n’est pas faiblement fermée.
Exercice 2. Soient E un espace de Banach et (xn ) une suite de E convergent vers x pour la topologie faible.
Montrer que (xn ) est bornée (pour la norme) et que
||x|| 6 lim inf ||xn ||.
n→+∞
On pourra loucher sur l’exercice 4 de la feuille 2.
Exercice 3. Soient p, q ∈ [1, +∞] tels que
1
p
+
`q
Jp :
1
q
= 1. On introduit l’application
→
(an ) 7→
(`p )∗
!
+∞
X
(xn ) 7→
an xn .
n=0
On introduit la famille de suites canonique ek de `p (ek est la suite dont les termes valent 0 sauf le k ème qui vaut
1).
1. Pour p < +∞, montrer que Jp est une isométrie surjective.
2. Montrer que J∞ est une isométrie non-surjective.
3. Pour 1 < p < +∞, en déduire que ek converge faiblement vers la suite nulle lorsque k → +∞ mais ne
converge pas fortement.
4. On suppose encore que 1 < p < +∞, soit E = {en + nem | n, m ∈ N, m > n} un sous ensemble de `p .
(a) Montrer que E est un fermé fort.
(b) Montrer que 0 est dans l’adhérence faible de E.
(c) Montrer qu’aucune suite de E ne converge faiblement vers 0.
Exercice 4. Soient E, F deux espaces de Banach et T : E → F une application linéaire. Montrer que T est
fortement continue (c’est-à-dire continue de (E, ||.||E ) dans (F, ||.||F )) si et seulement si T est faiblement continue
(c’est-à-dire continue de (E, σ(E, E ∗ )) dans (F, σ(F, F ∗ ))).
Exercice 5. Soient E, F deux espaces de Banach et ϕ un isomorphisme de E sur F . Montrer que E est réflexif
si et seulement si F est réflexif.
Exercice 6. Soient (X, µ) un espace mesuré, p, q ∈]1, +∞[ tels que
1
p
+
1
q
= 1 et
∗
ϕp : Lp (X, µ) → (Lq (X,
Z µ)) f
7→
g 7→ f gdµ .
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Feuille 3 - Dualité et topologie faible
1.
2.
3.
4.
Montrer que ϕp est bien définie et continue.
Montrer que ϕp est une isométrie.
En déduire que ϕp (Lp ) est un sous-espace fermé de (Lq )∗ .
On suppose que p > 2.
p
(a) Montrer que ∀α, β > 0, αp + β p 6 (α2 + β 2 ) 2 .
(b) En déduire que ∀a, b ∈ R,
a + b p a − b p
1 p 1 p
+
2 6 2 |a| + 2 |b| .
2 (c) Montrer que Lp est uniformément convexe.
(d) En déduire que Lp est réflexif.
5. Montrer que Lp est réflexif.
6. Montrer que ϕp est surjective.
7. En déduire que Lp est isométriquement isomorphe à (Lq )∗ .
Exercice 7. On note c0 l’espace des suites réelles qui convergent vers 0 muni de la norme ||.||∞ , ek la suite dont
les termes sont tous nuls sauf le k ème qui vaut 1 et
)
(
+∞
X
k
∗ ϕ(e ) = 0 .
S = ϕ ∈ c0 k=1
1. Montrer que S est fortement fermé (c’est-à-dire fermé pour la topologie de la norme).
2. Montrer que S est faiblement fermé (c’est-à-dire fermé pour la topologie σ(c∗0 , c∗∗
0 )).
3. Montrer que S n’est pas faiblement-∗ fermé (c’est-à-dire non fermé pour la topologie σ(c∗0 , c0 )).
Exercice 8. Soit E un espace de Banach.
1. On suppose E séparable. Montrer que de toute suite bornée de E ∗ , on peut extraire une sous-suite convergente pour la topologie faible-∗.
2. On suppose E réflexif et séparable. Montrer que de toute suite bornée de E, on peut extraire une sous-suite
convergente pour la topologie faible.
Exercice 9. Soit E un espace de Banach. On rappelle que H est un hyperplan affine de E ∗ si, et seulement si, il
existe ϕ une forme linéaire sur E ∗ et α ∈ R tels que
H = {f ∈ E ∗ | ϕ(f ) = α}.
1. (a) Montrer que ϕ est faiblement-∗ continue si, et seulement si, il existe x ∈ E tel que
ϕ = evx ,
c’est-à-dire ∀f ∈ E ∗ , ϕ(f ) = f (x).
(b) Montrer que ϕ est faiblement continue si, et seulement si, ϕ est fortement continue.
2. (a) Montrer qu’un hyperplan affine H de E ∗ est faiblement-∗ fermé si, et seulement si, il est de la forme
H = {f ∈ E ∗ | f (x) = α},
pour un certain x ∈ E et un certain α ∈ R.
(b) Montrer qu’un hyperplan affine H de E ∗ est faiblement fermé si, et seulement si, il est de la forme
H = {f ∈ E ∗ | ϕ(f ) = α},
pour une certaine forme linéaire (fortement) continue ϕ et un certain α ∈ R.
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Feuille 4 - Distributions - épisode 1 : les manipulations basiques
Exercice 1.
1. Soit n ∈ N, donner un exemple de distribution d’ordre n et donner une distribution d’ordre infini.
[q]
2. Pour p, q ∈ N∗ , calculer xp δ0 .
Exercice 2. Étudier la convergence au sens des distributions des suites suivantes, on précisera l’ordre des distributions de la suite ainsi que celui de la limite lorsqu’elle existe :
1. fn (x) = nd f (nx) avec f ∈ L1 (Rd ) ;
4. fn (x) = cos(nx) ;
5. fn (x) = np cos(nx) avec p > 0 ;
n
2. Tn = (−1) δ1/n ;
3. Tn =
n
2 (δ1/n
1
6. fn (x) = |x| n −1 − 2nδ0 dans D0 (R).
− δ−1/n ) ;
Exercice 3. On étudie deux distributions : la valeur principale et la partie finie.
1. On définit la valeur principale de 1/x par : ∀ϕ ∈ D(R),
Z
ϕ(x)
dx.
hvp(1/x), ϕi = lim
+
x
ε→0
|x|>ε
(a) Montrer que vp(1/x) définit bien une distribution et préciser son ordre.
(b) Montrer que x vp(1/x) = 1 au sens des distributions.
(c) Montrer que x 7→ ln(|x|) définit une distribution dont la dérivée est vp(1/x).
2. On définit la partie finie de 1/|x| par : ∀ϕ ∈ D(R),
Z M
ϕ(x) − ϕ(0)
dx + 2ϕ(0) ln(M ),
hpf(1/|x|), ϕi =
|x|
−M
où M > 0 vérifie supp(ϕ) ⊂ [−M, M ].
(a) Montrer que pf(1/|x|) définit bien une distribution (en particulier ne dépend pas de M tant que [−M, M ]
contient le support de ϕ) et préciser son ordre.
(b) Montrer que x pf(1/|x|) = sgn(x) au sens des distributions.
(c) Montrer que x 7→ sgn(x) ln(|x|) définit une distribution dont la dérivée est pf(1/x).
3. Montrer qu’il n’est pas possible de définir vp(1/xn ) de manière analogue.
4. Montrer qu’il est possible de définir pf(1/|x|n ) de manière analogue. On pourra regarder
Z
ϕ(x)
I(ε) =
dx,
n
ε6|x|6M |x|
et voir qu’en retranchant un polynôme de Taylor de ϕ en 0, on peut extraire une partie divergente de I(ε)
en ε → 0+ et une partie convergente indépendante de M .
5. Montrer que pour tout n ∈ N∗ ,
xn vp(1/x)[n−1] = (−1)( n − 1)(n − 1)! .
Exercice 4. Soit θ ∈ D(R) telle que θ(0) = 1.
1. Pour tout ϕ ∈ D(R), montrer qu’il existe ψ ∈ D(R) telle que
ϕ(x) − ϕ(0)θ(x) = xψ(x).
2. Résoudre xT = 0 dans D0 (R).
3. Résoudre xT = 1 dans D0 (R).
4. Pour n ∈ N, n > 2, résoudre xn T = 1 dans D0 (R).
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Feuille 4 - Distributions - épisode 1 : les manipulations basiques
Exercice 5. Résoudre dans D0 (R) les équations suivantes :
1. xT = sgn(x),
3. (x − 1)T = δ0 ,
2. xT = 1R+ ,
4. (x − a)(x − b)T = 1
avec a 6= b.
Exercice 6 (Formule des sauts). Soit f : R → R une fonction C 1 sur R∗ , on dit que f admet un saut en 0 si f
se prolonge par continuité à droite et à gauche de 0 par des valeurs finies. On note [[f (0)]] = f (0+ ) − f (0− ) la
hauteur du saut de f en 0. On note {f 0 } la dérivée de la partie régulière de f , c’est-à-dire
(
f 0 (x) si f est dérivable en x
{f 0 }(x) =
0
sinon
1. Montrer qu’au sens des distributions :
f 0 = {f 0 } + [[f (0)]]δ0 .
2. Soit (xn ) une suite indexée par Z strictement croissante telle que
lim xn = −∞ et
n→−∞
lim xn = +∞.
n→+∞
Soit f : R → R une fonction C 1 admettant des sauts sur chaque xn . Montrer qu’au sens des distributions
X
f 0 = {f 0 } +
[[f (xn )]]δxn .
n∈Z
3. Soit P = ∂ 2 + a∂ + b un opérateur différentiel avec a, b ∈ R.
(a) Soit f et g deux fonctions de classe C 2 sur R, on définit h = f 1R+ + g 1R− . Calculer P.h au sens des
distributions.
(b) En déduire une solution particulière de l’équation T 00 + aT 0 + b = δ0 .
Exercice 7. Soit I un intervalle de R.
1. Résoudre T 0 = 0 dans D0 (I).
2. Soit f, g ∈ C ∞ (I), montrer que toute solution T de T 0 + f T = g dans D0 (I) est une fonction lisse.
3. Pour f ∈ C ∞ (R), résoudre T 0 + f T = δ0 dans D0 (R).
4. Résoudre T 00 − T 0 − 2T = δ0 dans D0 (R).
Exercice 8. On note arg(z) l’argument principal du nombre complexe z, c’est-à-dire l’argument dans ] − π, π].
Pour tout ε > 0, on définit
fε (x) = ln(x + iε) = ln |x + iε| + i arg(x + iε).
1. Calculer f0+ = lim+ fε et f0− = lim− fε dans D0 (R).
ε→0
ε→0
2. Calculer f00 + et f00 − au sens des distributions.
3. En déduire les limites suivantes dans D0 (R) :
lim
ε→0+
1
= −iπδ0 + vp(1/x)
x + iε
Exercice 9. Montrer que f (x, y) =
distributions.
1
x+iy
et
lim
ε→0+
1
= iπδ0 + vp(1/x).
x − iε
définit bien un élément de D0 (R2 ) et calculer ∂ x f + i∂ y f au sens des
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Feuille 5 - Distributions - épisode 2 : le retour des supports, de la convolution et de la transformée de Fourier
Exercice 1. Soit T ∈ D0 (Rd ).
1. Soit ϕ ∈ D(Rd ), montrer que si supp T ∩ supp ϕ = ∅ alors hT, ϕi = 0. La réciproque est-elle vraie ?
2. On suppose que T est à support compact et on considère ψ ∈ D(Rd ) telle que ψ = 1 sur un voisinage de
supp T . Montrer que ψT = T .
3. Soit ϕ ∈ C ∞ (Rd ), montrer que si supp T ∩ supp ϕ est compact alors on peut définir hT, ϕi.
4. Soient T, S ∈ D0 (Rd ), on suppose T et S vérifient la condition de support suivante : pour tout compact K
de Rd ,
o
n
(x, y) ∈ Rd × Rd x ∈ supp T, y ∈ supp S, x + y ∈ K
est compact. Montrer que dans ce cas, T ∗ S et S ∗ T sont bien définies.
Exercice 2. Calculer les convolutions suivantes :
[q]
1. δa ∗ δb sur Rd ,
1[a,b] ∗ 1[c,d] ,
8. 1[0,1] ∗ (xH),
[n]
4. (xp δ0 ) ∗ (xm δ0 ),
0
d
2. T ∗ δa avec T ∈ D (R ),
3. H ∗ H (Heaviside),
[k]
δ0
p
7.
m
5.
∗ (x H),
6. (x H) ∗ (xq H),
9. δS(0,r) ∗ |x|2 sur R3 .
0
Exercice 3. On note D+
(R) = {T ∈ D0 (R) | supp T ⊂ R+ }.
0
0
(R). On
(R) est bien définie et donne un élément de D+
1. Montrer que la convolution de deux éléments de D+
pourra loucher sur l’exercice 1. Pour la suite de l’exercice, on admet que la convolution est associative et
0
0
commutative dans D+
(R). Quel est le neutre de la convolution dans D+
(R) ?
0
(R), on a (eax T ) ∗ (eax S) = eax (T ∗ S).
2. Montrer que pour tout a ∈ R, pour tout T, S ∈ D+
0
0
(R) pour la convolution lorsqu’il existe. Montrer que
(R), on note T −1 l’inverse de T dans D+
3. Pour T ∈ D+
−1
0 −1
−1
T
est effectivement unique et calculer (δ0 ) , (H) et (δ00 − λδ0 )−1 pour λ ∈ R.
4. Soit P un polynôme scindé sur R, calculer [P (∂).δ0 ]−1 .
0
(R) le système suivant
5. Résoudre dans D+
(
δ000 ∗ X + δ00 ∗ Y
δ00 ∗ X + δ000 ∗ Y
=δ
= 0.
Exercice 4. On étudie le comportement de la convergence de distributions avec le produit de convolution.
1. Soient T ∈ E 0 (Rd ), V ∈ D0 (Rd ) et (Vn ) une suite de distribution de D0 (Rd ). Montrer que si Vn → V dans
D0 (Rd ) alors Vn ∗ T → V ∗ T dans D0 (Rd ).
2. Soient T ∈ D0 (Rd ), V ∈ E 0 (Rd ) et (Vn ) une suite de distribution de E 0 (Rd ). Montrer que si Vn → V dans
E 0 (Rd ) alors Vn ∗ T → V ∗ T dans D0 (Rd ).
3. Montrer qu’il existe deux suites de distributions Tn et Vn convergent vers 0 dans D0 (R) et telles que
Tn ∗ Vn → δ0 .
Exercice 5. Soit F : D(Rd ) → E(Rd ) une application linéaire continue. On dit que F commutent avec les
translations si, pour tout x ∈ Rd , τx ◦ F = F ◦ τx , c’est-à-dire
∀ϕ ∈ D(Rd ), ∀y ∈ Rd ,
F (ϕ)(x + y) = τx (F (ϕ))(y) = F (τx ϕ)(y) = F (z 7→ ϕ(x + z))(y).
1. Montrer que s’il existe T ∈ D0 (Rd ) tel que, pour tout ϕ ∈ D(Rd ), F (ϕ) = T ∗ ϕ, alors F commute avec les
translations.
2. Montrer que pour tout T ∈ D0 (Rd ), et tout ϕ ∈ D(Rd ), on a hT, ϕi = T ∗ ϕ̌(0) où ϕ̌(x) = ϕ(−x).
3. Montrer que si F commute avec les translations, alors il existe T ∈ D0 (Rd ) tel que, pour tout ϕ ∈ D(Rd ),
F (ϕ) = T ∗ ϕ.
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Feuille 5 - Distributions - épisode 2 : le retour des supports, de la convolution et de la transformée de Fourier
Exercice 6.
1. Soient p ∈ [1, +∞] et f ∈ Lp (Rd ). Montrer que f définit une distribution tempérée.
2. Soient P ∈ R[X1 , . . . , Xd ] et f : Rd → R une fonction mesurable telle que |f | 6 |P |. Montrer que f définit
une distribution tempérée.
Exercice 7. Montrer que les distributions suivantes sont tempérées et calculer leur transformée de Fourier avec
la convention : pour f ∈ L1 (Rd ),
Z
1
f (x)e−ix·ξ dx.
F(f )(ξ) =
d
(2π) 2 Rd
1. δ0 sur Rd ,
2. e
|x|2
− 2σ
sur R avec σ > 0,
3. H (Heaviside),
4. vp(1/x),
[n]
5. δ0 sur R,
6. |x| sur R,
Exercice 8. Soient k > 0 et T ∈ S 0 (R) tels que T [4] + kT ∈ L2 (R).
Montrer que pour tout j ∈ J0, 4K, T [j] ∈ L2 (R).
Exercice 9. Soit U ∈ S 0 (Rd ).
Montrer que si ∆U = 0 alors U est un polynôme.
Exercice 10. On définit 4 notions de support :
— pour T ∈ D0 (Rd ), suppdist T = complémentaire du plus grand ouvert Ω1 sur lequel :
∀ϕ ∈ D(Ω1 ), hT, ϕi = 0 ;
— pour µ ∈ M(Rd ) (l’ensemble des mesures signées de Radon, c’est-à-dire mesures boréliennes sur Rd , à
valeurs dans R et finies sur les compacts), suppmes µ = complémentaire du plus grand ouvert Ω2 sur
lequel : ∀A ⊂ Ω2 , µ(A) = 0 ;
— pour f ∈ L1loc (Rd ), suppint f = complémentaire du plus grand ouvert Ω3 sur lequel : f|Ω3 = 0 presque
partout ;
— pour g ∈ C 0 (Rd ), suppcont g = {x ∈ Rd | f (x) 6= 0}.
1. Soit g ∈ C 0 (Rd ), montrer que suppcont g = suppint g.
2. Soit f ∈ L1loc (Rd ), on définit une mesure de Radon par une fonction densité µ = f dx, montrer que
suppint f = suppmes µ.
3. Soit µ ∈ M(Rd ), on note T la distribution associée à µ, montrer que suppdist T ⊂ suppmes µ.
4. Soit g ∈ C 0 (Rd ), on note T la distribution associée à g, montrer que suppdist T = suppcont g.
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Feuille 6 - Les espaces de Sobolev
Exercice 1.
1. Montrer que u(x) = |x| est dans W 1,2 (] − 1, 1[) mais n’est pas dans W 2,2 (] − 1, 1[).
2. Montrer que v(x) =
sin(x2 )
√
1+x2
est dans L2 (R) mais n’est pas dans W 1,2 (R).
Exercice 2. Soient Ω un ouvert de Rd , p ∈ [1, +∞] et k ∈ N∗ . Montrer la formule d’intégration par parties
suivante : pour tout f ∈ W k,p (Ω), g ∈ W0k,q (Ω) (avec p1 + 1q = 1) et pour tout multi-indice α tel que |α| 6 k, on a
Z
Z
g∂ α f dx = (−1)|α|
f ∂ α gdx.
Rd
Rd
Exercice 3. Soient Ω1 , Ω2 deux ouverts de Rd et p ∈ [1, +∞]. Soit f : Ω1 → Ω2 un C 1 -difféomorphisme tel que
la différentielle de f et celle de f −1 sont bornées. On définit
F : W 1,p (Ω1 ) → W 1,p (Ω2 )
u
7→ u ◦ f −1 .
Montrer que F est bien définie et qu’il existe C1 , C2 > 0 telles que, pour tout u ∈ W 1,p (Ω1 ), on a
C2 ||u||W 1,p (Ω1 ) 6 ||F (u)||W 1,p (Ω2 ) 6 C1 ||u||W 1,p (Ω1 ) .
Exercice 4. Soit p ∈ [1, +∞[ et Ω un ouvert de Rd . On suppose que Ω est borné dans une direction, c’est-à-dire
que Ω est compris entre deux hyperplans parallèles. Montrer l’inégalité de Poincaré : il existe c > 0 telle que pour
tout f ∈ W01,p (Ω), on a
||f ||Lp 6 c||∇f ||Lp ,
!1/p
d
X
p
où ||∇f ||Lp =
||∂ i f ||Lp
.
i=1
Exercice 5. Soient Ω un ouvert de Rd et p ∈]1, +∞[.
∗
1. Montrer que pour tout F ∈ W01,p (Ω) , il existe f0 , f1 , . . . , fd ∈ Lq (Ω) (avec
tout g ∈
W01,p (Ω),
1
p
+
1
q
= 1) tels que, pour
on a
Z
hF, gi =
f0 gdx +
Ω
d Z
X
i=1
fi ∂ i gdx.
Ω
2. Montrer qu’on a de plus
||F || 6
d
X
! q1
||fi ||qLq
.
i=0
3. Si on suppose que Ω est borné, montrer qu’on peut prendre f0 = 0.
Exercice 6. Soient I un intervalle de R et p ∈ [1, +∞]. Soit f ∈ W 1,p (I).
1. Soit a ∈ I, montrer que la fonction T , donnée par
Z x
T (x) =
f 0 (t)dt,
a
est bien définie, continue et dérivable presque partout. On pourra utilise le théorème de différentiation de
Lebesgue : si u ∈ L1loc (Rd ) alors pour presque tout x ∈ Rd ,
Z
1
r→0
f (y)dy −→ f (x).
|B(x, r)| B(x,r)
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Feuille 6 - Les espaces de Sobolev
2. Montrer que T 0 = f 0 au sens classique et au sens des distributions.
3. En déduire qu’il existe c ∈ R tel que, pour presque tout x ∈ R,
Z x
f (x) = c +
f 0 (t)dt.
a
En particulier, f admet un représentant continu et dérivable presque partout.
4. Si 1 < p < +∞, montrer que f est hölderienne.
5. Si p = +∞, montrer que f est lipschitzienne.
6. Montrer que W 1,p (I) ,→ L∞ (I), c’est-à-dire qu’il existe une constante c > 0 telle que, pour tout g ∈ W 1,p (I),
on a g ∈ L∞ (I) et
||g||L∞ 6 c||g||W 1,p .
On dit que W 1,p (I) s’injecte continûment dans L∞ (I). On pourra commencer par le cas I = R et
g ∈ Cc∞ (R).
7. On suppose I borné.
(a) Montrer que W 1,p (I) est stable par produit.
(b) Montrer que l’injection W 1,p (I) ,→ C(I) est compacte, c’est-à-dire que tout élément de W 1,p (I) est
dans C(I) et que de tout suite borné de (W 1,p (I), ||.||W 1,p ), on peut extraire une suite convergent
uniformément sur I vers une limite dans C(I).
8. On suppose I non borné, montrer que
lim
|x|→+∞
x∈I
f (x) = 0.
Exercice 7. Soit f ∈ L2 ([0, 1]), on cherche à résoudre l’équation suivante (problème de Dirichlet)

sur ]0,1[,
 −u00 + u = f
u(0) = 0

u(1) = 1.
Dans la suite, on note H k = W k,2 (]0, 1[) et H01 = W01,2 (]0, 1[).
1. Montrer qu’il existe une solution faible au problème de Dirichlet, c’est-à-dire qu’il existe u ∈ H01 tel que,
pour tout v ∈ H01 , on a
Z 1
Z 1
Z 1
u0 v 0 dt +
uvdt =
f vdt.
0
0
0
2. Montrer que si u ∈ C 2 (]0, 1[) ∩ C([0, 1]) est une solution classique alors u est aussi une solution faible.
3. Montrer que si u est solution faible, alors u ∈ H 2 .
4. On suppose que f ∈ H k , montrer que dans ce cas, toute solution faible u est dans H k+2 .
5. On suppose que f ∈ C([0, 1]).
(a) Montrer que si u est solution faible, alors u ∈ C 2 ([0, 1]).
(b) Montrer que si u ∈ C 2 ([0, 1]) est solution faible, alors u est solution au sens classique.