Novembre 2005

Université de Metz
- Département
de Mathématiques
Master 1 de Mathématiques: Partiel d'Analyse Fonctionnelle
Novembre 2005. Durée: 2 Heures
Les deux exercices sont indépendants. Il sera tenu compte de la rigueur de la rédaction.
Prière de rédiger l'exercice 2 sur une copie séparée.
Questions de cours
(1) (a) Donner la dénition de la topologie initiale associée à une famille d'applications.
(b) Donner la dénition de la topologie faible σ(X ∗ , X) sur le dual X ∗ d'un espace normé X .
(2) En utilisant le théorème de Tychono, donner une preuve du théorème de Banach-Alaoglu.
Exercice 1: Caractères de C(X)
Soit (X, O) un espace topologique compact et soit C(X) l'espace vectoriel normé des fonctions complexes continues sur X . Rappelons que la norme de C(X) est dénie par
kf k := sup |f (x)|, pour f ∈ C(X).
x∈X
(1) Montrer que le produit des fonctions munit C(X) d'une structure d'algèbre commutative unitaire
telle que
kf gk ≤ kf k × kgk,
∀f, g ∈ C(X).
On appellera caractère sur C(X) toute application χ : C(X) → C qui est un homomorphisme
non nul d'algèbres involutives, i.e. χ est une forme linéaire non nulle qui satisfait:
χ(f g) = χ(f )χ(g) et χ(f ) = χ(f ), ∀f, g ∈ C(X).
(2) Soit χ un caractère sur C(X).
(a) Montrer que χ(1X ) = 1. Ici 1X est la fonction constante égale à 1 sur X .
(b) Montrer que si f ∈ C(X) satisfait χ(f ) = 0, alors la fonction f doit s'annuler en (au moins)
un point de X .
(c) Montrer que χ(f ) appartient à l'image de la fonction f .
(d) Déduire que χ est une forme linéaire continue de norme 1.
\ l'ensemble des caractères sur C(X). On munit C(X)
\ de la topologie ∗−faible σ(C(X)∗ , C(X)).
(3) Soit C(X)
\ est compact.
Montrer qu'alors C(X)
(4) Si x ∈ X est xé alors montrer que l'application ϕx : C(X) → C donnée par
ϕx (f ) := f (x),
(5)
(6)
(7)
(8)
∀f ∈ C(X),
est un caractère sur C(X).
\ qui associe à tout x ∈ X le caractère ϕx est continue.
Montrer que l'application ϕ : X → C(X)
On suppose désormais que X est muni d'une distance d qui dénit sa topologie O.
(a) Montrer que si (x, y) ∈ X 2 est tel que x 6= y alors il existe f ∈ C(X) telle que f (x) = 1 et
f (y) = 0.
(b) Déduire que l'application ϕ est injective.
\ et on suppose que pour tout x ∈ X , il
On veut montrer que ϕ est surjective. On xe χ ∈ C(X)
existe fx ∈ Ker(χ) telle que fx (x) 6= 0.
(a) Montrer qu'on peut supposer que fx (x) = 1 et que fx est à valeurs positives ou nulles.
(b) En utilisant la compacité de X construire une fonction g sur X qui satisfait:
g(y) > 0, ∀y ∈ X et g ∈ Ker(χ).
(c) Déduire une contradiction et montrer que ϕ est surjective.
\.
Montrer enn que ϕ est un homéomorphisme entre X et C(X)
1
Exercice 2: Z est moyennable
Soit X un espace topologique. On note E = Cb (X) l'espace des fonctions continues bornées à valeurs
dans R, muni de la norme kf k∞ = supx∈X |f (x)|. On dit qu'une forme linéaire ϕ : E → R est une
moyenne si elle vérie les conditions suivantes:
(a) ϕ(f ) ≥ 0 pour tout f ≥ 0;
(b) ϕ(1X ) = 1
(où on note 1X la fonction x 7→ 1 de X dans R.)
(1) (a) Montrer que si ϕ est une moyenne, alors ϕ est nécessairement continue (on pourra montrer
au préalable que f ≤ g implique ϕ(f ) ≤ ϕ(g)).
(b) Quelle est la norme de ϕ?
(2) Montrer que toute mesure de probabilité sur X détermine une moyenne.
(3) On note comme d'habitude E ∗ le dual de E , c'est à dire l'ensemble des formes linéaires continues
sur E . On désigne par M l'ensemble des moyennes sur X et on munit M de la topologie σ(E ∗ , E)
(noter, d'après (1), que M ⊂ E ∗ ).
(a) Montrer que pour tout f ∈ E , {ϕ ∈ E ∗ | ϕ(f ) ≥ 0} et {ϕ ∈ E ∗ | ϕ(1X ) = 1} sont fermés.
(b) Montrer que M est compact.
Dans la suite de l'exercice, on suppose que X = Z. On note α : E → E l'application dénie
par (α(f ))(x) = f (x − 1). Soit Fn = {ϕ ∈ M | kϕ − ϕ ◦ αk ≤ n1 }. Noter que ϕ ◦ α est une moyenne
sur X et que kϕ − ϕ ◦ αk désigne ici la norme de forme linéaire continue sur l'espace normé E .
(4) (a) Montrer que l'application ϕ 7→ ϕ − ϕ ◦ α est continue de E ∗ dans E ∗ , lorsque E ∗ est muni
de la topologie σ(E ∗ , E).
(b) Montrer que (Fn )n≥1 est une suite décroissante de fermés dans l'espace M muni de la
topologie induite par σ(E ∗ , E).
P2n
1
(c) Montrer aussi que Fn contient l'élément ϕn , déni par ϕn (f ) = 2n
j=1 f (j).
(5) On dit que ϕ est une moyenne invariante si ϕ ∈ M vérie ϕ = ϕ ◦ α. Montrer qu'il existe une
moyenne invariante.
(6) Soit ϕ une moyenne invariante.
(a) Montrer que ϕ(δn ) = ϕ(δ0 ) pour tout n ∈ Z, où δn ∈ E est la fonction qui vaut 1 en n et 0
ailleurs.
(b) En déduire que ϕ(δn ) = 0 pour tout n.
(c) En déduire que ϕ n'est pas une mesure.