Topologie - Feuille n o 3 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

TOPOLOGIE ET ANALYSE FONCTIONNELLE
FEUILLE D’EXERCICES N◦3
MASTER DE MATH´ EMATIQUES, PREMIER SEMESTRE, ANN´ EE 2005/2006
Exercice 1. Une intersection d’ouverts denses est-elle un ouvert ?
Exercice 2. Soit(X, d) un espace m´etrique non vide, complet, sans point isol´e. Montrer
que Xn’est pas d´enombrable.
Exercice 3. Soit f:R>0→Rcontinue telle que (∀x∈R>0) lim
n→∞ f(nx) = 0. Montrer
que lim
x→∞ f(x) = 0 (poser Fn={x∈R>0,(∀m≥n)|f(mx)| ≤ ε}).
Exercice 4. Soit (X, .) un groupe ab´elien muni d’une m´etrique dtelle que que la mul-
tiplication et le passage `a l’inverse soient continus. On suppose en outre que (X, d) est
compact. On se propose de d´emontrer qu’il n’existe pas d’isomorphisme continu de (R,+)
sur (X, .). On suppose par l’absurde que Test un tel isomorphisme.
(i) Pour n∈N>0, soit In= [−n, n]. Montrer qu’il existe ptel que T(Ip) soit d’int´erieur
non vide.
(ii) Montrer qu’on peut trouver x1,...,xN∈Rtels que T−1(X) =
N
S
i=1
(xi+Ip).
(iii) Conclure.
Exercice 5. Un nombre r´eel xest dit de Liouville s’il n’est pas rationnel et si pour tout
n∈N, il existe des entiers pet qavec q > 1 tels que 
x−p
q
<1
qn. Montrer que l’ensemble
des nombres de Liouville est dense dans R.
Exercice 6. (Une d´emonstration du th´eor`eme de Banach-Steinhaus n’utilisant pas le
th´eor`eme de Baire). Soient E,Fdeux espaces de Banach et Eun sous-ensemble des
applications lin´eaires continues de Edans F.
On suppose que pour tout v∈E, on a sup
T∈E
{kT vk} <+∞, et que sup
T∈E
{kTk} = +∞.
Construire par r´ecurrence des suites (Tn)n∈Nd’´el´ements de Eet (xn)n∈Nde Etels que pour
tout n∈Non a kxnk= 1, kTnxnk ≥ kTnk/2, et si x=
∞
P
n=0
xn
4n, on a kTnxk> n.
Exercice 7. Soit Eun espace de Banach et B0une partie de E0(dual topologique de E).
On suppose que pour tout x∈E, l’ensemble hB0, xi={f(x), f ∈B0}est born´e dans R.
Montrer que B0est born´ee dans E0.
Exercice 8. (Contre-exemples `a Banach-Steinhaus).
(a) Soient E=R[X], muni de la norme donn´ee par le sup des coefficients, et pour
n∈N,Tn:P7→ P(n)(0).
1

2 MASTER DE MATH´ EMATIQUES, PREMIER SEMESTRE, ANN´ EE 2005/2006
(b) Soient E=C1([0,1],R) muni de la norme k.k∞, et pour h∈]0,1[, Th:f7→ f(h)−f(0)
h.
Exercice 9. Soient E,Fdes Banach, Gun espace vectoriel norm´e et u:E×F→G
bilin´eaire. Montrer que uest continue si et seulement si uest s´epar´ement continue (ie. les
applications u(x, .) et u(., y) sont continues pour tout x∈Eet tout y∈F).
Exercice 10. Soit Xun espace topologique compact, K=Rou Cet E=C0(X, K).
Montrer que toutes les normes sur Equi rendent Ecomplet et entraˆınent la convergence
simple sont ´equivalentes.