Examen final (durée 2 h) (le 16/12/2016)

L3 - Mathématiques
2016–2017
Topologie générale
Examen final (durée 2 h)
(le 16/12/2016)
Questions de cours (répondre sans donner de démonstration).
1) (2 pts) Donner les noms et les énoncés de trois critères différents de compacité qui
sont valables respectivement dans un cadre général, dans un cadre métrique, et dans le
cadre d’un R-espace vectoriel normé de dimension finie.
2) (1 pt) Donner la définition d’un espace métrique complet, et fournir un exemple
d’espace métrique qui n’est pas complet.
2) (1 pt) Donner la définition d’un espace de Banach, et fournir une condition nécessaire
et suffisante (en terme de séries) pour qu’un espace soit de Banach.
Exercice I. On considère un ensemble 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} à trois éléments distincts 𝑎, 𝑏 et 𝑐.
Pour information, l’ensemble 𝑋 peut être muni de 29 topologies distinctes.
I.A. (1 pt) Construire sur 𝑋 deux topologies 𝒯 et 𝒯 ′ , qui sont toutes deux distinctes de
la topologie discrète et de la topologie grossière, et qui sont ajustées de façon à ce qu’il
n’existe pas d’homéomorphisme entre (𝑋, 𝒯 ) et (𝑋, 𝒯 ′ ). Justifier la réponse.
I.B. (1 pt) Montrer qu’on ne pas faire en sorte que l’espace topologique (𝑋, 𝒯 ) soit à la
fois séparé et connexe.
Exercice II. Soit (𝑋, 𝒯 ) un espace topologique, et 𝐴 une partie de 𝑋.
II.A. (1 pt) Montrer que si 𝐴 est d’intérieur non vide, alors l’ensemble 𝐴 rencontre toute
partie qui est dense dans 𝑋.
II.B. (1 pt) Montrer que si 𝐴 rencontre toute partie dense dans 𝑋, alors l’ensemble 𝐴
est d’intérieur non vide.
(︀
)︀
Exercice III. Soit 𝐸, ‖ · ‖ un R−espace vectoriel normé. On note 𝐵(0, 1] la boule
unité fermée de 𝐸. Soit 𝐹 un sous-espace vectoriel fermé de 𝐸 vérifiant 𝐹 ̸= 𝐸. On pose :
𝑑(𝑥, 𝐹 ) := inf
{︀
‖ 𝑦 − 𝑥 ‖; 𝑦 ∈ 𝐹
}︀
.
III.A. (1,5 pt) Etant donnés 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑦 ∈ 𝐹 et 𝜆 ∈ R, établir les trois propriétés suivantes :
(𝑖)
𝑑(𝑥, 𝐹 ) ≤‖ 𝑥 ‖ ;
(𝑖𝑖) 𝑑(𝜆 𝑥, 𝐹 ) = |𝜆| 𝑑(𝑥, 𝐹 ) ;
III.B. (1 pt) Etant donnés 𝑥 ∈ 𝐸 et 𝑥′ ∈ 𝐸, montrer que :
(𝑖𝑣)
𝑑(𝑥 + 𝑥′ , 𝐹 ) ≤ 𝑑(𝑥, 𝐹 ) + 𝑑(𝑥′ , 𝐹 ) .
(𝑖𝑖𝑖) 𝑑(𝑥 − 𝑦, 𝐹 ) = 𝑑(𝑥, 𝐹 ) .
III.C. (0,5 pt) Soit 𝑥 ∈ 𝐵(0, 1] tel que 𝛼 := 𝑑(𝑥, 𝐹 ) > 0. Montrer que :
∀ 𝜀 ∈ R*+ ,
∃𝑦 ∈ 𝐹 ;
𝛼 ≤‖ 𝑥 − 𝑦 ‖< 𝛼 (1 + 𝜀) .
III.D. (1 pt) Soit 𝑥 ∈ 𝐵(0, 1] tel que 𝛼 := 𝑑(𝑥, 𝐹 ) > 0. Montrer que pour tout 𝜀 ∈ R*+ ,
on peut trouver 𝑥
˜ ∈ 𝐵(0, 1] tel que 𝑑(˜
𝑥, 𝐹 ) = (1 + 𝜀)−1 < 1.
III.E. (1 pt) Déduire de ce qui précède l’égalité : sup
{︀
}︀
𝑑(𝑥, 𝐹 ) ; 𝑥 ∈ 𝐵(0, 1] = 1.
III.F. (1 pt) Démontrer à l’aide de ce qui précède le théorème du cours qui permet
d’affirmer que si la boule 𝐵(0, 1] est compacte, alors le R−espace vectoriel 𝐸 est de
dimension finie.
Exercice IV. Soit 𝐸 l’espace des fonctions qui sont de classe 𝒞 2 sur [0, 1], à valeurs
réelles, et qui sont telles que 𝑓 (0) = 0 et 𝑓 ′ (0) = 0. Etant donné 𝑓 ∈ 𝐸, on pose :
‖ 𝑓 ‖∞ := sup |𝑓 (𝑥)| ,
𝑁 (𝑓 ) :=‖ 𝑓 + 2 𝑓 ′ + 𝑓 ′′ ‖∞ .
𝑥∈[0,1]
IV.A. (1 pt) Vérifier que l’application 𝑁 (·) définit une norme sur 𝐸.
IV.B. (1 pt) Les deux normes ‖ · ‖∞ et 𝑁 (·) sont-elles comparables ?
IV.C. (1 pt) Les deux normes ‖ · ‖∞ et 𝑁 (·) sont-elles équivalentes ?
Exercice V. On se place sur l’espace métrique (𝑋, 𝛿) où 𝑋 = ]0, +∞[ et :
∀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 2 ,
𝛿(𝑥, 𝑦) = | ln 𝑥 − ln 𝑦| .
V.A. (1 pt) Montrer que l’espace métrique (𝑋, 𝛿) est complet.
V.B. (1 pt) Soit 𝑓 une application de classe 𝒞 1 de 𝑋 dans 𝑋 vérifiant :
∃ 𝑘 ∈ ]0, 1[ ;
∀𝑥 ∈ 𝑋 ,
𝑥 |𝑓 ′ (𝑥)| ≤ 𝑘 𝑓 (𝑥) .
Montrer que 𝑓 a un point fixe unique dans 𝑋.
Exercice VI. Soit (𝑋, 𝛿) un espace métrique. On considère l’ensemble 𝐹 = 𝒞 0 𝑋; [0, 1]
des fonctions continues de 𝑋 dans [0, 1] et l’espace 𝑇 = [0, 1]𝐹 muni de (︀la topologie
)︀
produit 𝒯𝑝 . On introduit aussi l’application 𝜃 : 𝑋 −→ 𝑇 définie par 𝜃(𝑥) = 𝑓 (𝑥) 𝑓 ∈𝐹 .
(︀
)︀
VI.A. (1 pt) Expliquer pourquoi 𝜃 est continue.
VI.B. (1 pt) Montrer que 𝜃 est injective.
VI.C. (2 pt) Montrer que l’application 𝜃 : 𝑋 −→ 𝜃(𝑋), où 𝜃(𝑋) est muni de la topologie
induite 𝒯𝑖 sur 𝜃(𝑋) par 𝒯𝑝 , est une(︀ application
ouverte, c’est à dire que l’image de tout
)︀
ouvert de (𝑋, 𝛿) est un ouvert de 𝜃(𝑋), 𝒯𝑖 .
(le barème est donné à titre indicatif)