Topologie - Feuille n o 4 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

TOPOLOGIE ET ANALYSE FONCTIONNELLE
FEUILLE D’EXERCICES N◦4
MASTER DE MATH´ EMATIQUES, PREMIER SEMESTRE, ANN´ EE 2005/2006
Exercice 1. Soient E,F,Gdes espaces de Banach, T:E→Fet S:F→Gdes
applications lin´eaires, avec Scontinue et injective. Montrer que Test continue si et
seulement si S◦Tl’est.
Exercice 2. (a) Soient E,Fdeux espaces de Banach et T:E→Fune application
lin´eaire continue “presque surjective” ie. telle qu’il existe α∈]0,1[ et C∈R>0tels
que pour tout y∈Favec kyk ≤ 1, il existe x∈Etel que ky−T xk ≤ αet kxk ≤ C.
Montrer que Test en fait surjective, et que pour tout y∈Favec kyk ≤ 1, il existe
x∈Etel que y=T x et kxk ≤ C
1−α.
(b) Montrer que l’ensemble S(E, F ) des surjections lin´eaires continues de Edans Fest
un ouvert de L(E, F ).
Exercice 3. (i) Soit T:E→Fune application lin´eaire entre espaces de Banach sur
R. On suppose que pour tout ϕ∈F0, on a ϕ◦T∈E0. Montrer que Test continue.
(ii) Soit Hun espace de Hilbert, T:H→Hlin´eaire telle que (∀(x, y)∈H2)hx, T yi=
hT x, yi. Montrer que Test continue.
Exercice 4. Soient Hun espace de Hilbert, Fun sous-espace ferm´e de Htel que F6={0}
et Pune projection de Hsur F. Montrer qu’on a ´equivalence entre :
(i) Pest la projection orthogonale sur F;
(ii) kPk= 1 ;
(iii) (∀x∈H)|hP x, xi| ≤ kxk2.
(Pour (iii)⇒(i), on pourra appliquer (iii) `a x=y+λz, pour y∈F,z∈F⊥et λ∈C).
Exercice 5. Soient Hun espace de Hilbert et a:H×H→Rune forme bilin´eaire.
Rappelons que aest continue si (∃C∈R≥0) (∀u, v ∈H)|a(u, v)| ≤ Ckukkvk. On dit
qu’elle est coercitive lorsqu’il existe α∈R>0tel que (∀u∈H)a(u, u)≥αkuk2.
Soit a:H×H→Rune forme bilin´eaire continue et coercitive. Montrer que pour
toute forme lin´eaire ϕ∈H0, il existe un unique u∈Htel que (∀v∈H)ϕ(v) = a(u, v)
(indication : introduire une application contractante bien choisie et utiliser le th´eor`eme du
point fixe).
Montrer que si aest sym´etrique, le vecteur uest caract´eris´e par
1
2a(u, u)−ϕ(u) = min
v∈H1
2a(v, v)−ϕ(v).
Exercice 6. Soient Eun espace vectoriel norm´e sur R,fune forme lin´eaire non nulle sur
Eet α∈R. Montrer que l’hyperplan d’´equation f(x) = αest ferm´e si et seulement si f
est continue.
Exercice 7. Soit Eun espace vectoriel norm´e. Soient x∈Eet Fun sous espace vectoriel
ferm´e de Ene contenant pas x. Montrer qu’on peut s´eparer strictement xet F, c’est-`a-dire
qu’il existe une forme lin´eaire continue fsur Eet α∈Rtels que (∀y∈F)f(y)< α < f (x).
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Exercice 8. Soient Eun espace de Banach et B⊆Eune partie “faiblement born´ee”, ie.
telle que pour tout f∈E0, l’ensemble hf, Biest born´e. Montrer que Best (fortement)
born´ee.
Exercice 9. Soit (E, k.k) un espace vectoriel norm´e et E0son dual muni de la norme
usuelle. On veut montrer que si E0est s´eparable alors Eest s´eparable.
(a) On suppose que (fn)n∈Nest une suite dense de E0. Montrer qu’il existe une suite
(xn)n∈Nde Etelle que (∀n∈N)fn(xn)≥1
2kfnk.
(b) Montrer que l’espace vectoriel engendr´e par les xnest dense dans E.
Exercice 10. (Topologie faible). Soient (E, k.k) un espace de Banach et E0le dual
topologique de E. On munit Ede la topologie la moins fine rendant continus les ´el´ements
de E0et on note σ(E, E0) cette topologie.
(1) Montrer que la topologie σ(E, E0) est s´epar´ee.
(2) Soit (xn)n∈Nune suite de E. Montrer que :
i. xn* x pour σ(E, E0) si et seulement si (∀f∈E0)f(xn)→f(x) ;
ii. si xn→xpour k.kalors xn* x pour σ(E, E0) ;
iii. si xn* x pour σ(E, E0) alors kxnkest born´ee et kxk ≤ lim inf kxnk;
iv. si xn* x et fnconverge vers fdans (E0,k.kE0) alors fn(xn)→f(x).
(3) On suppose que Eest de dimension finie. Montrer que la topologie faible et la
topologie usuelle co¨ıncident.
(4) Soient Eet Fdeux espaces de Banach et Tune application linaire de Edans F.
Montrer que Test continue de Edans Fpour les topologies fortes si et seulement
si Test continue de (E, σ(E, E0)) dans (F, σ(F, F 0)).
Exercice 11. (Le th´eor`eme de Krein-Milman). Soient Eun espace vectoriel norm´e sur R
et Kune partie de E. On appelle points extr´emaux de Kles points de Kqui ne peuvent
pas s’´ecrire comme combinaison strictement convexe de deux points distincts de K(ie. les
points xtels que (∀y, z ∈K) ((∃t∈]0,1[) x=ty +(1−t)z⇒y=z). Donner des exemples.
(i) Prouver que tout compact non vide admet des points extr´emaux. On pourra con-
sid´erer la famille A=E(K) de toutes les parties extr´emales de K, ie. des parties
Aferm´ees non vides de Ktelles que
(∀x, y ∈K) (∀t∈]0,1[) tx + (1 −t)y∈A⇒x, y ∈A.
On ordonnera Apar inclusion, puis on utilisera le th´eor`eme de Zorn pour prouver
qu’il existe un ´el´ement minimal A0, et on montrera qu’il est r´eduit `a un point grˆace
au th´eor`eme de Hahn-Banach.
(ii) Soit X⊆E,A1∈ E(K) et A2∈ E(A1), montrer que A2∈ E(K).
(iii) Th´eor`eme de Krein-Milman : Soit Kune partie compacte convexe de E, alors K
est l’enveloppe convexe ferm´ee de ses points extr´emaux E(c’est-`a-dire le plus petit
convexe ferm´e co(E) qui contient E).
On pourra construire, pour x∈K\co(E), un sous-ensemble ferm´e non vide de K,
extr´emal, mais qui ne rencontre pas E.