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Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2
Révisions d'oral (5)
Sujet 1
Exercice 1


a a a b
 a a b a 

Soient a, b deux réels. On pose A = 
 a b a a .
b a a a
1. Justier que A est diagonalisable.
2. Calculer χA (on pourra eectuer l'opération C1 ← C1 + C2 + C3 + C4 ). En déduire que A admet une valeur propre
d'ordre > 2.
3. À quelle(s) condition(s) A admet-elle une valeur propre d'ordre > 3 ? Deux valeurs propres d'ordre 2 ?
4. On suppose qu'on n'est pas dans l'un des cas précédents. Diagonaliser la matrice A.
Exercice 2
Existence et calcul de
Z
0
+∞
arctan t
dt.
1 + t2
[4]
Sujet 2
Exercice 1
Rayon de convergence et somme de la série
X sin(nθ)
zn.
n!
n>0
Exercice 2
On donne dans Mn (R) :

1
1
0
···




A=



0
1
1
.
..
.
..
0
0
0
0
.
..
..
..
.
.
···
..
0

.. 
. 

. 0 

1
0


1 
1
Montrer que A est inversible et calculer A−1 . A est-elle diagonalisable ?
[5]
Sujet 3
Exercice 1
u0 > 1, u1 > 0
√
.
un+2 = un un+1
1. Exprimer un en fonction de n, u0 et u1 (on pourra utiliser la suite (vn )n∈N de terme général vn = ln(un )).
2. En déduire la limite de la suite (un )n∈N .
On dénit la suite réelle (un )n∈N par
Exercice 2
Une société de distribution reçoit des produits. Chaque produit se trouve dans une boîte et on suppose que certaines
boîtes peuvent être détériorées dans le transport. De plus, on suppose que lorsque la boîte est détériorée, la probabilité
que le produit soit invendable est 1/6. Notons X le nombre de produits invendables parmi les produits reçus.
1. On suppose que la société reçoit 6 boîtes détériorées. Déterminer la loi de X .
2. On suppose que le nombre Y de boîtes détériorées reçues suit une loi de Poisson.
(a) Déterminer son paramètre si P (Y = 5) = P (Y = 6).
(b) Soit n un entier naturel. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant Y = n.
(c) En déduire, pour tous les entiers naturels k et n, P (X = k) ∩ (Y = n) .
(d) En déduire P (X = 0), P (X = 1), puis la loi de X .
[6]
1/1