composition de mathématiques - Mathlaayoune

CPGE Lissane eddine
Filière MP
Laayoune
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Durée 4h
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
???
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
???
Définitions et notations
Dans tout le problème, K = R ou C et E, F deux K-espace de normés de dimension ≥ 1.
Si A ⊂ E, on désigne par diamètre de A l’élément de R̄ : δ(A) = sup kx − yk.
x,y∈A
Si G est un K-espace vectoriel, x ∈ G et r > 0, on désigne par BG (x, r) la boule de G de centre x et de rayon r.
Lc (E, F ) désigne l’ensemble des applications linéaires continues de E vers F . On rappelle que Lc (E, F ) muni de la norme
subordonée 9 9 est un espace vectoriel normé et si de plus E = F alors Lc (E) est une algèbre normée.
Un espace vectoriel normé complet est dit de Banach.
Isom(E, F ) désigne l’ensemble des isomorphismes de Lc (E, F ).
Si f est une application et n ∈ N, f (n) désigne la dérivée nime , lorsqu’elle existe, de f .
kf k∞ = sup |f (x)| est une norme sur l’espace vectoriel C 1 ([0, 1], K).
x∈[0,1]
Une application f : E → F est dite ouverte si l’image directe de tout ouvert de E est un ouvert de F .
Soit fn une suite d’applications de E vers F . On dit que f converge simplement vers f si ∀x ∈ E, fn (x) → f (x).
Ce problème comporte 6 parties :
Une première partie où l’on va démontrer démontrer des propriétés qui seront utiles dans la suite.
Le but de la deuxième partie est de démontrer le théorème de Baire : "Dans un Banach, toute intersection dénombrable d’ouverts
denses est dense".
Dans les autres parties on étudiera 4 théorèmes importants en analyse fonctionnelle ainsi que quelques applications.
Première partie
I : Préliminaire :
1: Soit x ∈ E, r ∈ R avec r > 0.
1 - a: Montrer que B(x, r) = x + rB(0, 1)
1 - b: Soit f ∈ L(E, F ). Montrer que f (B(x, r)) = f (x) + rf (B(0, 1)).
2: Soit A ⊂ E. Montrer que A est dense dans E ssi pour tout ouvert non vide O ⊂ E, A ∩ O 6= φ.
3: On suppose
\que E est Banach. Soit (An )n une suite décroissante de parties fermées non vides de E telle que δ(An ) → 0.
Montrer que
An 6= φ.
n∈N
4: Soit f : E → F continue et A ⊂ E. Montrer que f (Ā) ⊂ f (A).
5: On suppose dans cette question que F est Banach. Montrer que (Lc (E, F ), 9 9) est un espace de Banach.
6: Soit G un sous espace vectoriel de E avec G 6= E. Montrer que G̊ = φ.
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Deuxième partie
II : Théorème de Baire :
On suppose dans cette partie que E est Banach. Soient (Un )n∈N une suite d’ouverts de E dense dans E et V un ouvert non
vide de E.
1:
1 - a: Montrer qu’il existe un ouvert (V0 ) non vide de E telle que V0 ⊂ U0 ∩ V .
1 - b: Montrer qu’il existe un ouvert (V1 ) non vide de E telle que V1 ⊂ U1 ∩ V0 et δ(V1 ) ≤ 1.
1 - c: Généralement, montrer qu’il existe une suite (Vn ) d’ouverts non vides de E telle que ∀n ≥ 1, Vn ⊂ Un ∩ Vn−1 et
δ(Vn ) ≤ 21n .
\
Un est dense dans E (Théorème de Baire).
2: En déduire que
n∈N
3: Soit (Fn )n∈N une suite de fermés de E d’intérieur vide de E. Montrer que
[
Fn est d’intérieur vide.
n∈N
4: En déduire que E ne peut pas être réunion dénombrable d’une suite de fermés d’intérieurs vides.
5: Montrer que R n’est pas dénombrable.
6: On suppose dans cette question que E est de dimension infinie. On veut montrer, par l’absurde, que E ne peut pas avoir une
base dénombrable. Supposons alors que E admet une base dénombrable B = (en )n∈N .
6 - a: Montrer que ∀n ∈ N, Fn = Vect{e1 , . . . , en } est fermé d’intérieur vide.
6 - b: Conclure.
6 - c: Montrer que K[X] n’est complet pour aucune norme.
Troisième partie
III : Théorème de l’application ouverte - Théorème d’isomorphisme de Banach Théorème du graphe fermé :
Dans cette question, on suppose que E et F sont des espaces de Banach.
1: Soit f ∈ Lc (E, F ) surjective.
1 - a: On pose ∀n ∈ N, Fn = f (BE (0, n)). Montrer que Fn + Fn ⊂ F2n .
1 - b: Montrer que ∃n ∈ N, ∃ε > 0 tels que BF (0, ε) ⊂ F2n .
1 - c: En déduire que ∃r > 0 tel que BF (0, r) ⊂ f (BE (0, 1)).
1 - d: En déduire que ∃r0 > 0 tel que BF (0, r0 ) ⊂ f (BE (0, 1)).
1 - e: Montrer que l’application f est ouverte (Théorème de l’application ouverte).
2: Soit u ∈ Lc (E, F ) bijective. Montrer que u−1 ∈ Isom(F, E) (Théorème d’isomorphisme de Banach).
3: Soit N1 et N2 deux norme sur E telles que (E, N1 ) et (E, N2 ) soient de Banach. Montrer que si N1 plus fine que N2 alors
N1 et N2 sont équivalentes.
4: Soit v ∈ L(E, F ).
4 - a: Montrer que si v est continue alors son graphe est fermé dans E × F .
4 - b: On suppose que le graphe de v est fermé dans E × F . Montrer que N : x 7→ kxkE + kv(x))kF est une norme sur E.
4 - c: Montrer que (E, N ) est un espace de Banach.
4 - d: Montrer que v est continue. Conclure (Théorème du graphe fermé).
Quatrième partie
IV : Théorème de Banach-Steinhaus :
Dans cette partie, E est supposé\
de Banach. Soit (fi )i∈I une suite d’éléments[
de Lc (E, F ).
1: Montrer que ∀n ∈ N, Fn =
{x ∈ E, kfi (x)k ≤ n} est un fermé et que
Fn = E.
i∈I
n∈N
2: On suppose que ∀x ∈ E, (fi (x))i∈I est borné.
2 - a: En déduire que ∃n ∈ N, ∃r > 0, ∃x0 ∈ E, B(x0 , r) ⊂ Fn .
2 - b: Montrer que ∀i ∈ I, ∀z ∈ E, kzk ≤ 1 ⇒ kfi (z)k ≤ 2n
r .
2 - c: En déduire que (fi )i∈I est bornée (Théorème de Banach-Steinhaus).
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3: On suppose que (fi )i∈I n’est pas borné.
\
3 - a: Montrer par l’absurde que ∀n ∈ N, Fn =
{x ∈ E, kfn (x)k ≤ n} est d’intérieur vide.
i∈I
3 - b: Montrer que {x ∈ E, (fi (x))i∈I n’est pas borné} est dense dans E.
Cinquième partie
V : Deux contre-exemples lorseque E n’est pas un Banach :
1:
1 - a: Montrer que ∀n ∈ N, fn (P ) = P (n) (0) est linéaire continue sur (R[X], kk∞ ) et calculer kfn k.
1 - b: Montrer que ∀P ∈ R[X] la suite (fn (P ))n∈N est bornée. Conclure.
2:
q
3: Soit la suite fn (x) = x2 + n1 de l’espace C 1 ([0, 1], R) muni de la norme kk∞ .
3 - a: Montrer que (fn ) est de Cauchy.
3 - b: Soit g : x 7→ |x|. Montrer que kfn − gk∞ → 0. En déduire que C 1 ([0, 1], R) n’est pas complet.
3 - c: Montrer que ∀n ∈ N∗ , un (f ) = n(f ( n1 ) − f (0)) est linéaire continue sur (C 1 ([0, 1], R), kk∞ ) et calculer kun k.
3 - d: Montrer que ∀f ∈ (C 1 ([0, 1], R) la suite (un (f ))n∈N∗ est bornée. Conclure.
Sixième partie
VI : Deux applications du théorème de Banach-Steinhaus :
Dans cette partie on suppose que E est un Banach.
1: Soit (un ) une suite d’éléments de Lc (E, F ) qui converge simplement vers u.
1 - a: Montrer que u est linéaire.
1 - b: Montrer que (un ) est bornée. En déduire que u est continue.
2: Soit B : E × F → G une application bilinéaire.
On pose : ∀y ∈ F, uy : x ∈ E 7→ B(x, y) et ∀x ∈ E, vx : y ∈ F 7→ B(x, y).
On suppose de plus que ∀x ∈ E, ∀y ∈ F uy et vx sont continues.
2 - a: Soit x ∈ E. Montrer que la famille (vx (y))kyk≤1 est bornée.
2 - b: En déduire ∃M ≥ 0, ∀x ∈ E, ∀y ∈ F tels que kxk ≤ 1 et kyk ≤ 1 on a kB(x, y)k ≤ M .
2 - c: Montrer que B est continue sur E × F .
∗ F in ∗
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