composition de mathématiques - Mathlaayoune

CPGE Lissane eddine Filière MP Laayoune
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Durée 4h
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
???
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
???
Définitions et notations
Dans tout le problème, K=Rou Cet E, F deux K-espace de normés de dimension ≥1.
Si A⊂E, on désigne par diamètre de Al’élément de ¯ R:δ(A) = sup
x,y∈A
kx−yk.
Si Gest un K-espace vectoriel, x∈Get r > 0, on désigne par BG(x, r)la boule de Gde centre xet de rayon r.
Lc(E, F )désigne l’ensemble des applications linéaires continues de Evers F. On rappelle que Lc(E, F )muni de la norme
subordonée 9 9 est un espace vectoriel normé et si de plus E=Falors Lc(E)est une algèbre normée.
Un espace vectoriel normé complet est dit de Banach.
Isom(E, F )désigne l’ensemble des isomorphismes de Lc(E, F ).
Si fest une application et n∈N,f(n)désigne la dérivée nime, lorsqu’elle existe, de f.
kfk∞= sup
x∈[0,1]
|f(x)|est une norme sur l’espace vectoriel C1([0,1],K).
Une application f:E→Fest dite ouverte si l’image directe de tout ouvert de Eest un ouvert de F.
Soit fnune suite d’applications de Evers F. On dit que fconverge simplement vers fsi ∀x∈E, fn(x)→f(x).
Ce problème comporte 6 parties :
Une première partie où l’on va démontrer démontrer des propriétés qui seront utiles dans la suite.
Le but de la deuxième partie est de démontrer le théorème de Baire : "Dans un Banach, toute intersection dénombrable d’ouverts
denses est dense".
Dans les autres parties on étudiera 4 théorèmes importants en analyse fonctionnelle ainsi que quelques applications.
Première partie
I : Préliminaire :
1: Soit x∈E, r ∈Ravec r > 0.
1-a: Montrer que B(x, r) = x+rB(0,1)
1-b: Soit f∈ L(E, F ). Montrer que f(B(x, r)) = f(x) + rf(B(0,1)).
2: Soit A⊂E. Montrer que Aest dense dans Essi pour tout ouvert non vide O⊂E, A ∩O6=φ.
3: On suppose que Eest Banach. Soit (An)nune suite décroissante de parties fermées non vides de Etelle que δ(An)→0.
Montrer que \
n∈N
An6=φ.
4: Soit f:E→Fcontinue et A⊂E. Montrer que f(¯ A)⊂f(A).
5: On suppose dans cette question que Fest Banach. Montrer que (Lc(E, F ),9 9)est un espace de Banach.
6: Soit Gun sous espace vectoriel de Eavec G6=E. Montrer que ˚ G=φ.
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Deuxième partie
II : Théorème de Baire :
On suppose dans cette partie que Eest Banach. Soient (Un)n∈Nune suite d’ouverts de Edense dans Eet Vun ouvert non
vide de E.
1:
1-a: Montrer qu’il existe un ouvert (V0)non vide de Etelle que V0⊂U0∩V.
1-b: Montrer qu’il existe un ouvert (V1)non vide de Etelle que V1⊂U1∩V0et δ(V1)≤1.
1 - c: Généralement, montrer qu’il existe une suite (Vn)d’ouverts non vides de Etelle que ∀n≥1, Vn⊂Un∩Vn−1et
δ(Vn)≤1
2n.
2: En déduire que \
n∈N
Unest dense dans E(Théorème de Baire).
3: Soit (Fn)n∈Nune suite de fermés de Ed’intérieur vide de E. Montrer que [
n∈N
Fnest d’intérieur vide.
4: En déduire que Ene peut pas être réunion dénombrable d’une suite de fermés d’intérieurs vides.
5: Montrer que Rn’est pas dénombrable.
6: On suppose dans cette question que Eest de dimension infinie. On veut montrer, par l’absurde, que Ene peut pas avoir une
base dénombrable. Supposons alors que Eadmet une base dénombrable B= (en)n∈N.
6-a: Montrer que ∀n∈N, Fn=Vect{e1, . . . , en}est fermé d’intérieur vide.
6-b: Conclure.
6-c: Montrer que K[X]n’est complet pour aucune norme.
Troisième partie
III : Théorème de l’application ouverte - Théorème d’isomorphisme de Banach -
Théorème du graphe fermé :
Dans cette question, on suppose que Eet Fsont des espaces de Banach.
1: Soit f∈ Lc(E, F )surjective.
1-a: On pose ∀n∈N, Fn=f(BE(0, n)). Montrer que Fn+Fn⊂F2n.
1-b: Montrer que ∃n∈N,∃ε > 0tels que BF(0, ε)⊂F2n.
1-c: En déduire que ∃r > 0tel que BF(0, r)⊂f(BE(0,1)).
1-d: En déduire que ∃r0>0tel que BF(0, r0)⊂f(BE(0,1)).
1-e: Montrer que l’application fest ouverte (Théorème de l’application ouverte).
2: Soit u∈ Lc(E, F )bijective. Montrer que u−1∈ Isom(F, E)(Théorème d’isomorphisme de Banach).
3: Soit N1et N2deux norme sur Etelles que (E, N1)et (E, N2)soient de Banach. Montrer que si N1plus fine que N2alors
N1et N2sont équivalentes.
4: Soit v∈ L(E, F ).
4-a: Montrer que si vest continue alors son graphe est fermé dans E×F.
4-b: On suppose que le graphe de vest fermé dans E×F. Montrer que N:x7→ kxkE+kv(x))kFest une norme sur E.
4-c: Montrer que (E, N)est un espace de Banach.
4-d: Montrer que vest continue. Conclure (Théorème du graphe fermé).
Quatrième partie
IV : Théorème de Banach-Steinhaus :
Dans cette partie, Eest supposé de Banach. Soit (fi)i∈Iune suite d’éléments de Lc(E, F ).
1: Montrer que ∀n∈N, Fn=\
i∈I
{x∈E, kfi(x)k ≤ n}est un fermé et que [
n∈N
Fn=E.
2: On suppose que ∀x∈E, (fi(x))i∈Iest borné.
2-a: En déduire que ∃n∈N,∃r > 0,∃x0∈E, B(x0, r)⊂Fn.
2-b: Montrer que ∀i∈I, ∀z∈E, kzk ≤ 1⇒ kfi(z)k ≤ 2n
r.
2-c: En déduire que (fi)i∈Iest bornée (Théorème de Banach-Steinhaus).
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3: On suppose que (fi)i∈In’est pas borné.
3-a: Montrer par l’absurde que ∀n∈N, Fn=\
i∈I
{x∈E, kfn(x)k ≤ n}est d’intérieur vide.
3-b: Montrer que {x∈E, (fi(x))i∈In’est pas borné}est dense dans E.
Cinquième partie
V : Deux contre-exemples lorseque En’est pas un Banach :
1:
1-a: Montrer que ∀n∈N, fn(P) = P(n)(0) est linéaire continue sur (R[X],kk∞)et calculer kfnk.
1-b: Montrer que ∀P∈R[X]la suite (fn(P))n∈Nest bornée. Conclure.
2:
3: Soit la suite fn(x) = qx2+1
nde l’espace C1([0,1],R)muni de la norme kk∞.
3-a: Montrer que (fn)est de Cauchy.
3-b: Soit g:x7→ |x|. Montrer que kfn−gk∞→0. En déduire que C1([0,1],R)n’est pas complet.
3-c: Montrer que ∀n∈N∗, un(f) = n(f(1
n)−f(0)) est linéaire continue sur (C1([0,1],R),kk∞)et calculer kunk.
3-d: Montrer que ∀f∈(C1([0,1],R)la suite (un(f))n∈N∗est bornée. Conclure.
Sixième partie
VI : Deux applications du théorème de Banach-Steinhaus :
Dans cette partie on suppose que Eest un Banach.
1: Soit (un)une suite d’éléments de Lc(E, F )qui converge simplement vers u.
1-a: Montrer que uest linéaire.
1-b: Montrer que (un)est bornée. En déduire que uest continue.
2: Soit B:E×F→Gune application bilinéaire.
On pose : ∀y∈F, uy:x∈E7→ B(x, y)et ∀x∈E, vx:y∈F7→ B(x, y).
On suppose de plus que ∀x∈E, ∀y∈F uyet vxsont continues.
2-a: Soit x∈E. Montrer que la famille (vx(y))kyk≤1est bornée.
2-b: En déduire ∃M≥0,∀x∈E, ∀y∈Ftels que kxk ≤ 1et kyk ≤ 1on a kB(x, y)k ≤ M.
2-c: Montrer que Best continue sur E×F.
∗F in ∗
∗
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