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Analyse fonctionnelle
TD no 11
Distributions
Séance du 6 mai 2016
Exercice 1. Échauffement
On pose f (x) = | sin(x)|, x ∈ R. Calculer f 00 au sens des distributions.
?
Exercice 2.
Quelques exemples de distributions
P
(i)
1. Montrer que u : φ 7→ ∞
i=1 φ (i) est une distribution sur R d’ordre infini.
1
2. Montrer que la fonction f (x) = e x2 appartient à D0 (R∗+ ), mais ne se prolonge pas à
D0 (R).
3. Montrer qu’une distribution positive u ∈ D0 (Ω) (i.e. telle que pour tout φ ∈ Cc∞ (Ω)
positive, hu, φi ≥ 0) est une mesure.
?
Exercice 3. Distributions dont le support est un point
Soit u ∈ D0 (Rn ) tel que supp u = {0}. Soit ψ ∈ Cc∞ (Rn ) positive, telle que ψ = 1 sur un
voisinage de B(0, 1) et supp ψ ∈ B(0, 2). On pose ψr (x) := ψ(x/r) pour r > 0 et x ∈ Rn .
1. Rappeler pourquoi u est d’ordre fini, que l’on notera m ∈ N.
2. Montrer que ∀r > 0, ψr u = u.
3. Soit ϕ ∈ Cc∞ (Rn ), telle que pour tout multi-indice α ∈ Nn tel que |α| ≤ m, on ait
(Dα ϕ)(0) = 0. Montrer que kψr ϕkC m → 0 quand r → 0.
Indication : On pourra montrer que pour tout ε > 0, il existe un voisinage K de 0, tel que
pour tout x ∈ K, et tout multi-indice β tel que |β| ≤ m, |(Dβ ϕ)(0)| ≤ ε(n|x|)m−|β| .
4. En déduire que hu, ϕi = 0.
5. Montrer qu’il existe a0 , . . . , am ∈ C tels que u =
(k)
k=0 ak δ0 .
Pm
?
Exercice 4. Valeur principale de 1/x
On définit la valeur principale de 1/x, notée vp( x1 ), de la manière suivante :
∀φ ∈
Cc∞ (R),
vp( x1 ), φ
Z
−ε
= lim
ε→0
−∞
φ(x)
dx +
x
Z
ε
∞
φ(x)
dx .
x
1. Grâce à un développement de Taylor, montrer que la limite existe, et que la formule
définit bien une distribution. Quel est son ordre ?
2. Montrer que x · vp( x1 ) = 1.
3. Soit u ∈ D0 (R) telle que xu = 1. Montrer qu’il existe c ∈ R tel que u = vp( x1 ) + cδ0 .
Joseph Thirouin
1
DMA 2015/2016
4. Montrer que |x|α−2 x → vp( x1 ) dans D0 (R) quand α & 0.
?
Exercice 5. Support et ordre
Soit u l’application linéaire définie, pour φ ∈ Cc∞ (R), par :
!
n
X
1
0
− nφ(0) − log(n)φ (0) .
u(φ) = lim
φ
n→∞
i
i=1
1. Montrer que u(φ) est bien définie, et que u est une distribution d’ordre au plus 2.
2. Quel est le support S de u ?
1
3. On considère une suite d’élément φk de Cc∞ (R) satisfaisant (i) supp(φk ) ⊆ ] k+1
, 2[,
1
1
√
√
(ii) 0 ≤ φk ≤ k , (iii) φk |[ 1 ,1] = k . Soit p ∈ N. À l’aide des φk , montrer qu’on ne peut
k
obtenir aucune majoration du type
|u(φ)| ≤ C
p
X
sup |φ(i) (x)|.
i=0 x∈S
4. Quel est l’ordre de u ?
Rx Ry
Indication : On pourra considérer des fonctions du type ψk (x) := ψ(x) 0 ( 0 φ(kt)dt)dy,
où φ ∈ Cc∞ (]0, 1[) d’intégrale 1, et ψ ∈ Cc∞ (] − 1, 2[) est telle que ψ(x) = 1 pour x ∈ [0, 1].
?
Exercice 6. D0 et Banach-Steinhaus
1. Montrer la version suivante du théorème de Banach-Steinhaus :
Théorème. Soient X et Y deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés, et {Ti }i∈I une famille d’opérateurs linéaires continus de X dans Y . On définit
B = {x ∈ X | {Ti (x), i ∈ I} est borné dans Y }.
Si B est non maigre dans E ( i.e. non inclus dans une réunion dénombrable de fermés
d’intérieur vide), alors B = X et {Ti }i∈I est équicontinue, au sens où pour tout voisinage
W de 0 dans Y , il existe V voisinage de 0 dans X tel que ∀i ∈ I, Ti (V ) ⊂ W .
2.* Soit X un espace vectoriel topologique localement convexe, et A ⊆ X. Montrer que
A est borné si et seulement si pour tout ` ∈ X 0 , `(A) ⊂ C est borné.
Indication : On pourra d’abord traiter le cas où X est un espace vectoriel normé.
3. Soit Ω un ouvert de Rk . Montrer qu’un ensemble A ⊆ Cc∞ (Ω) est borné si et seulement
si :
∀T ∈ D0 (Ω), sup T (φ) < +∞.
φ∈A
Cc∞ (Ω)
4. Soit (φn )n une suite de
telle que pour tout T ∈ D0 (Ω), (T (φn ))n est une
suite numérique bornée. Montrer qu’il existe une sous-suite de (φn )n qui converge pour la
topologie de Cc∞ (Ω).
5. Soit (Tn )n une suite de D0 (Ω) telle que pour tout φ ∈ Cc∞ (Ω), (Tn (φ))n est une
suite numérique bornée. Montrer qu’il existe une sous suite de (Tn )n qui converge pour la
topologie de D0 (Ω), et que la convergence est uniforme sur tout sous-ensemble borné de
Cc∞ (Ω).
?
Joseph Thirouin
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DMA 2015/2016