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Analyse fonctionnelle
TD no11
Distributions
Séance du 6 mai 2016
Exercice 1. Échauffement
On pose f(x) = |sin(x)|,x∈R. Calculer f00 au sens des distributions.
?
Exercice 2. Quelques exemples de distributions
1. Montrer que u:φ7→ P∞
i=1 φ(i)(i)est une distribution sur Rd’ordre infini.
2. Montrer que la fonction f(x) = e
1
x2appartient à D0(R∗
+), mais ne se prolonge pas à
D0(R).
3. Montrer qu’une distribution positive u∈ D0(Ω) (i.e. telle que pour tout φ∈C∞
c(Ω)
positive, hu, φi ≥ 0) est une mesure.
?
Exercice 3. Distributions dont le support est un point
Soit u∈ D0(Rn)tel que supp u={0}. Soit ψ∈ C∞
c(Rn)positive, telle que ψ=sur un
voisinage de B(0,1) et supp ψ∈B(0,2). On pose ψr(x) := ψ(x/r)pour r > 0et x∈Rn.
1. Rappeler pourquoi uest d’ordre fini, que l’on notera m∈N.
2. Montrer que ∀r > 0,ψru=u.
3. Soit ϕ∈ C∞
c(Rn), telle que pour tout multi-indice α∈Nntel que |α| ≤ m, on ait
(Dαϕ)(0) = 0. Montrer que kψrϕkCm→0quand r→0.
Indication : On pourra montrer que pour tout ε > 0, il existe un voisinage Kde 0, tel que
pour tout x∈K, et tout multi-indice βtel que |β| ≤ m,|(Dβϕ)(0)| ≤ ε(n|x|)m−|β|.
4. En déduire que hu, ϕi= 0.
5. Montrer qu’il existe a0, . . . , am∈Ctels que u=Pm
k=0 akδ(k)
0.
?
Exercice 4. Valeur principale de 1/x
On définit la valeur principale de 1/x, notée vp( 1
x), de la manière suivante :
∀φ∈ C∞
c(R),vp( 1
x), φ= lim
ε→0Z−ε
−∞
φ(x)
xdx +Z∞
ε
φ(x)
xdx.
1. Grâce à un développement de Taylor, montrer que la limite existe, et que la formule
définit bien une distribution. Quel est son ordre ?
2. Montrer que x·vp( 1
x) = .
3. Soit u∈ D0(R)telle que xu =. Montrer qu’il existe c∈Rtel que u= vp( 1
x) + cδ0.
Joseph Thirouin 1 DMA 2015/2016

4. Montrer que |x|α−2x→vp( 1
x)dans D0(R)quand α&0.
?
Exercice 5. Support et ordre
Soit ul’application linéaire définie, pour φ∈ C∞
c(R), par :
u(φ) = lim
n→∞ n
X
i=1
φ1
i−nφ(0) −log(n)φ0(0)!.
1. Montrer que u(φ)est bien définie, et que uest une distribution d’ordre au plus 2.
2. Quel est le support Sde u?
3. On considère une suite d’élément φkde C∞
c(R)satisfaisant (i) supp(φk)⊆]1
k+1 ,2[,
(ii) 0≤φk≤1
√k, (iii) φk|[1
k,1] =1
√k. Soit p∈N. À l’aide des φk, montrer qu’on ne peut
obtenir aucune majoration du type
|u(φ)| ≤ C
p
X
i=0
sup
x∈S
|φ(i)(x)|.
4. Quel est l’ordre de u?
Indication : On pourra considérer des fonctions du type ψk(x) := ψ(x)Rx
0(Ry 0φ(kt)dt)dy,
où φ∈ C∞
c(]0,1[) d’intégrale 1, et ψ∈ C∞ c(] −1,2[) est telle que ψ(x) = 1 pour x∈[0,1].
?
Exercice 6. D0et Banach-Steinhaus
1. Montrer la version suivante du théorème de Banach-Steinhaus :
Théorème. Soient Xet Ydeux espaces vectoriels topologiques localement convexes sépa-
rés, et {Ti}i∈Iune famille d’opérateurs linéaires continus de Xdans Y. On définit
B={x∈X| {Ti(x), i ∈I}est borné dans Y}.
Si Best non maigre dans E(i.e. non inclus dans une réunion dénombrable de fermés
d’intérieur vide), alors B=Xet {Ti}i∈Iest équicontinue, au sens où pour tout voisinage
Wde 0dans Y, il existe Vvoisinage de 0dans Xtel que ∀i∈I,Ti(V)⊂W.
2.* Soit Xun espace vectoriel topologique localement convexe, et A⊆X. Montrer que
Aest borné si et seulement si pour tout `∈X0,`(A)⊂Cest borné.
Indication : On pourra d’abord traiter le cas où Xest un espace vectoriel normé.
3. Soit Ωun ouvert de Rk. Montrer qu’un ensemble A⊆ C∞
c(Ω) est borné si et seulement
si :
∀T∈ D0(Ω),sup
φ∈A
T(φ)<+∞.
4. Soit (φn)nune suite de C∞
c(Ω) telle que pour tout T∈ D0(Ω),(T(φn))nest une
suite numérique bornée. Montrer qu’il existe une sous-suite de (φn)nqui converge pour la
topologie de C∞
c(Ω).
5. Soit (Tn)nune suite de D0(Ω) telle que pour tout φ∈ C∞
c(Ω),(Tn(φ))nest une
suite numérique bornée. Montrer qu’il existe une sous suite de (Tn)nqui converge pour la
topologie de D0(Ω), et que la convergence est uniforme sur tout sous-ensemble borné de
C∞
c(Ω).
?
Joseph Thirouin 2 DMA 2015/2016