Exercice 1 Pour tout (x,y) ∈ R 2, on pose : N(x,y

Centre Salmane Al Farissi Série no 4 : 2016/2017
CPGE , Salé Espace vectoriels normés 1er trimestre
MP2 jeudi 27-10-2016
Exercice 1
Pour tout (x, y)∈R2, on pose : N(x, y) = max(|x|,|y|,|x−y|).
1. Prouver que Nest une norme.
2. tracer la sphère unité associée à N.
Exercice 2
Soient a1, . . . , andes réels et N:Kn→Rl’application définie par
N(x1, . . . , xn) = a1|x1|+· · · +an|xn|
A quelle condition sur les a1, . . . , an, l’application Ndéfinit-elle une norme sur Kn?
Exercice 3
1. Déterminer toutes les normes de R
2. Soient Eet Fdeux espaces vectoriels sur Ket k.kune norme sur F. Soit ϕ∈ L(E, F )
et pour tout x∈E, on pose kxkϕ=kϕ(x)k.
(a) Montrer que k.kϕest une semi–norme sur E
(b) Prouver que k.kϕest une norme sur Esi et seulement si ϕest injective.
(c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a, b, c, d)∈R4pour que :
N(x, y ) = p(ax +cy)2+ (bx +dy)2
définisse une norme sur R2
(d) Pour tout (x, y )∈R2, on pose : N(x, y ) = sup(|x+y|,|x−y|)
i. Prouver que Ncomme application de R2vers R+est une norme sur R2.
ii. Tracer sa boule fermée unité.
iii. Que remarquez vous ?
Exercice 4
Soient f1, . . . , fn: [0,1] →Rcontinues.
A quelle condition l’application
N: (x1, . . . , xn)7→ kx1f1+· · · +xnfnk∞
définit-elle une norme sur Rn?
Exercice 5
Soit E=C1([0,1],R)l’espace vectoriel réel des applications réelle de classes C1sur [0,1]
et pour tout f∈E, on pose : N1(f) = |f(0)|+Z1
0
|f0(t)|dt et N2(f) = Z1
0
f(t)dt +
Z1
0
|f0(t)|dt
1. Montrer que N1et N2sont deux normes sur E
2. Montrer que N1et N2sont équivalentes
1

Exercice 6
Pour x= (x1, . . . , xn)∈Knet p>1on pose : kxkp= n
X
i=1
|xi|p!1/p
Montrer que pour tout x∈Kn, on a : kxk∞= lim
p→+∞kxkp
Exercice 7
Soient pet qdes nombres réels strictement positifs tel que 1
p+1 q= 1 et nun entier naturel
non nul.
1. Prouver que pour tout (x, y )∈R2
+on a : xy ≤xp
p+yq q
2. En déduire que pour tout (x1, ..., xn)et (y1, ..., yn)de Rn, on a :
n
X
k=1
xkyk ≤ n
X
k=1
|xk|p!1
p n
X
k=1
|xk|q!1
q
3. Prouver que Npdéfinie sur Rnpar Np(x1, ..., xn) = n
X
k=1
|xk|p!1
p
est une norme sur Rn
Exercice 8
nest un nombre entier naturel non nul.Soient Ekpour k∈ {1, ..., n}des evn munis de normes
respectives k.kk.
On définit sur l’evn E=
n
Y
k=1
Ekles applications N1, N2, N∞par :
Pour tout x= (xk)1≤k≤n∈E,
N1(x) =
n
X
k=1
kxkkk, N2(x) = n
X
k=1
kxkk2
k!1
2
, N∞(x) = sup
1≤k≤n
kxkkk.
1. Prouver que N1, N2et N∞sont des normes que E
2. Prouver que ces normes sont équivalentes.
Exercice 9
Soient N1, N2deux normes sur un R-espace vectoriel E.
a) On note B1={x∈E/N1(x)61}et B2={x∈E/N2(x)61}.
Montrer
B1=B2⇒N1=N2
b) Même question avec les boules unités ouvertes.
Exercice 10
Soit Eun evn de norme notée k.k. On note respectivement Bet B0les boules unité ouvertes
et fermées de Eet Sla sphère unité. Démontrer ce qui suit :
1. Best un ouvert
2. B=B0
2

3. B0est un fermé d’intérieur B
4. Bet B0sont convexes
5. Fr(B) = Fr(B0) = S
Exercice 11
Soit (E, k.k)un espace vectoriel normé. Pour tout (a, r)∈E×R∗
+, on note Ba,r la boule
ouverte de centre aet de rayon r.
1. Montrer que pour tout a, a0∈Eet r, r0∈R∗
+, on a : Ba,r =Ba0,r 0⇔a=a0et r=r0
2. Montrer que pour tout a, a0∈Eet r, r 0∈R∗
+, il existe une application bijective fde E
vers Etel que fet f−1sont continues sur Eet f(Ba,r ) = B0
a,r .
Exercice 12
Soit Eun Kespace vectoriel.
1. Prouver que si N1et N2sont deux normes sur Ealors N1+N2en est une .
2. Montrer que si Nest une norme sur Eet si λest un nombre réel strictement positif
alors λN est une norme sur E
3. Généraliser la question 1) pour plus de deux normes
4. Retrouver le résultat de la question 3) en utilisant le résultat sur les espaces vectoriels
normés produits.
5. Tracer la sphère unité de R2muni de la norme N=k.k1+k.k∞
Exercice 13
Soit E=C([a, b],K)le K−espace vectoriel des applications continues de [a, b]vers Ket
νune norme de E. Soit ϕ∈Eet on considère l’application Nϕ:E→R+définie par :
∀f∈E, Nϕ(f) = ν(f ϕ)
1. Montrer que Nϕest une semi-norme de E
2. Montrer que Nϕest une norme sur Esi et seulement si Int(Zϕ)6=∅où
Zϕ={t∈[a, b]/ϕ(t)=0}
Exercice 14
Soit E=CM([0,1],R)le R−espace vectoriel des applications réelles continues par morceaux
sur le segment [0,1]. Pour tout f∈E, on pose : N(f) = sup
x∈[0,1]
|f(x)|et n(f) = Z1
0
|f(t)|dt.
1. Montrer que Nest une norme sur Eet que nest une semi-norme qui n’est pas une
nome sur E.
2. Montrer que nrestreinte à F=C([0,1],R), le R−espace vectoriel des applications
continues de [0,1] vers Rest une norme.
Exercice 15
Soit E=C([0,1],R)(fonctions continues), muni de la norme k.k∞.
1. Prouver que A={f∈E/∀x∈[0,1] f(x)6= 0}est un ouvert de l’evn (E, k.k∞).
2. Determiner l’adhérence de A
3

3. Soit B={f∈E/f (0) = 0}. montrer que Best un fermé de (E, k.k∞). Quelles est
l’intérieur de B?
4. Même question pour l’ensemble D={f∈E/f (0) = f(1) = 0}
Exercice 16
Soit Eun evn dont la norme est notée k.k.
1. Soient (u, v)∈E2tel que : ku+vk=kuk+kvk. Prouver que :
(∀(α, β)∈R2
+)kαu +βv k=αkuk+βkvk
2. Montrer que :
∀(x, y , z, t)∈E4kx−yk+kz−tk ≤ kx−zk+ky−tk+kx−tk+ky−zk
N.B. les deux question sont indépendantes.
Exercice 17
Soit Eun espace vectoriel normé dont la norme est notée k.k. Soient Aet Bdeux parties
fermées de Etel que d(A, B)>0. On considère l’application fde Evers Kdéfinie par :
(∀x∈E)f(x) = d(x, A)
d(x, A) + d(x, B)
Prouver que fvérifie les conditions suivantes :
1. (∀x∈A)f(x)=0
2. (∀x∈B)f(x)=1
3. (∀x∈E) 0 ≤f(x)≤1
4. ∀(x, y )∈E2|f(x)−f(y)| ≤ kx−yk
d(A, B)
Exercice 18
Soit E=C([−1,1],R)l’espace vectoriel réel des fonctions continues de [−1,1] vers R, muni
de la norme de la convergence uniforme k.k∞. On désigne par Fle sous-espace vectoriel de
Eformé des fonctions impaires dont l’intégrale sur [0,1] est nulle. Soit gl’élément de Etel
que g(x) = xpour tout x∈[−1,1].
1. Montrer que Fest un fermé de E
2. Montrer que d(g, F ) = 1
2
3. Montrer que : ∀h∈Fkg−hk∞>1
2
Exercice 19
1. On note `1(N,K)l’ensemble des suites u= (un)∈KNsommable i.e.
`1(N,K) = nu∈KN/X|un|<+∞o
Montrer que `1(N,K)est un K-espace vectoriel et que l’application donnée par
kuk1=
+∞
X
n=0
|un|
y définit une norme
4

2. On note `2(N,K)l’ensemble des suites u= (un)∈KNde carré sommable i.e.
`2(N,K) = nu∈KN/X|un|2<+∞o
Montrer que `2(N,K)est un K-espace vectoriel et que l’application donnée par
kuk2= +∞
X
n=0
|un|2!1/2
y définit une norme.
Exercice 20
Soit Eun R−espace vectoriel normé.
1. Prouver que l’adhérence de tout sous-espace vectoriel de Eest un sous-espace vectoriel
de E.
2. En déduire que tout hyperplan de Eest soit fermé soit dense dans E.
3. Soit fune forme linéaire sur E. Montrer que fest continue si et seulement si ker fest
un fermé de E.
4. Montrer que si Best une boule ouverte de Ede rayon strictement positif alors on a :
Vect(B) = E
5. En déduire que si Fest un sous-espace vectoriel propre non nul de Ealors Fest
d’intérieur vide.
Exercice 21
Soit Eun espace vectoriel normé et f:E→Edéfinie par
∀x∈E f (x) = 1
sup(1,kxk)x
Démontrer que fest 2−lipschitzienne.
Exercice 22
Soit E=C([0,1],R)l’espace vectoriel réel normé des fonctions continues sur [0,1] à valeurs
dans Rmuni de la norme de convergence uniforme k.k∞. Pour tout nombre réel strictement
positif k, on note Fkla partie de Econstituée des fonction k−lipschitziennes et soit F=[
k>0
Fk
la partie de Econstituée de toutes les fonctions lipshitziennes.
1. Montrer que Fkest un fermé de E
2. Montrer que Fest d’intérieur vide.
Exercice 23
Soit Eun evn et Aune partie non vide de A. On appelle enveloppe convexe de Aet on note
Conv(A), l’ensemble :
Conv(A) = (n
X
i=1
αixi/n ∈N∗,(α1, ..., αn)∈(R+)n,
n
X
i=1
αi= 1)
1. Prouver que Conv(A)est convexe
5