Exercice 1 Pour tout (x,y) ∈ R 2, on pose : N(x,y

Centre Salmane Al Farissi
CPGE , Salé
MP2
Série no 4 :
Espace vectoriels normés
2016/2017
1er trimestre
jeudi 27-10-2016
Exercice 1
Pour tout (x, y ) ∈ R2 , on pose : N(x, y ) = max(|x|, |y |, |x − y |).
1. Prouver que N est une norme.
2. tracer la sphère unité associée à N.
Exercice 2
Soient a1 , . . . , an des réels et N : Kn → R l’application définie par
N(x1 , . . . , xn ) = a1 |x1 | + · · · + an |xn |
A quelle condition sur les a1 , . . . , an , l’application N définit-elle une norme sur Kn ?
Exercice 3
1. Déterminer toutes les normes de R
2. Soient E et F deux espaces vectoriels sur K et k.k une norme sur F . Soit ϕ ∈ L(E, F )
et pour tout x ∈ E, on pose kxkϕ = kϕ(x)k.
(a) Montrer que k.kϕ est une semi–norme sur E
(b) Prouver que k.kϕ est une norme sur E si et seulement si ϕ est injective.
(c) Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a, b, c, d) ∈ R4 pour que :
p
N(x, y ) = (ax + cy )2 + (bx + dy )2
définisse une norme sur R2
(d) Pour tout (x, y ) ∈ R2 , on pose : N(x, y ) = sup(|x + y |, |x − y |)
i. Prouver que N comme application de R2 vers R+ est une norme sur R2 .
ii. Tracer sa boule fermée unité.
iii. Que remarquez vous ?
Exercice 4
Soient f1 , . . . , fn : [0, 1] → R continues.
A quelle condition l’application
N : (x1 , . . . , xn ) 7→ kx1 f1 + · · · + xn fn k∞
définit-elle une norme sur Rn ?
Exercice 5
Soit E = C 1 ([0, 1], R) l’espace vectoriel réel des applications
réelle de classesZC 1 sur [0, 1]
Z 1
1
et pour tout f ∈ E, on pose : N1 (f ) = |f (0)| +
|f 0 (t)|dt et N2 (f ) = f (t)dt +
0
0
Z 1
|f 0 (t)|dt
0
1. Montrer que N1 et N2 sont deux normes sur E
2. Montrer que N1 et N2 sont équivalentes
1
Exercice 6
Pour x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn et p > 1 on pose : kxkp =
n
X
Montrer que pour tout x ∈ Kn , on a : kxk∞ = lim kxkp
!1/p
p
|xi |
i=1
p→+∞
Exercice 7
1 1
Soient p et q des nombres réels strictement positifs tel que + = 1 et n un entier naturel
p q
non nul.
xp yq
1. Prouver que pour tout (x, y ) ∈ R2+ on a : xy ≤
+
p
q
2. En déduire que pour tout (x1 , ..., xn ) et (y1 , ..., yn ) de Rn , on a :
n
X
x
y
k k ≤
k=1
n
X
! p1
|xk |p
k=1
n
X
! q1
|xk |q
k=1
3. Prouver que Np définie sur Rn par Np (x1 , ..., xn ) =
n
X
! p1
|xk |p
est une norme sur Rn
k=1
Exercice 8
n est un nombre entier naturel non nul.Soient Ek pour k ∈ {1, ..., n} des evn munis de normes
respectives k.kk .
n
Y
Ek les applications N1 , N2 , N∞ par :
On définit sur l’evn E =
k=1
Pour tout x = (xk )1≤k≤n ∈ E,
N1 (x) =
n
X
k=1
kxk kk , N2 (x) =
n
X
! 21
kxk k2k
, N∞ (x) = sup kxk kk .
k=1
1≤k≤n
1. Prouver que N1 , N2 et N∞ sont des normes que E
2. Prouver que ces normes sont équivalentes.
Exercice 9
Soient N1 , N2 deux normes sur un R-espace vectoriel E.
a) On note B1 = {x ∈ E/N1 (x) 6 1} et B2 = {x ∈ E/N2 (x) 6 1}.
Montrer
B1 = B2 ⇒ N1 = N2
b) Même question avec les boules unités ouvertes.
Exercice 10
Soit E un evn de norme notée k.k. On note respectivement B et B 0 les boules unité ouvertes
et fermées de E et S la sphère unité. Démontrer ce qui suit :
1. B est un ouvert
2. B = B 0
2
3. B 0 est un fermé d’intérieur B
4. B et B 0 sont convexes
5. Fr(B) = Fr(B 0 ) = S
Exercice 11
Soit (E, k.k) un espace vectoriel normé. Pour tout (a, r ) ∈ E × R∗+ , on note Ba,r la boule
ouverte de centre a et de rayon r .
1. Montrer que pour tout a, a0 ∈ E et r, r 0 ∈ R∗+ , on a : Ba,r = Ba0 ,r 0 ⇔ a = a0
et
r = r0
2. Montrer que pour tout a, a0 ∈ E et r, r 0 ∈ R∗+ , il existe une application bijective f de E
0
vers E tel que f et f −1 sont continues sur E et f (Ba,r ) = Ba,r
.
Exercice 12
Soit E un K espace vectoriel.
1. Prouver que si N1 et N2 sont deux normes sur E alors N1 + N2 en est une .
2. Montrer que si N est une norme sur E et si λ est un nombre réel strictement positif
alors λN est une norme sur E
3. Généraliser la question 1) pour plus de deux normes
4. Retrouver le résultat de la question 3) en utilisant le résultat sur les espaces vectoriels
normés produits.
5. Tracer la sphère unité de R2 muni de la norme N = k.k1 + k.k∞
Exercice 13
Soit E = C ([a, b], K) le K−espace vectoriel des applications continues de [a, b] vers K et
ν une norme de E. Soit ϕ ∈ E et on considère l’application Nϕ : E → R+ définie par :
∀f ∈ E, Nϕ (f ) = ν(f ϕ)
1. Montrer que Nϕ est une semi-norme de E
2. Montrer que Nϕ est une norme sur E si et seulement si Int(Zϕ ) 6= ∅ où
Zϕ = {t ∈ [a, b]/ϕ(t) = 0}
Exercice 14
Soit E = CM([0, 1], R) le R− espace vectoriel des applications réelles continues par
Z morceaux
1
sur le segment [0, 1]. Pour tout f ∈ E, on pose : N(f ) = sup |f (x)| et n(f ) =
x∈[0,1]
|f (t)|dt.
0
1. Montrer que N est une norme sur E et que n est une semi-norme qui n’est pas une
nome sur E.
2. Montrer que n restreinte à F = C ([0, 1], R), le R− espace vectoriel des applications
continues de [0, 1] vers R est une norme.
Exercice 15
Soit E = C ([0, 1], R) (fonctions continues), muni de la norme k.k∞ .
1. Prouver que A = {f ∈ E/∀x ∈ [0, 1]
f (x) 6= 0} est un ouvert de l’evn (E, k.k∞ ).
2. Determiner l’adhérence de A
3
3. Soit B = {f ∈ E/f (0) = 0}. montrer que B est un fermé de (E, k.k∞ ). Quelles est
l’intérieur de B ?
4. Même question pour l’ensemble D = {f ∈ E/f (0) = f (1) = 0}
Exercice 16
Soit E un evn dont la norme est notée k.k.
1. Soient (u, v ) ∈ E 2 tel que : ku + v k = kuk + kv k. Prouver que :
(∀(α, β) ∈ R2+ )
kαu + βv k = αkuk + βkv k
2. Montrer que :
∀(x, y , z, t) ∈ E 4
kx − y k + kz − tk ≤ kx − zk + ky − tk + kx − tk + ky − zk
N.B. les deux question sont indépendantes.
Exercice 17
Soit E un espace vectoriel normé dont la norme est notée k.k. Soient A et B deux parties
fermées de E tel que d(A, B) > 0. On considère l’application f de E vers K définie par :
(∀x ∈ E)
f (x) =
d(x, A)
d(x, A) + d(x, B)
Prouver que f vérifie les conditions suivantes :
1. (∀x ∈ A)
f (x) = 0
2. (∀x ∈ B)
f (x) = 1
3. (∀x ∈ E)
0 ≤ f (x) ≤ 1
4. ∀(x, y ) ∈ E 2
|f (x) − f (y )| ≤
kx − y k
d(A, B)
Exercice 18
Soit E = C ([−1, 1], R) l’espace vectoriel réel des fonctions continues de [−1, 1] vers R, muni
de la norme de la convergence uniforme k.k∞ . On désigne par F le sous-espace vectoriel de
E formé des fonctions impaires dont l’intégrale sur [0, 1] est nulle. Soit g l’élément de E tel
que g(x) = x pour tout x ∈ [−1, 1].
1. Montrer que F est un fermé de E
1
2. Montrer que d(g, F ) =
2
3. Montrer que : ∀h ∈ F
kg − hk∞ >
1
2
Exercice 19
1. On note `1 (N, K) l’ensemble des suites u = (un ) ∈ KN sommable i.e.
n
o
X
`1 (N, K) = u ∈ KN /
|un | < +∞
Montrer que `1 (N, K) est un K-espace vectoriel et que l’application donnée par
kuk1 =
+∞
X
n=0
y définit une norme
4
|un |
2. On note `2 (N, K) l’ensemble des suites u = (un ) ∈ KN de carré sommable i.e.
n
o
X
`2 (N, K) = u ∈ KN /
|un |2 < +∞
Montrer que `2 (N, K) est un K-espace vectoriel et que l’application donnée par
+∞
X
kuk2 =
!1/2
2
|un |
n=0
y définit une norme.
Exercice 20
Soit E un R−espace vectoriel normé.
1. Prouver que l’adhérence de tout sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel
de E.
2. En déduire que tout hyperplan de E est soit fermé soit dense dans E.
3. Soit f une forme linéaire sur E. Montrer que f est continue si et seulement si ker f est
un fermé de E.
4. Montrer que si B est une boule ouverte de E de rayon strictement positif alors on a :
Vect(B) = E
5. En déduire que si F est un sous-espace vectoriel propre non nul de E alors F est
d’intérieur vide.
Exercice 21
Soit E un espace vectoriel normé et f : E → E définie par
∀x ∈ E
f (x) =
1
x
sup(1, kxk)
Démontrer que f est 2−lipschitzienne.
Exercice 22
Soit E = C ([0, 1], R) l’espace vectoriel réel normé des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs
dans R muni de la norme de convergence uniforme k.k∞ . Pour tout nombre réel strictement
[
positif k, on note Fk la partie de E constituée des fonction k−lipschitziennes et soit F =
Fk
k>0
la partie de E constituée de toutes les fonctions lipshitziennes.
1. Montrer que Fk est un fermé de E
2. Montrer que F est d’intérieur vide.
Exercice 23
Soit E un evn et A une partie non vide de A. On appelle enveloppe convexe de A et on note
Conv(A), l’ensemble :
( n
)
n
X
X
Conv(A) =
αi xi /n ∈ N∗ , (α1 , ..., αn ) ∈ (R+ )n ,
αi = 1
i=1
i=1
1. Prouver que Conv(A) est convexe
5
2. Prouver que A est convexe si et seulement si Conv(A) = A
3. Prouver que Conv(A) est le plus petit convexe contenant A
4. Determiner Conv(A)
(a) si A est une paire
(b) si A comprends trois vecteurs u, v , w tel que v − u et w − u ne sont pas colinéaires.
5. Prouver le théorème suivant (dit de Luccas) : Si P ∈ C[X] est un polynôme de degré
≥ 2 alors les racines du polynôme dérivé P 0 appartiennent à l’enveloppe convexe des
racines de P .
Exercice 24
Soit E un evn
1. Montrer que si U et V deux ouverts disjoints de E alors intérieurs de U et V sont
disjoints.
2. Montrer que si K est un compact de E et F un fermé de E alors F +K = {x +y /(x, y ) ∈
F × K} est un fermé de E.
Exercice 25
Soit E un evn et A une partie ouverte de E
1. Montrer que pour toute partie B de E, on a : A ∩ B ⊂ A ∩ B
2. En déduire que :
(a) A ∩ B = ∅ ⇒ A ∩ B = ∅
(b) Si B est dense dans E alors : A ∩ B = A
(c) Si A et B sont denses dans E, il en est de même de A ∩ B
3. Donner un exemple d’evn E ayant deux parties X et Y denses tel que X ∩ Y n’est pas
dense.
Exercice 26
Soit
E = f ∈ C 2 ([0, π] , R)/f (0) = f 0 (0) = 0
a) Montrer que
N : f 7→ kf + f 00 k∞
est une norme sur E.
b) Montrer que N est équivalente à
ν : f 7→ kf k∞ + kf 00 k∞
Exercice 27
1. Soit E = Rn [X]. Pour tout P =
n
X
ak X k ∈ E, on pose :
k=0
kP k = sup |
t∈[0,1]
Démontrer que c’est une norme.
6
n
X
k=0
ak t k (1 − t)|
2. (Question réservée aux 5/2).
Même question si E est l’ensemble des suites réelles bornée et si u = (un ) ∈ E on pose :
kuk = sup |
t∈[0,1]
+∞
X
an t n (1 − t)|
n=0
Exercice 28
X
Soit E = R[X] muni de la norme kP k = max pour tout P =
ak X k . Pour tout n ∈ N∗ , on
k∈N
k∈N
1
1
pose : Pn = 1 + X + · · · + X n . Montrer que la suite (Pn ) est une suite de Cauchy divergente
2
n
de E.
Exercice 29
Soit B ∈ Mn (R) une matrice antisymétrique tel que la suite (B k ) converge vers une matrice
C. Que peut-on dire de C ?
Exercice 30
Soit (An ) une suite de matrices de Mp (R) tel que :

 lim An = A ∈ Mp (R)
∀n ∈ N, An ∈ GLn (R)

lim A−1
n = B ∈ Mp (R)
1. Montrer que A est inversible et A−1 = B.
2. Peut on retire la troisième condition ci-dessus ?
Exercice 31
Soient K une partie compacte non vide d’un espace vectoriel normé E et x ∈ E.
Montrer qu’il existe y ∈ K tel que
d(x, K) = ky − xk
Exercice 32
Soient E et F deux espaces normés, A une partie fermée de E et B une partie compacte de
F.
Soit f : A → B une application vérifiant :
- f −1 ({y }) est compact pour tout y ∈ B ;
- l’image de tout fermé de A est un fermé de B.
Montrer que A est compact.
Exercice 33
Soient K et L deux compacts disjoints d’un K-espace vectoriel.
Montrer que d(K, L) > 0.
Exercice 34
Soit K une partie compacte d’un espace vectoriel normé E.
Montrer que si une suite (un ) d’éléments de K n’a qu’une seule valeur d’adhérence alors cette
suite converge vers celle-ci.
7
Exercice 35
Soient K et L deux compacts d’un espace vectoriel normé E.
Etablir que K + L = {x + y /x ∈ K, y ∈ L} est un compact de E.
Exercice 36
Soient F un fermé et K un compact d’un espace vectoriel normé E.
Etablir que la partie F + K = {x + y /x ∈ F, y ∈ K} est fermée.
Exercice 37
Soit K un compact
d’un espace vectoriel
normé E tel que 0 ∈
/ K.
+
On forme F = λ.x/λ ∈ R , x ∈ K . Montrer que F est une partie fermée.
Exercice 38
Soient E et F deux espaces vectoriels normés de dimensions finies.
Soient K un compact de E et f : K → F une application continue injective.
a) On pose L = f (K). Montrer que L est compact.
b) Montrer que f −1 : L → K est continue.
Exercice 39
Soient K et L deux compacts non vides et disjoints.
Montrer
d(K, L) = inf ky − xk > 0
x∈K,y ∈L
Exercice 40
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie.
a) Soit A une partie non vide de E. Montrer que l’application x 7→ d(x, A) est continue sur
E.
b) Soit K un compact non vide inclus dans un ouvert U.
Montrer qu’il existe α > 0 tel que
∀x ∈ K, B(x, α) ⊂ U
Exercice 41
Soit K un compact non vide d’un espace vectoriel normé E de dimension finie.
On considère une application f : K → K vérifiant
∀x, y ∈ K, x 6= y ⇒ d(f (x), f (y )) < d(x, y )
Montrer que f admet un unique point fixe.
Exercice 42
Soient (E, k . k) un espace vectoriel normé, K un compact non vide de E et f : K → K telle
que
∀(x, y ) ∈ K 2 , x 6= y ⇒ kf (x) − f (y )k < kx − y k
a) Montrer qu’il existe un unique point fixe c de f sur K.
b) Soit (xn ) telle que xn+1 = f (xn ) et x0 ∈ K. Montrer que la suite (xn ) converge vers c.
Exercice 43
Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels normés réels, f une application de E1 dans E2 telle
que pour tout compact K de E2 , f −1 (K) soit un compact de E1 . Montrer, si F est un fermé
de E1 , que f (F ) est un fermé de E2 .
8
Exercice 44
Soient A un compact d’intérieur non vide de Rn et LA = {u ∈ L(Rn ), u(A) ⊂ A}.
Montrer que LA est un compact de L(Rn ).
Exercice 45
Soient (E, k . k) un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de dimension finie
de E.
a) Montrer
∀x ∈ E, ∃y ∈ F, d(x, F ) = kx − y k
b) Montrer, si F 6= E, qu’il existe u ∈ E tel que d(u, F ) = kuk = 1.
c) Montrer que E est de dimension finie si, et seulement si, B = {x ∈ E, kxk 6 1} est une
partie compacte.
Exercice 46
[Théorème de Riesz]
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un K-espace vectoriel E.
a) Montrer que pour tout a ∈ E, il existe x ∈ F vérifiant
d(a, F ) = ka − xk
b) On suppose F 6= E. Montrer qu’il existe a ∈ E vérifiant
d(a, F ) = 1 et kak = 1
c) On suppose le K-espace vectoriel de dimension infinie. Montrer qu’il existe une suite (an )
d’éléments de E vérifiant
∀n ∈ N, kan k = 1 et d (an+1 , Vect(a0 , . . . , an )) = 1
Conclure que la boule unité de E n’est pas compacte.
Exercice 47
Soit E un espace normé et f une application vérifiant
∀x, y ∈ E, kf (x) − f (y )k = kx − y k
Soit K une partie compacte de E telle que f (K) ⊂ K.
a) Pour x ∈ K on considère la suite récurrente (xn ) donnée par
x0 = x et ∀n ∈ N, xn+1 = f (xn )
Montrer que x est valeur d’adhérence de la suite (xn ).
b) En déduire que f (K) = K.
Exercice 48
Soient K une partie compacte d’un espace de dimension finie et r > 0.
Montrer que la partie
[
Kr =
B(x, r )
x∈K
est compacte.
9
Exercice 49
Soit K une partie compacte non vide d’un espace vectoriel normé E de dimension finie.
On considère une application f : K → K vérifiant ρ-lipschitzienne i.e. vérifiant
∀x, y ∈ K, kf (y ) − f (x)k 6 ρ ky − xk
a) On suppose ρ < 1. Montrer que f admet un point fixe.
b) On suppose ρ = 1 et K convexe. Montrer à nouveau que f admet un point fixe. On pourra
introduire, pour a ∈ K et n ∈ N? , les fonctions
fn : x 7→
a n−1
+
f (x)
n
n
Exercice 50
Soient (E, k . k) un espace vectoriel normé, K un compact non vide de E et f : K → K telle
que
∀(x, y ) ∈ K 2 , x 6= y ⇒ kf (x) − f (y )k < kx − y k
a) Montrer que f possède au plus un point fixe.
b) Justifier qu’il existe c ∈ K tel que
∀x ∈ K, kf (x) − xk > kf (c) − ck
c) En déduire que f admet un point fixe.
10