Espace et sous-espace vectoriel

Espace et sous-espace vectoriel
Définition. Soit un ensemble E munit d’une loi interne + qui est commutative, associative,
admet un élément neutre 0 et tel que chaque élément v admet un symétrique v’ qui vérifie v + v’
= 0 est appelé un groupe abélien. Si de plus il existe une opération externe, ! ! E " E qui
vérifie les propriétés suivantes :
• ( !µ )v = ! ( µv)
pseudo-associativité
• ( ! + µ )v = ! v + µv pseudo-distributivité
• ! (v + w) = ! v + ! w distributivité
• 1v = v
(le neutre multiplicatif se comporte comme Id sur E)
alors on dit que (E ; + ; ·) forme un espace vectoriel sur ! (le corps de base).
Un sous-ensemble F de E qui vérifie les mêmes axiomes que ci-dessus par rapport à F est
appelé un sous-espace vectoriel de E.
Exemples. 1) (! n ;+;!) avec les définitions usuelles d’addition (coordonnée par coordonnée) et
de multiplication par un scalaire (produit de chacune des coordonnées).
2) C 0 (!) = l’ensemble des fonctions continue sur !
(avec les définitions habituelles de + et de · de fonctions)
3) M m!n = l’ensemble des matrice m-lignes n-colonnes à coefficients sur ! .
4) CM n2 = l’ensemble des carrés magiques de n cases de côté à coefficients sur ! .
Théorème. (F , + ; ·) est un sous-espace vectoriel de (E , + ; ·) si et seulement si les deux
conditions sont vérifiées : !v1 et v2 "F # v1 + v2 "F et !v "F et !# "! $ # v "F .
Preuve. !) Par définition d’un sous-espace vectoriel
!) L’addition est donc interne. Elle reste commutative et associative sur F puisqu’elle l’est
sur E (et que (F;+;!) = (E;+;!) |F ). Montrons d’abord que 0 est dans F. Si v !F alors
0 ! v "F . Par ailleurs v + 0 ! v = 1! v + 0 ! v = (1+ 0) ! v = 1! v = v . D’où 0 ! v = 0 "F .
Montrons que le symétrique de v, v’ est dans F. En effet, si v !F alors (!1) v "F et
v + (!1) v = 1v + (!1) v = (1+ (!1)) v = 0 v = 0 .
Remarque. Les deux conditions ci-dessus peuvent être remplacées par ! v1 + µv2 "F , c’est-àdire toute combinaison linéaire de vecteurs dans F est encore dans F.
Exemples de sous-espaces vectoriels.
{
2) D = {(x; y; z) !!
}
1) P = (x; y; z) !! 3 | 2x " 3y + z = 0 plan vectoriel dans ! 3 (perpendiculaire à (2 ;-3 ;1).
3
}
| 2x " 3y + z = 0 et x " 3y = 0 droite vectorielle dans ! 3
3) C 1 (!) ! C 0 (!) (les fonctions dérivables de dérivée continue et un sous-espace vectoriel des
fonctions continues sur ! ).
4) SA(!) ! S(!) (les suites arithmétiques sur ! et l’esp. vect S de toutes les suites : ! ! " .