Topologie des espaces vectoriels normés

Mathématiques Spéciales Topologie
Topologie des espaces vectoriels normés
Généralités
1Si x=(x,y)∈R2, on pose
kxk = Sup
t∈R
|x+t y|
1+t+t2
Montrer que k k est bien définie et qu’il s’agit d’une norme sur R2. Dessiner la boule unité.
À l’aide du dessin (sans calcul), comparer k k aux normes usuelles k k1,k k2et k k∞(en
particulier, constater qu’elles sont équivalentes).
2On note E ={f∈C1([0; 1]) |f(0) =0}
et ∀f∈E N(f)= k fk∞+ k f0k∞n(f)=Sup
t∈[0;1]
|f(t)+f0(t)|
Montrer que N et nsont deux normes sur E et qu’elles sont équivalentes.
3Soient E =C2([0; 1]) et
∀f∈E
kfk=kfk∞=Sup
[0;1]
|f|
kfk1= k f0k∞+ | f(0)|
kfk2= k f00k∞+ | f0(0)|+|f(0)|
Vérifier que l’on a trois normes sur E et les comparer.
4 Unicité du centre et du rayon d’une boule : Soient E un espace vectoriel normé, a,a0∈E
et r,r0>0. On suppose que Bf(a,r)=Bf(a0,r0). Montrer que a=a0et r=r0.
5 Distance à une partie : Soient E un espace vectoriel normé et A ⊂E non vide. Si x∈E,
on appelle distance de xàA le réel
dA(x)=d(x,A) =Inf
a∈Ad(x,a)
1. Montrer que dAest 1-lipschitzienne, c’est-à-dire que
∀x,y∈E¯¯dA(x)−dA(y)¯¯6kx−yk
dAest-elle continue ? Caractériser A à l’aide de la fonction dA. Comparer les fonctions
dAet dA.
2. On suppose que A et B sont deux parties de E, telles que A∩B= ;. Montrer qu’il existe
deux ouverts U et V, d’intersection vide, tels que A ⊂U et B ⊂V.
Indication : Considérer la fonction dA−dB
dA+dB, après avoir justifié qu’elle est bien définie.
3. Montrer que si A est compact et x∈E, alors dA(x) est atteint, c’est-à-dire qu’il existe
a∈A tel que dA(x)=d(x,a). Est-ce que aest unique ?
4. Montrer que si A est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E et si x∈E, alors
dAest atteinte. Existe-t-il un unique a∈A tel que dA(x)=d(x,a) ?
Indication : Faire un dessin. Utiliser l’exercice 6.8 et la caractérisation des compacts dans un
espace de dimension finie.
5. Si A et B sont deux parties non vides de E, on appelle distance de AàB le réel
d(A,B) =Inf
b∈BdA(b)
Montrer que d(A,B) =d(B,A). Le fait que d(A,B) 6= 0 est-il équivalent au fait que A∩B
est vide ? ou bien que A∩B= ; ?
6Soient A et B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E.
1. Montrer que IntA est ouvert. Montrer que si A ⊂B, alors A ⊂B. En déduire que
A=\
F fermé
A⊂F
F
2. Comparer (IntA)cet Ac.
3. Comparer A et A.
4. A-t-on A∩B=A∩B ?
5. Si A est ouvert, montrer que A∩B=A∩B.
6. Montrer que A est borné si, et seulement si, A est borné et comparer leurs diamètres.
7. Montrer que VectA ⊂VectA ⊂VectA.
8. Soit F un sous-espace strict de E. Montrer que F est aussi un sous-espace et que IntF
est vide. Si F est de dimension finie, montrer que F =F.
7Soit E un espace vectoriel normé. Si A et B sont deux sous-ensembles de E, non vides,
on pose
A+B={a+b|a∈Ab∈B}
1. Si A ou B est ouvert, montrer que A+B est ouvert.
2. Si F est fermé non vide et K est compact, montrer que K+F est fermé. Montrer qu’on
ne peut pas se débarasser de l’hypothèse « K compact. »
3. Si K et K0sont deux compacts, montrer que K+K0est compact.
8Soient E =C([0; 1],K) et F ={f∈E|f(0) =f(1)}. Déterminer F et IntF lorsque E est
normé par k k∞,k k1ou k k2.
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Convergence, continuité
9Soit f∈C1(R,R). Montrer que l’application gsuivante est continue :
∀(x,y)∈R2g(x,y)=(f(y)−f(x)
y−xsi x6= y
f0(x) si x=y
10 Soit f∈C(R2,R). Montrer que l’application gdéfinie ci-dessous est continue :
∀x∈Rg(x)=Sup
y∈[0;1]
f(x,y)
11 Soit f:Rn−→ R, continue, telle que
∀ε>0∃M>0∀x∈B(0,M)c|f(x)|6ε
On dit alors que lim
kxk→∞ f(x)=0. Montrer que fest uniformément continue, bornée, et que
Sup
Rn
|f|est atteint.
12 Soit n∈N?. Montrer que l’application
χ: Mn(K)−→ Kn[X]
A7−→ χA
est continue.
13 Convergence de polynômes : Soient m∈Net E =Cm[X]. Soit (Pn)n∈Nune suite dans E,
qui converge vers un P ∈E. On note
∀n∈NPn=
m
P
k=0ak,nXkP=
m
P
k=0akXkavec am6= 0
1. Montrer que chaque suite (ak,n)n∈Nconverge vers ak.
2. Montrer que (Pn)n∈Nconverge uniformément vers P sur tout compact de C. Même
chose pour la suite des dérivées successives.
Indication : Vous avez le choix de la norme.
3. Soient z∈Cune racine de P et r>0. Montrer qu’il existe N ∈Ntel que, pour tout n>N,
Pna une racine dans Bf(z,r).
Indication : Par l’absurde. Utiliser le théorème de d’Alembert et les résultats précédents.
4. On suppose de plus que toutes les racines de P sont simples. Montrer qu’il existe δ0>0
tel que pour tout δ∈[0; δ0], il existe N ∈Ntel que, pour tout n>N, Pna exactement
une racine dans Bf(z,δ).
14 Soient E et F deux espaces vectoriels normés, K une partie compacte de E, et f: E −→ F
continue injective. Alors fest une bijection de K sur f(K). Montrer que la bijection réci-
proque est continue.
15 Soit K un compact dans un espace vectoriel normé E. On se donne f: K −→ K telle que
∀x,y∈Kx6= y=⇒ k f(x)−f(y)k<kx−yk
Montrer que fa un unique point fixe dans K.
Indication : Considérer la fonction continue x7−→ k f(x)−xk.
16 Topologie dans Mn(K) : Soit nun entier non nul.
1. Montrer que GLn(K) est un ouvert dense dans Mn(K).
2. Montrer que les matrices diagonalisables sont denses dans Mn(C).
3. Montrer que On(R) est un compact de Mn(R).
4. Montrer que l’ensemble des projecteurs dans Mn(K) est fermé.
5. Montrer que les projecteurs orthogonaux dans Mn(R) forment un ensemble compact.
17 Normes subordonnées dans Mn,p(K) : Soient net pdeux entiers non nuls. Soit M dans
Mn,p(K), qui représente canoniquement un élément de L(Kp,Kn). Calculer kMklorsque
Kpet Knsont normés respectivement par :
1. k k1et k k1;
2. k k∞et k k∞;
3. k k1et k k∞.
18 Soient E =C([0; 1],R) et F =C1([0; 1],R). On pose
∀f∈E∀x∈[0; 1] (Φf)(x)=Zx
0f(t)dt
Montrer que Φest linéaire, continue, lorsque E et F sont normés respectivement par
1. k k∞et k k∞2. k k1et k k13. k k∞et f7−→ k fk∞+ k f0k∞
Calculer sa norme dans chaque cas.
Indication : Dans le cas k k1–k k1, considérer la suite de fonctions fn:x7−→ (n+1)(1−x)n.
19 Soient E un R-espace vectoriel normé et fune forme linéaire sur E. Montrer que fest
continue si, et seulement si, Ker fest fermé.
Indication : Si Ker fest fermé, poser H+={x∈E|f(x)>0} et H−={x∈E|f(x)<0}. Montrer qu’une
boule incluse dans (Ker f)cest entièrement incluse dans H+ou dans H−.
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Divers
20 Le théorème de Picard : Soient E un espace de Banach et f: E −→ E une application
contractante, c’est-à-dire qu’il existe k∈]0; 1[ tel que
∀x,y∈Ekf(x)−f(y)k6kkx−yk
Montrer que fa un unique point fixe.
Indication : Fixer u0∈E et considérer la suite définie par récurrence par un+1=f(un).
21 Soient E et F deux espaces vectoriels normés, avec F complet. Montrer que Lc(E,F) est
complet.
22 Le théorème de Riesz : Soit E un espace vectoriel normé.
1. Soit F un sous-espace strict, fermé, de E. Montrer qu’il existe u∈E, de norme 1, tel que
d(u,F) >1
2.
Indication : Faire un dessin. Commencer par trouver un x∈E tel que d(x,F) =1
2. Prendre un
e∈F, correctement choisi, et considérer la fonction λ7−→ kx−λek: montrer qu’elle est continue.
Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
2. On suppose que E est de dimension infinie. Construire une suite (un)n∈Nde vecteurs
de E, de norme 1, tels que kun−upk>1
2pour n6= p. Conclure que Bf(0,1) n’est pas
compacte.
23 Si α>0 et I est un intervalle, on dit qu’une fonction fest α-höldérienne sur I si, et
seulement si, il existe K >0 tel que
∀x,y∈I|f(x)−f(y)|6K|x−y|α
On notera alors Kα(f)=Sup
x,y∈I
x6=y
|f(x)−f(y)|
|x−y|α
L’ensemble des fonctions α-höldériennes est noté Λα(I). Lorsque α=1, on parle aussi d’ap-
plications lipschitziennes.
1. Vérifier qu’une fonction α-höldérienne est uniformément continue.
2. Trouver une description très simple de Λα(I) lorsque α>1.
3. Soit f∈C1(I). Montrer que fest lipschitzienne si, et seulement si, f0est bornée sur I.
4. On suppose ici que α∈]0; 1] et I =R. Trouver un exemple de fonction non constante
dans Λα(R).
5. Montrer que l’application
k kα:Λα([0; 1]) −→ R+
f7−→ k fk∞+Kα(f)
est une norme et que ¡Λα([0; 1]),k kα¢est complet.
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