Mathématiques Spéciales Topologie Topologie des espaces vectoriels normés 3. Montrer que si A est compact et x ∈ E, alors dA (x) est atteint, c’est-à-dire qu’il existe a ∈ A tel que dA (x) = d(x, a). Est-ce que a est unique ? Généralités 4. Montrer que si A est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E et si x ∈ E, alors dA est atteinte. Existe-t-il un unique a ∈ A tel que dA (x) = d(x, a) ? 1 Si x = (x, y) ∈ R2 , on pose kxk = Sup t ∈R Indication : Faire un dessin. Utiliser l’exercice 6.8 et la caractérisation des compacts dans un espace de dimension finie. |x + t y| 1+ t + t2 5. Si A et B sont deux parties non vides de E, on appelle distance de A à B le réel Montrer que k k est bien définie et qu’il s’agit d’une norme sur R2 . Dessiner la boule unité. À l’aide du dessin (sans calcul), comparer k k aux normes usuelles k k1 , k k2 et k k∞ (en particulier, constater qu’elles sont équivalentes). b∈B Montrer que d(A, B) = d(B, A). Le fait que d(A, B) 6= 0 est-il équivalent au fait que A ∩ B est vide ? ou bien que A ∩ B = ; ? E = { f ∈ C 1 ([0 ; 1]) | f (0) = 0} 2 On note et d(A, B) = Inf dA (b) ∀f ∈ E 0 N( f ) = k f k∞ + k f k∞ 6 Soient A et B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E. 0 n( f ) = Sup | f (t ) + f (t )| 1. Montrer que Int A est ouvert. Montrer que si A ⊂ B, alors A ⊂ B. En déduire que \ F A= t ∈[0 ; 1] Montrer que N et n sont deux normes sur E et qu’elles sont équivalentes. F fermé A⊂F 3 Soient E = C 2 ([0 ; 1]) et ∀f ∈ E 2. Comparer (Int A)c et Ac . k f k = k f k∞ = Sup | f | [0 ; 1] 3. Comparer A et A. k f k1 = k f 0 k∞ + | f (0)| k f k2 = k f 00 k∞ + | f 0 (0)| + | f (0)| 4. A-t-on A ∩ B = A ∩ B ? 5. Si A est ouvert, montrer que A ∩ B = A ∩ B. Vérifier que l’on a trois normes sur E et les comparer. 6. Montrer que A est borné si, et seulement si, A est borné et comparer leurs diamètres. 4 Unicité du centre et du rayon d’une boule : Soient E un espace vectoriel normé, a, a 0 ∈ E et r, r 0 > 0. On suppose que B f (a, r ) = B f (a 0 , r 0 ). Montrer que a = a 0 et r = r 0 . 7. Montrer que Vect A ⊂ Vect A ⊂ Vect A. 8. Soit F un sous-espace strict de E. Montrer que F est aussi un sous-espace et que Int F est vide. Si F est de dimension finie, montrer que F = F. 5 Distance à une partie : Soient E un espace vectoriel normé et A ⊂ E non vide. Si x ∈ E, on appelle distance de x à A le réel 7 Soit E un espace vectoriel normé. Si A et B sont deux sous-ensembles de E, non vides, on pose dA (x) = d (x, A) = Inf d(x, a) a∈A 1. Montrer que dA est 1-lipschitzienne, c’est-à-dire que ¯ ¯ ¯dA (x) − dA (y)¯ 6 kx − yk ∀x, y ∈ E A + B = {a + b | a ∈ A b ∈ B} 1. Si A ou B est ouvert, montrer que A + B est ouvert. 2. Si F est fermé non vide et K est compact, montrer que K + F est fermé. Montrer qu’on ne peut pas se débarasser de l’hypothèse « K compact. » dA est-elle continue ? Caractériser A à l’aide de la fonction dA . Comparer les fonctions dA et dA . 3. Si K et K0 sont deux compacts, montrer que K + K0 est compact. 2. On suppose que A et B sont deux parties de E, telles que A ∩ B = ;. Montrer qu’il existe deux ouverts U et V, d’intersection vide, tels que A ⊂ U et B ⊂ V. 8 Soient E = C ([0 ; 1], K) et F = { f ∈ E | f (0) = f (1)}. Déterminer F et Int F lorsque E est normé par k k∞ , k k1 ou k k2 . d −d Indication : Considérer la fonction dA +dB , après avoir justifié qu’elle est bien définie. A B 1 Mathématiques Spéciales Topologie 14 Soient E et F deux espaces vectoriels normés, K une partie compacte de E, et f : E −→ F continue injective. Alors f est une bijection de K sur f (K). Montrer que la bijection réciproque est continue. Convergence, continuité 9 Soit f ∈ C 1 (R, R). Montrer que l’application g suivante est continue : ( f (y)− f (x) ∀(x, y) ∈ R 2 g (x, y) = 15 Soit K un compact dans un espace vectoriel normé E. On se donne f : K −→ K telle que si x 6= y y−x ∀x, y ∈ K x 6= y =⇒ k f (x) − f (y)k < kx − yk f 0 (x) si x = y Montrer que f a un unique point fixe dans K. 10 Soit f ∈ C (R2 , R). Montrer que l’application g définie ci-dessous est continue : ∀x ∈ R Indication : Considérer la fonction continue x 7−→ k f (x) − xk. 16 Topologie dans Mn (K) : Soit n un entier non nul. g (x) = Sup f (x, y) 1. Montrer que GLn (K) est un ouvert dense dans Mn (K). y∈[0 ; 1] 2. Montrer que les matrices diagonalisables sont denses dans Mn (C). 11 Soit f : Rn −→ R, continue, telle que 3. Montrer que On (R) est un compact de Mn (R). ∀ε > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ B (0, M) c | f (x)| 6 ε 4. Montrer que l’ensemble des projecteurs dans Mn (K) est fermé. 5. Montrer que les projecteurs orthogonaux dans Mn (R) forment un ensemble compact. On dit alors que lim f (x) = 0. Montrer que f est uniformément continue, bornée, et que kxk→∞ Sup | f | est atteint. 17 Normes subordonnées dans Mn,p (K) : Soient n et p deux entiers non nuls. Soit M dans Mn,p (K), qui représente canoniquement un élément de L (Kp , Kn ). Calculer kMk lorsque Kp et Kn sont normés respectivement par : Rn 12 Soit n ∈ N? . Montrer que l’application χ : Mn (K) −→ Kn [X] A 7−→ χA 1. k k1 et k k1 ; 2. k k∞ et k k∞ ; est continue. 3. k k1 et k k∞ . 13 Convergence de polynômes : Soient m ∈ N et E = Cm [X]. Soit (Pn )n∈N une suite dans E, qui converge vers un P ∈ E. On note ∀n ∈ N Pn = m P k=0 k a k,n X P= m P k=0 k ak X 18 Soient E = C ([0 ; 1], R) et F = C 1 ([0 ; 1], R). On pose x Z ∀ f ∈ E ∀x ∈ [0 ; 1] avec a m 6= 0 (Φ f )(x) = f (t ) dt 0 Montrer que Φ est linéaire, continue, lorsque E et F sont normés respectivement par 1. Montrer que chaque suite (a k,n )n∈N converge vers a k . 1. k k∞ et k k∞ 2. Montrer que (Pn )n∈N converge uniformément vers P sur tout compact de C. Même chose pour la suite des dérivées successives. 2. k k1 et k k1 3. k k∞ et f 7−→ k f k∞ + k f 0 k∞ Calculer sa norme dans chaque cas. Indication : Dans le cas k k1 –k k1 , considérer la suite de fonctions f n : x 7−→ (n + 1)(1 − x)n . Indication : Vous avez le choix de la norme. 19 Soient E un R-espace vectoriel normé et f une forme linéaire sur E. Montrer que f est continue si, et seulement si, Ker f est fermé. 3. Soient z ∈ C une racine de P et r > 0. Montrer qu’il existe N ∈ N tel que, pour tout n > N, Pn a une racine dans B f (z, r ). Indication : Si Ker f est fermé, poser H+ = {x ∈ E | f (x) > 0} et H− = {x ∈ E | f (x) < 0}. Montrer qu’une boule incluse dans (Ker f )c est entièrement incluse dans H+ ou dans H− . Indication : Par l’absurde. Utiliser le théorème de d’Alembert et les résultats précédents. 4. On suppose de plus que toutes les racines de P sont simples. Montrer qu’il existe δ0 > 0 tel que pour tout δ ∈ [0 ; δ0 ], il existe N ∈ N tel que, pour tout n > N, Pn a exactement une racine dans B f (z, δ). 2 Mathématiques Spéciales Topologie Divers 20 Le théorème de Picard : Soient E un espace de Banach et f : E −→ E une application contractante, c’est-à-dire qu’il existe k ∈]0 ; 1[ tel que ∀x, y ∈ E k f (x) − f (y)k 6 kkx − yk Montrer que f a un unique point fixe. Indication : Fixer u 0 ∈ E et considérer la suite définie par récurrence par u n+1 = f (u n ). 21 Soient E et F deux espaces vectoriels normés, avec F complet. Montrer que Lc (E, F) est complet. 22 Le théorème de Riesz : Soit E un espace vectoriel normé. 1. Soit F un sous-espace strict, fermé, de E. Montrer qu’il existe u ∈ E, de norme 1, tel que d (u, F) > 21 . Indication : Faire un dessin. Commencer par trouver un x ∈ E tel que d (x, F) = 12 . Prendre un e ∈ F, correctement choisi, et considérer la fonction λ 7−→ kx −λek : montrer qu’elle est continue. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. 2. On suppose que E est de dimension infinie. Construire une suite (u n )n∈N de vecteurs de E, de norme 1, tels que ku n − u p k > 12 pour n 6= p. Conclure que B f (0, 1) n’est pas compacte. 23 Si α > 0 et I est un intervalle, on dit qu’une fonction f est α-höldérienne sur I si, et seulement si, il existe K > 0 tel que ∀x, y ∈ I On notera alors | f (x) − f (y)| 6 K |x − y|α | f (x) − f (y)| |x − y|α x,y∈I Kα ( f ) = Sup x6= y L’ensemble des fonctions α-höldériennes est noté Λα (I). Lorsque α = 1, on parle aussi d’applications lipschitziennes. 1. Vérifier qu’une fonction α-höldérienne est uniformément continue. 2. Trouver une description très simple de Λα (I) lorsque α > 1. 3. Soit f ∈ C 1 (I). Montrer que f est lipschitzienne si, et seulement si, f 0 est bornée sur I. 4. On suppose ici que α ∈]0 ; 1] et I = R. Trouver un exemple de fonction non constante dans Λα (R). 5. Montrer que l’application k kα : Λα ([0 ; 1]) −→ R+ f 7−→ k f k∞ + Kα ( f ) ¡ α ¢ est une norme et que Λ ([0 ; 1]), k kα est complet. 3