Espaces vectoriels normés.

Exercices de colle MP*
Espaces vectoriels normés
Adrien Fontaine
04/12/2013
Exercice 1
Soit f:Rd→Rune fonction continue telle que limkxk→+∞f(x) = +∞. Montrer que fadmet
un minimum.
Exercice 2
Soit Eune partie compacte d’un espace vectoriel normé et f:E→Eune application continue
vérifiant :
∀x, y ∈E, x 6=y=⇒ kf(x)−f(y)k<kx−yk
1) Montrer que fadmet un unique point fixe (que l’on notera α).
2) Ces résultats subsistent-ils si on suppose seulement Ecomplet ?
Exercice 3
On considère l’espace euclidien R3. Soit Fun plan vectoriel et Dune droite vectorielle telle
que F⊕D=R3et Fnon perpendiculaire à D. Soit PFla projection sur Fparallèlement à
D. Calculer la norme de l’application linéaire pF.
Exercice 4
Soient p > 1et q > 1tel que 1/p + 1/q = 1.
a) Montrer que pour a, b >0
ab 61
pap+1 qbq
Pour x= (x1, . . . , xn)∈Knet y= (y1, . . . , yn)∈Kn, on pose :
kxkp= n
X
i=1
|xi|p!1/p et kykq= n
X
i=1
|yi|q!1/q
b) Etablir
|xiyi|
kxkpkykq
61
p
|xi|p
kxkp
p
+1
q
|yi|q
kykq
q
et en déduire n
X
i=1
|xiyi|6kxkpkykq
c) En écrivant
(|xi|+|yi|)p=|xi|(|xi|+|yi|)p−1+|yi|(|xi|+|yi|)p−1
1

2
justifier
kx+ykp6kxkp+kykp
d) Conclure que k.kpdéfinit une norme sur Kn.
Exercice 5
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels normés et f∈ L(E, F ).
On suppose que pour toute suite (un)tendant vers 0, f(un)est bornée.
Montrer que fest continue.
Exercice 6
Soient Eun espace vectoriel normé non réduit à {0}et u, v ∈ L(E)continus tels que
u◦v−v◦u=αIdE
pour un certain α∈R.
a) Etablir que pour tout n∈N,
u◦vn+1 −vn+1 ◦u= (n+ 1)αvn
b) En déduire que α= 0.
Exercice 7
Sur R[X]on définit N1et N2par :
N1(P) =
+∞
X
k=0 P(k)(0)et N2(P) = sup
t∈[−1,1]
|P(t)|
a) Montrer que N1et N2sont deux normes sur R[X].
b) Montrer que la dérivation est continue pour N1et calculer sa norme.
c) Montrer que la dérivation n’est pas continue pour N2.
d) N1et N2sont-elles équivalentes ?
Exercice 8 (Théorème de Riesz)
Soit Fun sous-espace vectoriel de dimension finie d’un K-espace vectoriel E.
a) Montrer que pour tout a∈E, il existe x∈Fvérifiant
d(a, F ) = ka−xk
b) On suppose F6=E. Montrer qu’il existe a∈Evérifiant
d(a, F ) = 1 et kak= 1
c) On suppose le K-espace vectoriel de dimension infinie. Montrer qu’il existe une suite (an)
d’éléments de Evérifiant
∀n∈N,kank= 1 et d(an+1,Vect(a0, . . . , an)) = 1
Conclure que la boule unité de En’est pas compacte.

3
Exercice 9
Soient Aun compact d’intérieur non vide de Rnet LA={u∈ L(Rn), u(A)⊂A}.
Montrer que LAest un compact de L(Rn).
Exercice 10
Soit Eun espace normé et fune application vérifiant
∀x, y ∈E, kf(x)−f(y)k=kx−yk
Soit Kune partie compacte de Etelle que f(K)⊂K.
a) Pour x∈Kon considère la suite récurrente (xn)donnée par
x0=xet ∀n∈N, xn+1 =f(xn)
Montrer que xest valeur d’adhérence de la suite (xn).
b) En déduire que f(K) = K.