Espaces vectoriels normés.

Exercices de colle MP*
Espaces vectoriels normés
Adrien Fontaine
04/12/2013
Exercice 1
Soit f : Rd → R une fonction continue telle que limkxk→+∞ f (x) = +∞. Montrer que f admet
un minimum.
Exercice 2
Soit E une partie compacte d’un espace vectoriel normé et f : E → E une application continue
vérifiant :
∀x, y ∈ E, x 6= y =⇒ kf (x) − f (y)k < kx − yk
1) Montrer que f admet un unique point fixe (que l’on notera α).
2) Ces résultats subsistent-ils si on suppose seulement E complet ?
Exercice 3
On considère l’espace euclidien R3 . Soit F un plan vectoriel et D une droite vectorielle telle
que F ⊕ D = R3 et F non perpendiculaire à D. Soit PF la projection sur F parallèlement à
D. Calculer la norme de l’application linéaire pF .
Exercice 4
Soient p > 1 et q > 1 tel que 1/p + 1/q = 1.
a) Montrer que pour a, b > 0
1
1
ab 6 ap + bq
p
q
Pour x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn et y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Kn , on pose :
kxkp =
n
X
!1/p
p
|xi |
et kykq =
i=1
b) Etablir
et en déduire
n
X
!1/q
q
|yi |
i=1
1 |xi |p
1 |yi |q
|xi yi |
6
+
kxkp kykq
p kxkpp q kykqq
n
X
|xi yi | 6 kxkp kykq
i=1
c) En écrivant
(|xi | + |yi |)p = |xi | (|xi | + |yi |)p−1 + |yi | (|xi | + |yi |)p−1
1
2
justifier
kx + ykp 6 kxkp + kykp
d) Conclure que k . kp définit une norme sur Kn .
Exercice 5
Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f ∈ L(E, F ).
On suppose que pour toute suite (un ) tendant vers 0, f (un ) est bornée.
Montrer que f est continue.
Exercice 6
Soient E un espace vectoriel normé non réduit à {0} et u, v ∈ L(E) continus tels que
u ◦ v − v ◦ u = αIdE
pour un certain α ∈ R.
a) Etablir que pour tout n ∈ N,
u ◦ v n+1 − v n+1 ◦ u = (n + 1)αv n
b) En déduire que α = 0.
Exercice 7
Sur R [X] on définit N1 et N2 par :
N1 (P ) =
+∞
X
(k)
P (0)
et N2 (P ) = sup |P (t)|
k=0
t∈[−1,1]
a) Montrer que N1 et N2 sont deux normes sur R [X].
b) Montrer que la dérivation est continue pour N1 et calculer sa norme.
c) Montrer que la dérivation n’est pas continue pour N2 .
d) N1 et N2 sont-elles équivalentes ?
Exercice 8 (Théorème de Riesz)
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un K-espace vectoriel E.
a) Montrer que pour tout a ∈ E, il existe x ∈ F vérifiant
d(a, F ) = ka − xk
b) On suppose F 6= E. Montrer qu’il existe a ∈ E vérifiant
d(a, F ) = 1 et kak = 1
c) On suppose le K-espace vectoriel de dimension infinie. Montrer qu’il existe une suite (an )
d’éléments de E vérifiant
∀n ∈ N, kan k = 1 et d (an+1 , Vect(a0 , . . . , an )) = 1
Conclure que la boule unité de E n’est pas compacte.
3
Exercice 9
Soient A un compact d’intérieur non vide de Rn et LA = {u ∈ L(Rn ), u(A) ⊂ A}.
Montrer que LA est un compact de L(Rn ).
Exercice 10
Soit E un espace normé et f une application vérifiant
∀x, y ∈ E, kf (x) − f (y)k = kx − yk
Soit K une partie compacte de E telle que f (K) ⊂ K.
a) Pour x ∈ K on considère la suite récurrente (xn ) donnée par
x0 = x et ∀n ∈ N, xn+1 = f (xn )
Montrer que x est valeur d’adhérence de la suite (xn ).
b) En déduire que f (K) = K.