Espace et sous-espace vectoriel

Espace et sous-espace vectoriel
Définition. Soit un ensemble E munit d’une loi interne + qui est commutative, associative,
admet un élément neutre 0 et tel que chaque élément v admet un symétrique v’ qui vérifie v + v’
= 0 est appelé un groupe abélien. Si de plus il existe une opération externe,
!!E"E
qui
vérifie les propriétés suivantes :
•
( !µ )v= ! ( µ v)
pseudo-associativité
•
( ! + µ )v= ! v+ µ v
pseudo-distributivité
•
! (v+w)= ! v+ ! w
distributivité
•
1v=v
(le neutre multiplicatif se comporte comme Id sur E)
alors on dit que (E ; + ; ·) forme un espace vectoriel sur
!
(le corps de base).
Lemme. On a alors : 1) v + w = z + w implique que v = z 2) 0·v = 0 3) v’ = (-1)·v.
Preuve. 1) v = v + 0 = v +(w + w’) = (v + w)+ w’ = (z + w) + w’ = z + (w + w’)= z + 0 = z.
2) 0 = (0·v)’ + 0·v = (0·v)’ + [0 + 0]·v = (0·v)’ + [0·v+ 0·v] = [(0·v)’ + 0·v]+ 0·v = 0 + 0·v = 0·v
3) v’ = v’ + 0 = v’ + 0·v = v’ + (1 + (-1))·v = v’+[1·v + (-1)·v] = [v’ + 1·v] + (-1)·v =…= (-1)·v.
Exemples. 1)
(!n;+;!)
avec les définitions usuelles d’addition (coordonnée par coordonnée) et
de multiplication par un scalaire (produit de chacune des coordonnées).
2)
C0(!)
= l’ensemble des fonctions continue sur
!
(avec les définitions habituelles de + et de · de fonctions)
3)
Mm!n
= l’ensemble des matrice m-lignes n-colonnes à coefficients sur
!
.
4)
CM
n2
= l’ensemble des carrés magiques de n cases de côté à coefficients sur
!
.
Définition. Un sous-ensemble F de E qui vérifie les mêmes axiomes que ci-dessus par rapport
à F est appelé un sous-espace vectoriel de E.
Théorème. Un ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de (E , + ; ·) si les deux
conditions sont vérifiées :
!v1 et v2"F#v1+v2"F
et
!v"F et ! # "!$ # v"F
.
Preuve. L’addition est donc interne. Elle reste commutative et associative sur F puisqu’elle
l’est sur E (et que
(F;+;!)=(E;+;!) |F
). On a que 0 ∈ F, car par le lemme il suffit de prendre
λ = 0 et on a bien 0·v = 0. Pour le symétrique, il suffit de prendre λ=-1 et on a (-1)·v = v’ ∈ F.
Remarque. Les deux conditions ci-dessus peuvent être remplacées par
! v1+ µ v2"F
, c’est-à-
dire toute combinaison linéaire de vecteurs de F est encore dans F.
Exemples de sous-espaces vectoriels.
1)
P=(x;y;z)!!3| 2x"3y+z=0
{ }
plan vectoriel dans
!3
(perpendiculaire à (2 ;-3 ;1).
2)
D=(x;y;z)!!3| 2x"3y+z=0 et x"3y=0
{ }
droite vectorielle dans
!3
3)
C1(!)!C0(!)
(les fonctions dérivables de dérivée continue et un sous-espace vectoriel des
fonctions continues sur
!
).
4)
SA(!)!S(!)
(les Suites Arithmétiques sur
!
et l’e.v. S de toutes les suites de
!!"
.)