Espace et sous-espace vectoriel

Espace et sous-espace vectoriel
Définition. Soit un ensemble E munit d’une loi interne + qui est commutative, associative,
admet un élément neutre 0 et tel que chaque élément v admet un symétrique v’ qui vérifie v + v’
= 0 est appelé un groupe abélien. Si de plus il existe une opération externe, ! ! E " E qui
vérifie les propriétés suivantes :
• ( !µ )v = ! ( µv)
pseudo-associativité
• ( ! + µ )v = ! v + µv pseudo-distributivité
• ! (v + w) = ! v + ! w distributivité
• 1v = v
(le neutre multiplicatif se comporte comme Id sur E)
alors on dit que (E ; + ; ·) forme un espace vectoriel sur ! (le corps de base).
Lemme. On a alors : 1) v + w = z + w implique que v = z
2) 0·v = 0
3) v’ = (-1)·v.
Preuve. 1) v = v + 0 = v +(w + w’) = (v + w)+ w’ = (z + w) + w’ = z + (w + w’)= z + 0 = z.
2) 0 = (0·v)’ + 0·v = (0·v)’ + [0 + 0]·v = (0·v)’ + [0·v+ 0·v] = [(0·v)’ + 0·v]+ 0·v = 0 + 0·v = 0·v
3) v’ = v’ + 0 = v’ + 0·v = v’ + (1 + (-1))·v = v’+[1·v + (-1)·v] = [v’ + 1·v] + (-1)·v =…= (-1)·v.
Exemples. 1) (! n ;+;!) avec les définitions usuelles d’addition (coordonnée par coordonnée) et
de multiplication par un scalaire (produit de chacune des coordonnées).
2) C 0 (!) = l’ensemble des fonctions continue sur !
(avec les définitions habituelles de + et de · de fonctions)
3) M m!n = l’ensemble des matrice m-lignes n-colonnes à coefficients sur ! .
4) CM n2 = l’ensemble des carrés magiques de n cases de côté à coefficients sur ! .
Définition. Un sous-ensemble F de E qui vérifie les mêmes axiomes que ci-dessus par rapport
à F est appelé un sous-espace vectoriel de E.
Théorème. Un ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de (E , + ; ·) si les deux
conditions sont vérifiées : !v1 et v2 "F # v1 + v2 "F et !v "F et !# "! $ # v "F .
Preuve. L’addition est donc interne. Elle reste commutative et associative sur F puisqu’elle
l’est sur E (et que (F;+;!) = (E;+;!) |F ). On a que 0 ∈ F, car par le lemme il suffit de prendre
λ = 0 et on a bien 0·v = 0. Pour le symétrique, il suffit de prendre λ=-1 et on a (-1)·v = v’ ∈ F.
Remarque. Les deux conditions ci-dessus peuvent être remplacées par ! v1 + µv2 "F , c’est-àdire toute combinaison linéaire de vecteurs de F est encore dans F.
Exemples de sous-espaces vectoriels.
{
2) D = {(x; y; z) !!
}
1) P = (x; y; z) !! 3 | 2x " 3y + z = 0 plan vectoriel dans ! 3 (perpendiculaire à (2 ;-3 ;1).
3
}
| 2x " 3y + z = 0 et x " 3y = 0 droite vectorielle dans ! 3
3) C 1 (!) ! C 0 (!) (les fonctions dérivables de dérivée continue et un sous-espace vectoriel des
fonctions continues sur ! ).
4) SA(!) ! S(!) (les Suites Arithmétiques sur ! et l’e.v. S de toutes les suites de ! ! " .)