EMD 2006 - Université Saad Dahlab Blida

Université Saâd Dahlab de BLIDA
Faculté des Sciences,
Département de mathématiques
EMD
MI, 1ère année, algèbre 2.
Exercice 1 : Montrer que l' ensemble W = { ( a, b, c ) / a + b + c = 0 } est un sous espace
vectoriel de 3 et que U = { ( a, b, c ) / a ≥ 0 }ne l'est pas.
Exercice 2 : Soit E un espace vectoriel et E1 et E2 deux sous espace vectoriels de E
constituant une somme directe ( E = E1 ⊕ E2 ).
La somme est directe si ∀x∈E ∃! ( x1, x2)∈ E1 x E2 / x = x1+ x2
p : E → E et q: E → E
x→ p(x) = x1 où x1 est l'élément de E1 x→ q(x) = x2 où x2 est l'élément de E2
deux applications.
Montrer que les applications "p" et "q" sont deux endomorphismes tel que :
i) p + q = IdE ii) p2 = p o p = p iii) q2 = qoq = q
iv) poq = q o p = 0E.
Exercice 3 : Montrer que les vecteurs X = ( 0, 1, 1), Y = ( 1, 0, 1) et Z = ( 0, 1, 0) forment une
base de 3. Trouver les composantes du vecteur T = ( 1, 1, 1) relativement à cette dernière.
Exercice 4 : Soit f: 3 → 3
( x, y, z) → ( 2x + y + z, 2x + y + z, 2x + y + z )
a) Montrer que f est linéaire
b) Déterminer Kerf, une base de kerf et en déduire sa dimension.
c) Donner une base de Imf et sa dimension.
d) Vérifier que dimKerf + dimImf = 3 = dim 3 .