test2 g12 14 correction

Matière : Algébre2
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Correction du Test N2
Groupes12;13;14
(27 Avril 2016)
1. Soit B= (e1; e2; e3)la base canonique de R3. Soit fune application
linéaire de R3dans R3dé…nie par :
f(e1) = 3e1+ 2e24e3
f(e2) = e1e2+ 2e3
f(e3) = 4e12e2+ 5e3
Déterminer la matrice de fdans la base canonique.
Solution 1 La matrice associée à fdans la base Bs’ecrit :
MB(f) =
f(e1)f(e2)f(e3)
(
3
2
4
1
1
2
4
2
5
)
e1
e2
e3
:
2. Soient Fet Gdeux sous espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. Dire
si F\Get F[Gsont des sous espaces vectoriels de E. Expliquer pourquoi
dans chaque cas.
Solution 2 (a) F\Gest un sous espace vectoriel de E. En e¤et,
i. Condition d0admissibilité : 0E2Fet 0E2Gdonc 0E2F\G:
ii. Stabilité pour la somme. Soient u; v 2F\G; alors
8
<
:
u; v 2F
et
u; v 2G
)8
<
:
u+v2F
et
u+v2G
car F et G sont des s:e:v: de E:
)u+v2F\G:
iii. Stabilité pour la multiplication par un scalaire. Soient u2F\
G et  2Kalors
8
<
:
u2F
et
u2G
)8
<
:
u 2F
et
u 2G
car F et G sont des s:e:v: de E:
)u 2F\G:
(b) En général, F[Gn’est pas un sous espace vectoriel de E. Plus
précisement, F[Gest un sous espace vectoriel de Esi, et seulement
si FGou GF.
1