Exercices sur les premières notions de topologie, premier cycle universitaire F.Gaudon 18 août 2005 1 Énoncés Exercice 1: On considère sur Rn les trois applications suivantes définies pour tout x = (x1 ; . . . ; xn ) ∈ Rn par : N1 (x) = n X |xi | i=1 n X 1 N2 (x) = ( |xi |2 ) 2 i=1 N∞ (x) = sup{|xi |, i ∈ {1; . . . ; n}} 1. Montrer qu’elles définissent trois normes. 2. Montrer que ces normes sont équivalentes. Exercice 2: On considère sur l’espace vectoriel R[X] des polynômes dans R, Pà coefficients k les trois applications suivantes définies pour tout P = k∈N ak X par : X N1 (P ) = |ak | k∈N X 1 N2 (P ) = ( |ak |2 ) 2 k∈N N3 (P ) = sup{|ak |, k ∈ N} 1 1. Montrer que ces applications définissent des normes. 2. Ces normes sont-elles équivalentes ? Exercice 3: Soient E un espace vectoriel normé et A une partie non vide de E. Pour x ∈ E, on pose : d(x; A) = inf{kx − ak , a ∈ A} 1. Montrer que l’application d(.; A) est 1-lipshitzienne c’est à dire ∀(x; y) ∈ E, |d(x; A) − d(y; A)| ≤ kx − yk 2. En déduire que l’application d(.; A) est continue sur E. Exercice 4: Soit E un espace vectoriel normé réel et A un sous espace vectoriel. 1. Montrer que Ā est un sous espace vectoriel de E. 2. Montrer que si A est ouvert, alors A = E. ◦ 3. Montrer que si A6= ∅ alors A = E. 4. Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0; 1] muni de la norme k k∞ . On considère l’ensemble A = {f ∈ E, f (0) = 0}. Montrer ◦ que A est un sous espace fermé et A= ∅. Exercice 5: oient (E; N ) un espace vectoriel normé et H un hyperplan de E. Montrer que H est fermé ou dense. 2 2 Indications Exercice 1 : 1. A montrer pour chacune des normes N et pour tout x, y ∈ Rn , tout λ ∈ R : N (x) = 0 ⇔ x = 0 N (λx) = |λ|N (x) N (x + y) ≤ N (x) + n(y) Pour N2 , utiliser l’inégalité de Minkowski. 2. Montrer d’abord que : ∀x ∈ Rn , N∞ (x) ≤ N1 (x) ≤ nN∞ (x) √ ∀x ∈ Rn , N∞ (x) ≤ N2 (x) ≤ nN∞ (x) Exercice 2 : 1. Même méthode que précédemment. 2. Considérer pour tout N ∈ N le polynôme PN défini par : X P (x) = kX k k≥N et montrer que la suite de polynôme ainsi définie met la suite la définition de la relation d’équivalence en défaut. Exercice 3 : Écrire l’inégalité sans valeur absolue et utiliser le fait que d(x; A) = sup{kx − zk , z ∈ A}. Exercice 4 : 1. Utiliser la caractérisation des points adhérents par les suites pour vérifier la définition d’un sous espace vectoriel. 2. Considérer après avoir justifié leur existence, un point x de A, une boule ouverte B(x; ) incluse dans A et pour tout point y de E le point y−x y 0 = x + 2ky−xk qui appartient à B(x; ) qui permet d’exprimer y comme combinaison linéaire de x et y 0 . 3 3. Si l’intérieur est non vide, il contient une boule ouverte. Raisonner comme précédemment. 4. Si (fn )n est une suite de A ayant une limite f , montrer d’abord que f est dans E, c’est à dire est continue en tout x0 , en utilisant le fait que ∀x ∈ [0; 1], kf (x) − f (x0 )k ≤ kf (x) − fn (x)k+kfn (x) − fn (x0 )k+fn (x0 ) − f( x0 ) et en utilisant la convergence uniforme pour majorer le premier et le troisième terme, la continuité d’un (fn )n pour le deuxième terme. Montrer ensuite que kf (0)k peut-être rendu aussi petit que l’on veut. ◦ En supposant que A6= ∅, justifier l’existence d’une application f0 et d’une ◦ boule ouverte de rayon dans A. Il existe donc n tel que n1 < . Considérer g définie par g = f0 + n1 et obtenir une contradiction. 4