Chap 15 Fonctions affines ( version prof)

Chap 15 Fonctions affines
I )Définition
Définition :Une fonction affine f est une correspondance qui associe à un nombre x l’unique nombre ax + b
où a et b sont des nombres constants.
Elle se note :
f : x a ax + b
!
Vocabulaire : Le nombre ax + b s’appelle l’image de x par la fonction f et il se note f (x) .
On écrit : f (x) = ax + b
!
Ainsi pour déterminer l’image d’un nombre par la fonction f , on le multiplie par a puis on ajoute b au
!
résultat.
!
!
Remarques : :
• Lorsque b est égal à 0, la fonction f s’écrit : f : x a ax .
Par conséquent, une fonction linéaire est une fonction affine particulière.
• Lorsque a est égal à 0, la fonction f s’écrit : f : x a b .
On dit que f est une fonction constante.
!
!
Exemples :
!
1) f : x a "3x " 2
f est une fonction affine avec a égal à -3 et b égal à -2.
2) h : x a 3x 2 " 5
h n’est pas une fonction affine ( à cause du terme 3x 2 )
!
3) i : x a
!
2
x
3
2!
i est une fonction affine avec a égal à et b égal à 0. C’est aussi une fonction linéaire.
3
4) g : x a "2,7
g est une fonction affine avec a égal à 0 et b égal à -2,7. g est une fonction constante.
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II) Représentation graphique d’une fonction affine
Propriété (admise ) : Dans le plan muni d’un repère, la représentation graphique d’une fonction affine est
une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
Définitions : Soit (d) la droite représentative d’une fonction affine f telle que : f : x a ax + b (avec a et b
nombres constants).
 Le nombre a s’appelle le coefficient directeur de la droite (d) ( de lui dépend l’inclinaison de la pente).
 Le nombre b s’appelle l’ordonnée à l’origine. ( C’est l’ordonnée !
du point d’intersection de la droite (d)
avec l’axe des ordonnées).
 La droite (d) a une équation de la forme : y = ax + b ( Ce qui signifie qu’elle est constituée de tous les
points de coordonnées ( x ; y) avec y = f(x) ).
!
Exercice résolu : Dans un repère du plan, tracer la représentation graphique de la fonction f telle que :
f (x) = "4 x + 3 .
•
!
f est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite (d) non parallèle à l’axe des
ordonnées.
Cherchons les coordonnées de deux points de (d).
f (1) = "4 #1+ 3 = "4 + 3 = "1
donc (d) passe par le point A( 1 ;-1)
f (0) = "4 # 0 + 3 = 0 + 3 = "3
donc (d) passe par le point B ( 0;-3)
!
III) Lire graphiquement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine d’une droite
!
Exercice résolu:
Dans le repère ci-dessous, sont représentées deux droites (d1) et (d2). La droite (d1) est la représentation
graphique d’une fonction affine f et la droite (d2) celle d’une fonction affine g.
1. Lire graphiquement les coefficients directeurs et les ordonnées à l’origine des droites (d1) et (d2).
2. En déduire les expressions algébriques des fonctions affines f et g.
1)
2) La droite (d1) la représentation graphique de la fonction affine f définie par : f(x)=3x+4.
La droite (d2) est la représentation graphique de la fonction affine g définie par : g(x) = - 0,5x+2.
!
!
!
IV) Proportionnalité des accroissements :
Propriété (admise) : Soit f une fonction affine définie par f : x a ax + b où a et b sont deux nombres fixés
Si x1 et x2 sont deux nombres distincts alors :
a=
!
f (x1 ) " f (x 2 ) écart des f (x)
=
x1 " x 2
écart des x
Autrement dit : Les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de x et le coefficient de
proportionnalité est a .
V) Déterminer une fonction affine à partir de deux nombres et de leurs images.
Exercice résolu : Soit f une fonction affine telle que f(4) = 22 et f(-6) = -38 .
Déterminer l’expression algébrique de la fonction f.
Première façon : En utilisant la proportionnalité des accroissements :
•
f est une fonction affine donc son expression algébrique est de la forme : f(x) = ax+b où a et b sont les
coefficients à déterminer.
Calcul de a :
Si x 1 " x2 alors a =
f (x1 ) " f (x 2 )
x1 " x 2
f (4) " f ("6)
4 " ("6)
!
22 "!("38)
a=
10
60
a=
10
a=6
a=
Calcul de b :
On sait que f(4) =22 et que f(x) = 6x+ b
D’où :
6 " 4 + b = 22
24 + b = 22
b = 22 # 24
b = #2
Conclusion : L’expression algébrique de f est : f (x) = 6x " 2
Deuxième façon : En résolvant un système de deux équations à deux inconnues:
!