T D GEOMETRIE AFFINE

ESATIC ANNÉE ACADÉMIQUE 2018-2019
Géométrie affine SRIT 2
FICHE DE T D NO1
Exercice 1. Soit u∈Q. Vérifiez que les deux sous-ensembles Fet Gde Q4respective-
ment définis par les équations
x+y+z−t= 0
x−y+z+t=uet x+y+ 2z+t= 1 x−y+ 2z+ 3t= 2u
sont des sous-espaces affines de Q4, dont on donnera pour chacun un point, l’espace
directeur et la dimension. Pour quelle valeur de u s’intersectent-ils? Donner alors un
point, l’espace directeur et la dimension de l’intersection.
Exercice 2. Soient F1et F2deux sous-espaces affines d’un espace affine E. À quelle
condition F1∪ F2est-il un sous-espace affine?
Exercice 3. Soit Fle sous-espace affine de C4passant par (1; 0; i;−1) et dont l’espace
directeur est engendré par (1; 1; i;−i)et (0; 1 + i; 1; −1) ; donnez un système d’équations
cartèsiennes de F.
Exercice 4. On donne un nombre réel α6= 1. Trouver les applications affines telles que,
si M0désigne l’image de Met M00 celle de M0, on ait −−−−→ M0M00 =α−−−→ MM0.
Exercice 5 (Théorème de Gergonne).Soit un triangle ABC, un point Mtel que (M A),
(MB),(M C)coupent (BC),(CA),(AB)en A,B,C,x,y,zle système de coordonnées
barycentriques de Mtel que x+y+z= 1. Montrer que
A0M
A0A+B0M B0B+C0M C0C= 1.
Exercice 6. Soit un triangle ABC non rectangle et non équilatéral, Dl’orthocentre, Ole
centre du cercle circonscrit, Gle centre de gravité, Ωle centre du cercle des neuf points,
Rle rayon du cercle circonscrit, a,b,cles longueurs des côtés.
1. Montrer que Ωest isobarycentre de A,B,C,D.
2. Montrer que la droite d’Euler de ABC est l’ensemble des Mtels que
(b2−c2)MA2+ (c2−a2)MB2+ (a2−b2)MC2= 0
3. Montrer que ΩA2+ ΩB2+ ΩC2+ ΩD2= 3R2.
4. En déduire que le cercle des neuf points est l’ensemble des Mtels que
MA2+MB2+MC2+MD2= 4R2.
Exercice 7. Soient Aet Bdeux points d’un espace affine Eet fl’application de Edans
Equi à tout point Mde Eassocie le point f(M)défini par
−−−−−→
Mf (M)=4−−→ AM −2−−→ BM.
1

1. Comparer les vecteurs −−−−−−−→ f(M)f(N)et −−→ MN pour tout couple (M, N )de points de
E.
2. En déduire que fest affine. Expliciter sa partie linéaire.
3. En déduire la nature géométrique de f. Préciser ses points fixes.
Exercice 8. Soit Eun espace affine sur un corps Ket soit f:E→Eune application
affine.
1. Démpntrer que l’ensemble {−−−−−→ Mf (M); M∈E}est un sous-espace affine −→ Eet
déterminer sa direction.
2. Que peut-on en déduire pour l’ensemble des points fixes de f?
Exercice 9. Soit E={(x, y, z)∈R3;x+y+ 1 = 0}. Montrer Eest un sous-espace
affine R3et déterminer son espaces directeur.
Exercice 10. Dans le plan affine R3muni du repère (O, e1, e2, e3), on considère l’appli-
cation affine fdéfinie analytiquement par :
x0=1
2x+1 3y+1 6+ 1
y0=1
2x+1 3y+1 6+ 2
z0=1
2x+1 3y+1 6−3
On note −→ fl’application linéaire associée à f.
1. Montrer que −→ fest une projection (On précisera ses caractéristiques). Est-ce que
fest une projection ?
2. Déterminer l’ensemble des vecteurs des translation ttelles que l’application t◦f
est une projection.
Exercice 11. Dans le plan affine R2muni du repère (O, e1, e2), on considère la droite D
d’équation 2x−y+ 2 = 0. Donner les expressions analytiques de la projection sur Det
de la symétrie par rapport à Dtouts deux de direction e1+ 3e2.
Exercice 12. Soit f:R3→R3définie par
f
x
y
z
=1
11 
9x+ 2y−6z+ 38
2x+ 9y+ 6z+ 17
−6x+ 6y−7z−29
1. Montrer que fest affine et déterminer sa partie linéaire ϕ.fadmet elle un point
fixe?
2. Montrer que le plan Pd’équation x−y+ 3z+ 3 = 0 est stable par fet que la
restriction de fàFest une translation de vecteur −→ uà déterminer.
3. Montrer que l’application g=t−−→
u◦fest une symétrie par rapport à Pparallè-
lement à une direction à déterminer.
Exercice 13. Reconnaître les applications suivantes :
2

1. f1:R3→R3
(x, y, z)7→ (−x+ 2y−2z−2,−3y+ 2z+ 6,−4y+ 3z+ 6)
2. f2:R3→R3
(x, y, z)7→ 1
6(3y−3z+ 4,−6x+ 9y−3z+ 4,−6x+ 3y+ 3z+ 4)
3.
f3:R2→R2
(x, y)7→ 1
√5(x+ 2y−1,−2x+y+ 2).
4. f4:R2→R2
(x, y)7→ 1
5(3x−4y+ 20,4x+ 3y−20)
Exercice 14. Soit Eun R−espace a ?ne de dimension 2 et soit Eson espace directeur.
Soit O∈ E, soit (e1, e2)une base de Eet soit Rle repère (O, e1, e2)de E.
1. Soit fl’application affine de Edans Edonnée en coordonnées dans le repère R
par la formule (x, y)7→ (2x−3y+ 5,7x−2y+ 3). Donnez la matrice de fdans
R.
2. Soit O0le point de Ede coordonnées (2,−1); posons e0
1=e1−2e2et e0 2=e1+e2.
Vérifiez que (e0
1, e0 2)est une base de E. Soit R0le repère (O0, e0 1, e0 2)de E; donner
la matrice de passage de RàR0; en déduire la matrice de fdans le repère R0,
puis une définition de fpar une formule en coordonnées dans le repère R0.
3. Trouvez le repère R00 = (O00 , e00
1, e00 2)de Ecaractérisé par la propriété suivante :
si Mest un point de Ede coordonnées (x, y)dans R, ses coordonnées dans R00
sont (x−y+ 3,2x+y−6).
4. Trouvez un repère R000 de Edans lequel fpeut être définie par une formule sans
termes constants.
3