Fonctions linéaires et affines

Maths 3e!
prog 2008
Fonctions linéaires et affines
1. Fonction linéaire
Définition : : Une fonction linéaire est une fonction définie par f : x  ax , où a est un
nombre appelé coefficient de la fonction linéaire.
Exemples : La fonction de calcul du prix par une balance automatique est une
fonction linéaire f : x  ax , où a est le prix au kg et x la masse en kg.
Remarque : La fonction linéaire correspond à une situation de proportionnalité ; le
coefficient de la fonction linéaire est le coefficient de proportionnalité.
Propriété : La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite issue de
l’origine ; pour tracer la représentation graphique d’une fonction linéaire il suffit de
connaître l’image d’un nombre x (différent de zéro) pour tracer le point de coordonnées
(x; f(x)) puis de tracer la droite passant par ce point et l’origine.
E x e m p le : S o it la f o n c t i o n li n é a i r e
f : x  2, 5x ; le calcul de f(2) = 5 permet de
tracer le point de coordonnées (2; 5) , puis la
droite passant par ce point et l’origine.
Remarque : Si le coefficient a de la fonction
linéaire est positif la dro ite monte et
inversement si le coefficient a est négatif la
droite descend.
Propriété : Si on connaît l’image d’un nombre
par une fonction linéaire, on peut déterminer
l’expression de cette fonction linéaire.
En effet, si, par exemple, l’image de -3 est 6
par la fonction linéaire f : x  ax , on peut
écrire que f(−3) = a × (−3) = −3a = 6 ,
d’où a =
6
−3
= 2 ce qui permet de déterminer
complètement la fonction f : x  2x .
F.Bonomi!
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prog 2008
2. Fonction affine
Définition : : Une fonction affine est une fonction définie par f : x  ax + b , où a
s’appelle le coefficient de la fonction affine et b l’ordonnée à l’origine de la fonction.
Exemples : La fonction de calcul de la facture EDF est une fonction affine
f : x  ax + b , où a est le prix du kWh, x le nombre de kWh consommés et b le
montant de l’abonnement pour la période considérée.
Propriété : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite ; pour
tracer la représentation graphique d’une fonction affine il suffit de calculer les images
de deux nombres x afin de construire les points de coordonnées (x; f(x))
correspondants, puis de tracer la droite passant par ces deux points.
E x e m p l e : S o i t l a f o n c t i o n a f fi n e
f : x  2, 5x − 2 ; les calculs de f(0) = −2 et
f(2) = 3 permettent de tracer les point (0; −2)
et (2;3) et la droite passant par ces deux points.
Remarques : • La fonction linéaire est un cas
particulier de fonction affine lorsque b = 0 ;
• Les droites représentant la fonction affine
f : x  ax + b
et la fo n ct i o n li n é a i r e
correspondante g : x  ax sont parallèles ;
• La fonction affine ne correspond pas à une
situatio n de pro po rtio nnalité : en effet
f(0) = a × 0 + b = b , donc l’image de 0 est en
général non nulle (sauf si b = 0 ) et la droite ne
passe pas par l’origine ; le nombre b est appelé
ordonnée à l’origine.
Propriété : Si on connaît les images de deux
nombres par une fonction affine, on peut déterminer l’expression de cette fonction
affine.
Exemple : f(−1) = 5 et f(2) = −1 par f : x  ax + b , on peut écrire que :
f(−1) = a × (−1) + b = −a + b , or f(−1) = 5 et f(2) = a × 2 + b = 2a + b , or f(2) = −1
donc les nombres a et b constituent la solution du système de deux équations à
⎧⎪−a + b = 5
⎧⎪a = −2
deux inconnues : ⎨
, de solution ⎨
⎩⎪2a + b = −1
⎩⎪b = 3
ce qui permet de déterminer complètement la fonction f : x  −2x + 3 .
Remarque : la résolution d’un tel système est toujours possible par substitution.
F.Bonomi!
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