Fonctions linéaires et affines

Fonctions linéaires et affines
1.Fonction linéaire
Définition!:!: Une fonction linéaire est une fonction définie par
f : x ax
, où a est un
nombre appelé coefficient de la fonction linéaire.
Exemples!: La fonction de calcul du prix par une balance automatique est une
fonction linéaire
f : x ax
, où a est le prix au kg et x la masse en kg.
Remarque!: La fonction linéaire correspond à une situation de proportionnalité!; le
coefficient de la fonction linéaire est le coefficient de proportionnalité.
Propriété!: La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite issue de
l’origine!; pour tracer la représentation graphique d’une fonction linéaire il suffit de
connaître l’image d’un nombre x (différent de zéro) pour tracer le point de coordonnées
(x;f(x))
puis de tracer la droite passant par ce point et l’origine.
Exemple!: So it la fo n cti o n li n éa i re
f : x 2, 5x
!; le calcul de
f(2) =5
permet de
tracer le point de coordonnées
(2;5)
, puis la
droite passant par ce point et l’origine.
Remarque!: Si le coefficient a de la fonction
linéaire est positif la droite monte et
inversement si le coefficient a est négatif la
droite descend.
Propriété : Si on connaît l’image d’un nombre
par une fonction linéaire, on peut déterminer
l’expression de cette fonction linéaire.
En effet, si, par exemple, l’image de -3 est 6
par la fonction linéaire
f : x ax
, on peut
écrire que
f(−3) =a×(−3) =−3a =6
,
d’où
a=6
−3
=2
ce qui permet de déterminer
complètement la fonction
f : x 2x
.
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2.Fonction affine
Définition!:!: Une fonction affine est une fonction définie par
f : x ax +b
, où a
s’appelle le coefficient de la fonction affine et b l’ordonnée à l’origine de la fonction.
Exemples!: La fonction de calcul de la facture EDF est une fonction affine
f : x ax +b
, où a est le prix du kWh, x le nombre de kWh consommés et b le
montant de l’abonnement pour la période considérée.
Propriété!: La représentation graphique d’une fonction affine est une droite!; pour
tracer la représentation graphique d’une fonction affine il suffit de calculer les images
de deux nombres x afin de construire les points de coordonnées
(x;f(x))
correspondants, puis de tracer la droite passant par ces deux points.
Exemple!: S o i t l a f o n c t i o n a f fi n e
f : x 2, 5x −2
!; les calculs de
f(0) =−2
et
f(2) =3
permettent de tracer les point
(0; −2)
et
(2;3)
et la droite passant par ces deux points.
Remarques!: •!La fonction linéaire est un cas
particulier de fonction affine lorsque
b=0
!;
•!Les droites représentant la fonction affine
f : x ax +b
e t la f o n c t i o n l i n é a i r e
correspondante
g : x ax
sont parallèles!;
•!La fonction affine ne correspond pas à une
situation de proportionnalité!: en effet
f(0) =a×0+b=b
, donc l’image de 0 est en
général non nulle (sauf si
b=0
) et la droite ne
passe pas par l’origine!; le nombre b est appelé
ordonnée à l’origine.
Propriété : Si on connaît les images de deux
nombres par une fonction affine, on peut déterminer l’expression de cette fonction
affine.
Exemple!:
f(−1) =5
et
f(2) =−1
par
f : x ax +b
, on peut écrire que!:
f(−1) =a×(−1) +b=−a+b
, or
f(−1) =5
et
f(2) =a×2+b=2a +b
, or
f(2) =−1
donc les nombres a et b constituent la solution du système de deux équations à
deux inconnues!:
−a+b=5
2a +b=−1
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
, de solution
a=−2
b=3
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
ce qui permet de déterminer complètement la fonction
f : x −2x +3
.
Remarque!: la résolution d’un tel système est toujours possible par substitution.
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