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Fonctions affines et linéaires.
I.Fonctions linéaires.
1. Forme algébrique.
La forme algébrique d’une fonction linéaire est :
:f x ax
où a est un nombre fixé.
()f x ax
Exemple :
:3f x x
est une fonction linéaire ( a = 3 ).
: 2 1g x x
n’est pas une fonction linéaire.
: ² 4h x x 
n’est pas une fonction linéaire.
2. Tableau de valeurs.
Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de
proportionnalité ; pour calculer l’image d’un nombre on le
multiplie toujours par le même nombre : le coefficient a
Exemple :
On considère la fonction linéaire suivante :
:3f x x
Remplissons son tableau de valeurs :
x
-1
-2
-4
0
1
2
3
4
5
f(x)
-3
-6
-12
0
3
6
9
12
15
On remarque que pour « passer » d’une ligne à l’autre on multiplie
toujours par le même nombre : le coefficient a.

3. Représentation graphique.
La représentation graphique d’une fonction linéaire
:f x ax
est une droite passant par l’origine.
Le nombre a s’appelle le coefficient directeur de la droite car
c’est lui qui donne la direction de la droite.
Exemple :
On considère la fonction linéaire suivante :
:3f x x
et utilisons le tableau des valeurs au dessus pour représenter
la fonction f.

II. Fonctions affines.
1. Forme algébrique.
La forme algébrique d’une fonction affine est :
:f x ax b
où a et b sont des nombres fixés.
()f x ax b
Exemple :
: 2 4f x x 
est une fonction affine avec : a=2 et b= -4.
: 3 5g x x
est une fonction affine avec : a=5 et b= -3.
Remarque :
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière où b=0.

2. Proportionnalité des accroissements.
Propriété :
Soit f une fonction affine définie par une expression de la forme f(x) = ax + b (où a et b sont des nombres
relatifs). Si on note yA et yB les images respectives par f de deux nombres différents xA et xB , alors :
Error!
=
Error!
= a .
Application : (détermination de l’équation d’une droite)
1/ Déterminer l’expression d’une fonction affine f sachant que f(1) = 2 et que f(3) = – 4.
La fonction f étant affine, son expression est de la forme f(x) = ................, et on cherche à déterminer la
valeur des nombres ...... et ...... .
On sait que : ...... =
Error!
=
Error!
=
Error!
= ...... .
Donc l’expression de f est de la forme f(x) = ................, et il reste à déterminer la valeur du nombre ......
.
L’image du nombre ...... par f est ......, on doit donc avoir .................... = ...... .
On en déduit que ...... = ..................... = ...... .
Finalement, l’expression cherchée pour f est : f(x) = ................. .
2/ Déterminer l’équation de la droite (D) passant par les points A(– 2 ; 3) et B(2 ; – 5).
L’équation de la droite (D) est de la forme : .............................. .
Le coefficient directeur vaut : ...... =
Error!
=
Error!
= ...... .L’équation est de la forme : ..............
Pour déterminer ensuite l’ordonnée à l’origine, on traduit l’appartenance d’un des deux points à la
droite :
......(...... ; ......)  (D) donc ........................ = ....... .
On en déduit que : ...... = ..................... = ...... .
Finalement l’équation cherchée pour la droite (D) est : .............................. .
xB - xA
yB - yA
xA
xB
yA = f(xA) = axA + b
yB = f(xB) = axB + b
1
a
y = ax + b
A
B
Les accroissements en ordonnées
sont proportionnels aux
accroissements en abscisses.
Le coefficient de proportionnalité
des accroissements est le
coefficient directeur de la droite :
le nombre a.