Fonctions affines et linéaires. I.Fonctions linéaires. 1. Forme algébrique. La forme algébrique d’une fonction linéaire est : où a est un nombre fixé. f : x ax f ( x) ax Exemple : f : x 3x est une fonction linéaire ( a = 3 ). g : x 2 x 1 n’est pas une fonction linéaire. h : x x² 4 n’est pas une fonction linéaire. 2. Tableau de valeurs. Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité ; pour calculer l’image d’un nombre on le multiplie toujours par le même nombre : le coefficient a Exemple : On considère la fonction linéaire suivante : f : x Remplissons son tableau de valeurs : x f(x) -1 -3 -2 -6 -4 -12 0 0 1 3 2 6 3 9 3x 4 12 On remarque que pour « passer » d’une ligne à l’autre on multiplie toujours par le même nombre : le coefficient a. 5 15 3. Représentation graphique. La représentation graphique d’une fonction linéaire f : x ax est une droite passant par l’origine. Le nombre a s’appelle le coefficient directeur de la droite car c’est lui qui donne la direction de la droite. Exemple : On considère la fonction linéaire suivante : f : x 3x et utilisons le tableau des valeurs au dessus pour représenter la fonction f. II. Fonctions affines. 1. Forme algébrique. La forme algébrique d’une fonction affine est : où a et b sont des nombres fixés. f : x ax b f ( x) ax b Exemple : f : x 2 x 4 est une fonction affine avec : a=2 et b= -4. g:x 3 5 x est une fonction affine avec : a=5 et b= -3. Remarque : Une fonction linéaire est une fonction affine particulière où b=0. 2. Proportionnalité des accroissements. Propriété : Soit f une fonction affine définie par une expression de la forme f(x) = ax + b (où a et b sont des nombres relatifs). Si on note yA et yB les images respectives par f de deux nombres différents xA et xB , alors : Error! = Error! = a . yA = f(xA) = axA + b y = ax + b B yB = f(xB) = axB + b yB - yA a A 1 xB - xA xA xB Les accroissements en ordonnées sont proportionnels aux accroissements en abscisses. Le coefficient de proportionnalité des accroissements est le coefficient directeur de la droite : le nombre a. Application : (détermination de l’équation d’une droite) 1/ Déterminer l’expression d’une fonction affine f sachant que f(1) = 2 et que f(3) = – 4. La fonction f étant affine, son expression est de la forme f(x) = ................, et on cherche à déterminer la valeur des nombres ...... et ...... . On sait que : ...... = Error! = Error! = Error! = ...... . Donc l’expression de f est de la forme f(x) = ................, et il reste à déterminer la valeur du nombre ...... . L’image du nombre ...... par f est ......, on doit donc avoir .................... = ...... . On en déduit que ...... = ..................... = ...... . Finalement, l’expression cherchée pour f est : f(x) = ................. . 2/ Déterminer l’équation de la droite (D) passant par les points A(– 2 ; 3) et B(2 ; – 5). L’équation de la droite (D) est de la forme : .............................. . Le coefficient directeur vaut : ...... = Error! = Error! = ...... .L’équation est de la forme : .............. Pour déterminer ensuite l’ordonnée à l’origine, on traduit l’appartenance d’un des deux points à la droite : ......(...... ; ......) (D) donc ........................ = ....... . On en déduit que : ...... = ..................... = ...... . Finalement l’équation cherchée pour la droite (D) est : .............................. .