Série 1 : nombres complexes

Universit´e Denis Diderot (Paris 7) MM1
Math´ematiques 16 septembre 2013
Nombres complexes
1. Soient z1= 2√6(1 + i) et z2=√2(1 + i√3).
(a) D´eterminer les formes exponentielles et trigonom´etriques de z1et z2.
(b) D´eterminer la forme cart´esienne de z=z1
z2.
(c) Calculer les formes exponentielle et trigonom´etrique de z.
(d) En d´eduire les valeurs de cos π
12 et sin π 12 .
2. D´eterminer les nombres complexes ztels que z2+z+ 1 est r´eel.
3. D´eterminer les nombres complexes ztels que z2+z−1 = 0.
4. D´eterminer les nombres complexes ztels que z2−2z+ 1 = 0.
5. Pour n∈N, calculer
(1 + i)n+ (1 −i)net (1 + i)n−(1 −i)n.
6. Soient z1=√6+i√2
2,z2= 1 −i,z=z1 z2. D´eterminer le module et un
argument de chacun des nombres complexes z1, z2, z. En d´eduire
cos 5π
12 et sin 5π 12 .
7. R´esoudre dans Cl’´equation (−4−2i)z2+ (7 −i)z+ 1 + 3i= 0.
8. R´esoudre dans Cl’´equation z2+ (1 + 4i)z−5−i= 0.
9. R´esoudre dans Cl’´equation z2−3(i+ 1)z+ 4i= 0.
10. R´esoudre dans Cl’´equation z2−(1 −i)z−2 + i= 0.
11. R´esoudre dans Cl’´equation z2+ (1 + 4i)z−5−i= 0.
12. R´esoudre dans Cl’´equation 1
2z2+ 2√2z+ 3 + i= 0.
13. R´esoudre dans Cl’´equation z4−(2+i)z2+1+i= 0.On pourra commencer
par r´esoudre l’´equation Z2−(2 + i)Z+ 1 + i= 0
14. D´eterminer tous les nombres complexes ztels que
z5= 16 −16 i √3.
15. D´eterminer tous les nombres complexes ztels que :
z7= 64√3 + 64i.
16. Calculer les racines 4i`eme de 1 + i√3. En d´eduire les valeurs de cos 13π
12 et
sin 13π
12 .
17. Calculer cos(4θ) et sin(4θ).
18. Lin´eariser cos5θet sin5θ.
19. R´esoudre dans Cles ´equations z5+ 1 = 0 et z6=1+i√3
1−i√3.
20. Soient θ∈]0, π[ et n∈N∗. Calculer Pn
k=0 sin(kθ)

21. Soit z∈S1. Montrer que |1 + z|>1 ou |1 + z2|>1. Puis donner une
interpr´etation g´eom´etrique de ces deux in´egalit´es.
22. Dans cet exercice, αd´esigne un nombre r´eel tel que cos(α)6= 0.
(a) Rappeler les d´efinitions du module et d’un argument d’un nombre
complexe z6= 0.
(b) Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe −i.
(c) Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe z0donn´e par :
z0=1 + itan(α)
1−itan(α).
(d) Trouver les nombres r´eels αv´erifiant l’´equation :
1 + itan(α)
1−itan(α)2
=−i.
23. On consid`ere les ´equations suivantes d’inconnue z∈C:
E:z5+ 1 = 0 E′:z4+z= 0
(a) Ecrire −1 sous forme polaire.
(b) R´esoudre l’´equation (E) dans C.
(c) Soit zune solution non nulle de (E′), montrer que |z|= 1, puis que
zest solution de (E).
(d) R´eciproquement, montrer que les solutions de l’´equation (E) sont
solutions de (E′).
(e) Finalement r´esoudre l’´equation (E′) dans C.
24. (a) R´esoudre dans Cl’´equation d’inconnue Z∈C:Z2+ 1 = 0.
(b) R´esoudre dans Cl’´equation d’inconnue z∈C: (z2+z+ 1)2+ 1 = 0.
25. On se propose de r´esoudre dans Cl’´equation d’inconnue z∈C:
z3−(3 + 4i)z2+ (1 + 11i)z−10i+ 10 = 0.
(a) Chercher d’abord une solution imaginaire pure z=iy avec y∈R.
(b) Montrer que
z3−(3+ 4i)z2+(1+11i)z−10i+10 = (z−2i)z2−(3+2i)z+5+5i.
(c) Finalement calculer toutes les solutions de
z3−(3 + 4i)z2+ (1 + 11i)z−10i+ 10 = 0.
26. (a) R´esoudre dans C, l’´equation d’inconnue z∈C:
1 + z+z2+z3+z4+z5+z6= 0.
Indication : observer que, pour tout z∈C, on a :
(1 −z)(1 + z+z
2+z 3+z 4+z 5+z 6) = 1 −z 7
.

(b) Soit wune solution quelconque de l’´equation 1 + z+z2+z3+z4+
z5+z6= 0. V´erifier que 1 + w2k6= 0 pour k= 1,2,3, puis que
w7= 1, w8=w, w9=w2, w10 =w3, w11 =w4, w12 =w5.
(c) Notons encore wune solution quelconque de l’´equation 1 + z+z2+
z3+z4+z5+z6= 0. En utilisant la question pr´ec´edente, d´emontrer
que
w
1 + w2+w2 1 + w4+w3 1 + w6=−2.
(d) D´eduire de la question pr´ec´edente la valeur de
1
cos 2π
7
+1
cos 4π
7
+1
cos 6π
7
.
Indication : observer que
w
1 + w2+w2 1 + w4+w3 1 + w6=1 w+w−1+1 w2+w−2+1 w3+w−3.