nombres parfaits - Colegio Francia

DIVISION EUCLIDIENNE FICHE 4
Théorème et définition
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple
);( rq
d'entiers vérifiant à la fois :
rbqa
et
br 0
.
L'opération qui à
);( ba
associe
);( rq
est la division euclidienne de a par b ; q est le quotient, r le reste. a
s'appelle le dividende et b le diviseur.
Idée de démonstration : On admettra facilement que l'entier a se trouve encadré entre deux multiples de b
consécutifs, donc dans un unique intervalle de la forme
)1(; qbbq
.
Puisque
)1(  qbabq
, on a :
bbqa0
et il reste à poser
bqar 
.
Exemples :
114a
;
8b
: on trouve
14q
et
2r
. En effet,
2148114 
.
Remarques :
ab
si et seulement si le reste r est nul.
b
r
q
b
a
avec
10  b
r
, donc q est la partie entière de
b
a
:
b
a
q
.
Le reste r ne peut prendre que les valeurs entre 0 et
1b
. b étant fixé, les entiers relatifs peuvent donc être classés selon leur
reste dans la division euclidienne par b.
Si
2b
, les entiers se partagent entre les nombres pairs (
0r
) qui s'écrivent sous la forme
qa 2
et les entiers impairs
(
1r
) qui s'écrivent sous la forme
12  qa
.
Si
3b
, les entiers peuvent s'écrire sous l'une et une seule des trois formes :
qa 3
,
13  qa
et
23  qa
.
Si
10b
, r est le chiffre des unités de a.
Dans la définition de la division euclidienne, on pourra admettre un diviseur b négatif, la condition sur le reste r s'écrivant alors
br 0
.
Ex 4.1 Déterminer le quotient q et le reste r de la division euclidienne de a par b.
1.
117a
28b
2.
317a
21b
3.
9991a
4b
4.
849a
13b
5.
5641a
156b
6.
671a
6b
7.
00010a
11b
Ex 4.2 Sachant qu'il existe un entier q tel que
3513100100  q
, écrire la division euclidienne de
100
100
par 13.
Ex 4.3 Démontrer que si le nombre entier naturel n n'est pas un multiple de 3 alors
1
2n
est multiple de 3.
Ex 4.4 On sait que
5452635025287 
.
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
1. 287 025 par 635
2. - 287 025 par 635
3. 287 025 par 452
4. - 287 025 par 452.
Ex 4.5 Le dividende d'une division est inférieur à 900. Le quotient est 72 et le reste 12.
On cherche le diviseur et le dividende. Expliquer pourquoi il n'y a pas de solution.
Ex 4.6 Le quotient d'un entier a par un entier naturel non nul b est 17 et le reste est 25.
Quelle est la plus petite valeur possible du diviseur et du dividende ?
Ex 4.7 Soit a et b deux entiers naturels. Les restes de la division euclidienne de a et b par 11 sont respectivement 2
et 7. Déterminer le reste de la division euclidienne des nombres
ba
et
ba
par 11.
En déduire celui de
22 ba 
.
Ex 4.8 Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne :
1. de
1
2 nn
par
1n
;
2. de
1
2 nn
par
2n
; (distinguer les cas
1n
et
)1n
;
3. de
12 
n
par
1
2n
.