nombres parfaits - Colegio Francia

DIVISION EUCLIDIENNE
FICHE 4
Théorème et définition
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
a  bq  r et 0  r  b .
Il existe un unique couple ( q ; r ) d'entiers vérifiant à la fois :
L'opération qui à ( a ; b) associe ( q ; r ) est la division euclidienne de a par b ; q est le quotient, r le reste. a
s'appelle le dividende et b le diviseur.
Idée de démonstration : On admettra facilement que l'entier a se trouve encadré entre deux multiples de b
consécutifs, donc dans un unique intervalle de la forme bq ; b(q  1) .
Puisque bq  a  b(q  1) , on a : 0  a  bq  b et il reste à poser r  a  bq .
Exemples : a  114 ; b  8 : on trouve q  14 et r  2 . En effet, 114  8 14  2 .
Remarques :
b a si et seulement si le reste r est nul.
a
r
r
a
a
 q  avec 0   1 , donc q est la partie entière de : q    .
b
b
b
b
b 
Le reste r ne peut prendre que les valeurs entre 0 et b  1 . b étant fixé, les entiers relatifs peuvent donc être classés selon leur
reste dans la division euclidienne par b.
Si b  2 , les entiers se partagent entre les nombres pairs ( r
 0 ) qui s'écrivent sous la forme a  2q et les entiers impairs
( r  1 ) qui s'écrivent sous la forme a  2q  1 .
b  3 , les entiers peuvent s'écrire sous l'une et une seule des trois formes : a  3q , a  3q  1 et a  3q  2 .
Si b  10 , r est le chiffre des unités de a.
Si
Dans la définition de la division euclidienne, on pourra admettre un diviseur b négatif, la condition sur le reste r s'écrivant alors
0r  b .
Ex 4.1 Déterminer le quotient q et le reste r de la division euclidienne de a par b.
a  1564
1.
5.
a  117
b  28
2.
a  317
b  21
6.
a  671
a  1999
3.
b4
a  10 000
7.
4.
a  849
b  13
b  156
b6
b  11
Ex 4.2 Sachant qu'il existe un entier q tel que 100100  13q  35 , écrire la division euclidienne de 100100 par 13.
Ex 4.3 Démontrer que si le nombre entier naturel n n'est pas un multiple de 3 alors n 2  1 est multiple de 3.
Ex 4.4 On sait que 287 025  635  452  5 .
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
1. 287 025 par 635
2. - 287 025 par 635
3. 287 025 par 452
4. - 287 025 par 452.
Ex 4.5 Le dividende d'une division est inférieur à 900. Le quotient est 72 et le reste 12.
On cherche le diviseur et le dividende. Expliquer pourquoi il n'y a pas de solution.
Ex 4.6 Le quotient d'un entier a par un entier naturel non nul b est 17 et le reste est 25.
Quelle est la plus petite valeur possible du diviseur et du dividende ?
Ex 4.7 Soit a et b deux entiers naturels. Les restes de la division euclidienne de a et b par 11 sont respectivement 2
et 7. Déterminer le reste de la division euclidienne des nombres a  b et a  b par 11.
2
2
En déduire celui de a  b .
Ex 4.8 Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne :
1.
de n 2  n  1 par n  1 ;
2.
de n 2  n  1 par n  2 ; (distinguer les cas n  1 et n  1) ;
3.
de 2 n  1 par 2 n 1 .