Comportement d`une onde à l`interface entre un milieu non

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Université du Maine - Faculté des Sciences
Sujet
Comportement d’une onde à l’interface entre un milieu nonabsorbant (air) et un milieu conducteur
Cas d’un conducteur réel
On choisit :
!"
la direction de propagation le long de l’axe Oz
!"
l’onde incidente polarisée rectiligne dans la direction Ox
!"
Une incidence normale
x
Réfléchi
z
Incident
Transmis avec amortissement
Champs incidents :
!
!
Ei % E 0 e j( $t # kz )u x
! !
!
k &E
Bi %
$
=
E 0 j( $t # kz ) !
e
uy
c
Champs réfléchis :
!
!
!
Er % rE 0i e j( $t ' kz )u x
!
!
!
!
E
k r & Er
Br %
% #r 0 e j( $t ' kz )u y
$
c
Champs transmis:
!
!
!
E t % tE 0i e #k ' ' z e j( $t # k ' z )u x
!
!
E
B t % t(1 # i) 0 e # k ' ' z e j( $t # k ' z )u y
($
Les conditions de passage à l’interface permet de déduire les coefficients de réflexion et transmission .
!
!
!
Continuité de la composante tangentielle du champ électrique : Ei0 ' rEi0 % tEi0
Continuité de la composante tangentielle du champ magnétique car les courants induits dans le conducteur sont volumique:
!
!
Ei0 rEi0 t(1 # i) !
E i0
#
%
c
c
($
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Sujet
D’ou les coefficients de réflexion et transmission sont :
(i # 1)c ' ($
(1 # i)c ' ($
2($
t%
(1 # i)c ' ($
r%
Problème de Conservation de l’énergie à l’interface milieu non-absorbant-conducteur
On détermine les vecteurs de Poynting pour les ondes incidente, réfléchie et transmise.
Onde incidente
!
!
Ei % E0 cos($t # kz )u x
!
!
E
Bi % 0 cos( $t # kz )u y
c
!
!
! Ei & Bi E 2 0
!
!
E 20 !
donc * %
cos 2 ($t # kz )u z + * %
uz
%
c) 0
2c) 0
)0
Onde réfléchie
Le coefficient de réflexion est complexe et on utilisera les notations r % r0 ' ir1
Les parties réelles et imaginaires des champs réfléchis sont :
!
!
Er % E 0 ,r0 cos( $t ' kz ) # r1 sin($t ' kz )-u x
!
!
E
Bi % 0 ,# r0 cos($t ' kz ) ' r1 sin($t ' kz )-u y
c
!
!
! Er & Br E 20 3# r0 2 cos2 ($t # kz ) ' 2r0r1 cos( $t # kz ) sin( $t # kz ) ' 0 !
1
.u z
%
donc * %
)0
c) 0 1# r 2 sin2 ($t # kz )
.
2 1
/
!
E 20 2 !
r uz
+ *r %
2c) 0
Onde transmise
En utilisant la notation t % t 0 ' it1 , les parties réelles des champs électriques et magnétiques sont :
!
!
E r % E 0 e #k " z ,t 0 cos($t # k ' z ) # t 1 sin($t # k ' z )-u x
!
!
E
B i % 0 e #k " z 4,( t 0 ' it 1 )(1 # i)(cos($t ' kz ) ' i sin($t ' kz )-u y
($c
!
E
B i % 0 e #k " z [t 0 (cos($t ' kz ) ' sin($t ' kz )) ' t 1 (cos($t ' kz ) # sin($t ' kz ))]
($c
3t 2 cos 2 ($t # k ' z ) ' t 2 cos($t # k ' z ) sin($t # k ' z ) '
0
0
!
!
0
.
2
2k " z 1
#
!
E & Bt
E 0e
1# 2t t cos($t # k ' z ) sin($t # k ' z ) ' t t cos 2 ($t # k ' z ) #
.u!
%
donc * t % t
0 1
0 1
. z
)0
($c) 0 1
1# t t sin 2 ($t # kz ) ' t 2 sin 2 ($t # kz ) # t 2 cos( $t # k ' z ) sin( $t # k ' z ).
0 1
1
1
21
/.
!
E 2 0 e #2k " z 2 !
+ *t %
t uz
2($c) 0
Cas d’un conducteur parfait
Un conducteur parfait possède une conductivité infinie. Compte tenu de la loi d’ohm local, la densité de courant ne pouvant
être que fini impose que le champ électrique dans le conducteur parfait est nul. L’onde électromagnétique ne peut pénétrer
dans le conducteur parfait. Une onde incidente sera entièrement réfléchie. Si on additionne les champs incident et réfléchi, on
trouve (r=-1) :
!
!
!
!
!
Ei ' Er % E 0 e j( $t # kz )u x # E 0 e j( $t ' kz )u x % #2 jE 0 sin kze j$t u x
C’est à dire l’existence d’un système d’ondes stationnaires avec un nœud de champ électrique sur la surface du conducteur
parfait.
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Sujet
D’autre part, le calcul du champ magnétique au voisinage immédiat du conducteur parfait dans le milieu non absorbant donne :
!
!
!
!
E
E
2E0 j$t !
Bi ( z % 0 ' , t ) ' Br % 0 e j( $t )uy ' 0 e j( $t )u %
e uy
c
c
c
Ceci montre que le champ magnétique total au côté du milieu non absorbant est non nulle. Or dans le conducteur le champ
magnétique et donc l’excitation magnétique l’est. Don il existe une discontinuité de l’excitation magnétique :
!
!
2E 0 j$t !
Htot ( z % 0 ' , t ) # Htot ( z % 0 # , t ) %
e uy
)0c
On en déduit d’après les conditions de passage l’existence d’une densité de courant superficiel donnée par :
!
!
!
!
!
2E 0
js libre % (Htot (0 ' , t ) # Htot (0 # , t )) & u z %
cos($t )u x
)0c
Ce courant n’est en réalité que l’intégration de la densité de courant volumique sur une longueur égale à l’épaisseur de peau.
Récapitulatif
E. Pression de radiation dans le cas d’un conducteur réel
Cas d’un conducteur réel
Du fait de la présence de courant volumique, le conducteur sera soumis à des forces qu’on se propose d’expliciter.
Soit un élément de volume d5 % dSdz , il est parcouru par un courant jd5 . Sous l’action du champ magnétique, une force est
Densité de courant volumique
Onde
Incidente
Conducteur
subie :
! !
!
!
!
d f % j d5 & B t % 6E t & B t d5
En introduisant l’expression du vecteur de Poynting :
!
!
d f % 6) 0 * t dzdSu z
La force totale sur un tube de surface dS et de longueur s’étendant sur le demi-espace z>0 est :
df % 6) 0 dS
On définit la pression de radiation par p %
Or
* t (0 ) % T * i (0) et * t
df
ds
8
70
* t dz % 6) 0 dS * t ( z % 0 )
% 6) 0 * t ( z % 0)
8
70
e
#
2z
( dz
(
2
E02
E02
4( 2 $2
2
%
t %
.
2($) 0
2($) 0 (($ ' c )2 ' c 2
Et compte tenu du pouvoir réflecteur et de la transmittance dans le cas d’un bon conducteur :
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4 9 1#
2($
c
et
T%
2($
c
et donc et la pression de radiation est
p%
df
ds
= : 0 E 0i
2
Cas d’un conducteur parfait
Densité de courant surfacique
Onde
Incidente
Conducteur parfait
Les courants surfaciques sont caractérisés par une densité (voir § précédent) :
!
!
2E0
js %
cos( $t )u x
) 0c
Un courant surfacique dans une bande dxdy , subit la force de Laplace :
! !
!
d f % js dxdy & Bi ( z % 0)
Avec
! 2E 2
!
!
E0
0
cos($t )u y , la force est donnée par d f %
cos 2 ($t )dxdyu z .
2
c
) 0c
!
La valeur moyenne dans le temps de la force est < d f ;%
La pression de radiation est donc donnée par p %
df
ds
E02
) 0c
2
= : 0E 20i .
!
dxdyu z
Sujet