Comportement d`une onde à l`interface entre un milieu non

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Comportement d’une onde à l’interface entre un milieu non-
absorbant (air) et un milieu conducteur
Cas d’un conducteur réel
On choisit :
!" la direction de propagation le long de l’axe Oz
!" l’onde incidente polarisée rectiligne dans la direction Ox
!" Une incidence normale
Champs incidents :
x
)kzt(j
0i ueEE !
!#$
%
$
&
%Ek Bi
!!
!=y
)kzt(j
0ue
c
E!
#$
Champs réfléchis :
x
)kzt(j
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rueErE !
!! '$
%
y
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0rr
rue
c
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r
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B!
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Champs transmis:
x
)z'kt(jz''k
i0
tueeEtE !
!! #$#
%
y
)z'kt(jz''k
0
tuee
E
)i1(tB !
!#$#
($
#%
Les conditions de passage à l’interface permet de déduire les coefficients de réflexion et transmission .
Continuité de la composante tangentielle du champ électrique : 0i0i0i EtErE
!!! %'
Continuité de la composante tangentielle du champ magnétique car les courants induits dans le conducteur sont volumique:
0i
0i0i E
)i1(t
c
Er
c
E!
!!
($
#
%#
z
x
Incident
Réfléchi
Transmis avec amortissement

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D’ou les coefficients de réflexion et transmission sont :
($'#
($
%
($'#
($'#
%
c)i1(
2
t
c)i1(
c)1i(
r
Problème de Conservation de l’énergie à l’interface milieu non-absorbant-conducteur
On détermine les vecteurs de Poynting pour les ondes incidente, réfléchie et transmise.
Onde incidente
z
0
0
2
z
2
0
0
2
0
ii
y
0
i
x0i
u
c2
E
u)kzt(cos
c
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donc
u)kztcos(
c
E
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!
!
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&
%*
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#$%
Onde réfléchie
Le coefficient de réflexion est complexe et on utilisera les notations 10 irrr '%
Les parties réelles et imaginaires des champs réfléchis sont :
,-
,-
z
2
0
0
2
r
z
22
1
10
2
2
0
0
0
2
0
rr
y10
0
i
x100r
ur
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E
u
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)kztsin()kztcos(rr2)kzt(cosr
c
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donc
u)kztsin(r)kztcos(r
c
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B
u)kztsin(r)kztcos(rEE
!
!
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0
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1
2
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'$#'$%
Onde transmise
En utilisant la notation 10 ittt '% , les parties réelles des champs électriques et magnétiques sont :
,-
,-
z
2
0
z"k2
0
2
t
z
2
1
22
1
2
10
2
1010
2
0
2
2
0
0
z"k2
0
2
0
tt
t
10
z"k0
i
y10
z"k
0
i
x10
z"k
0r
ut
c2
eE
u
)z'ktsin()z'ktcos(t)kzt(sint)kzt(sintt
)z'kt(costt)z'ktsin()z'ktcos(tt2
)z'ktsin()z'ktcos(t)z'kt(cost
c
eE
BE
donc
))]kztsin()kzt(cos(t))kztsin()kzt(cos(t[e
c
E
B
u)kztsin(i)kzt)(cos(i1)(itt(e
c
E
B
u)z'ktsin(t)z'ktcos(teEE
!
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.
.
.
.
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1
1
1
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3
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'$''$#'4
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#
#
#
#
Cas d’un conducteur parfait
Un conducteur parfait possède une conductivité infinie. Compte tenu de la loi d’ohm local, la densité de courant ne pouvant
être que fini impose que le champ électrique dans le conducteur parfait est nul. L’onde électromagnétique ne peut pénétrer
dans le conducteur parfait. Une onde incidente sera entièrement réfléchie. Si on additionne les champs incident et réfléchi, on
trouve (r=-1) :
x
tj
0x
)kzt(j
0x
)kzt(j
0
ri ukzesinjE2ueEueEEE !!!
!! $'$#$ #%#%'
C’est à dire l’existence d’un système d’ondes stationnaires avec un nœud de champ électrique sur la surface du conducteur
parfait.

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D’autre part, le calcul du champ magnétique au voisinage immédiat du conducteur parfait dans le milieu non absorbant donne :
y
tj
0
)t(j
0
)t(j
0
r
iue
c
E2
ue
c
E
yue
c
E
B)t,0z(B !!!
!! $$$' %'%'%
Ceci montre que le champ magnétique total au côté du milieu non absorbant est non nulle. Or dans le conducteur le champ
magnétique et donc l’excitation magnétique l’est. Don il existe une discontinuité de l’excitation magnétique :
y
tj
0
0
tottot ue
c
E2
)t,0z(H)t,0z(H !
!! $#'
)
%%#%
On en déduit d’après les conditions de passage l’existence d’une densité de courant superficiel donnée par :
x
0
0
ztottots u)tcos(
c
E2
u))t,0(H)t,0(H(j libre
!!
!!! $
)
%&#% #'
Ce courant n’est en réalité que l’intégration de la densité de courant volumique sur une longueur égale à l’épaisseur de peau.
Récapitulatif
E. Pression de radiation dans le cas d’un conducteur réel
Cas d’un conducteur réel
Du fait de la présence de courant volumique, le conducteur sera soumis à des forces qu’on se propose d’expliciter.
Soit un élément de volume dSdzd %5 , il est parcouru par un courant 5jd . Sous l’action du champ magnétique, une force est
subie :
5&6%&5% dBEBdjfd ttt
!!!!
!
En introduisant l’expression du vecteur de Poynting :
zt0 udzdSfd !
!*6)%
La force totale sur un tube de surface dS et de longueur s’étendant sur le demi-espace z>0 est :
dze)0z(dSdzdSdf 0
z2
t0
0t0 77 8(
#
8%*6)%*6)%
On définit la pression de radiation par 2
)0z(
ds
df
pt0
(
%*6)%%
Or )0(T)0( it *%* et 22
22
0
2
0
2
0
2
0
tc)c(
4
.
2
E
t
2
E
''($
$(
($)
%
($)
%*
Et compte tenu du pouvoir réflecteur et de la transmittance dans le cas d’un bon conducteur :
Conducteur
Onde
Incidente
Densité de courant volumique

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c
2
Tet
c
2
1($ %
($
#94
et donc et la pression de radiation est ds
df
p%=2
i00 E
:
Cas d’un conducteur parfait
Les courants surfaciques sont caractérisés par une densité (voir § précédent) :
x
0
0
su)tcos(
c
E2
j!
!$
)
%
Un courant surfacique dans une bande dxdy , subit la force de Laplace :
)0z(Bdxdyjfd is %&% !!
!
Avec y
0u)tcos(
c
E!
$, la force est donnée par z
2
2
0
2
0udxdy)t(cos
c
E2
fd !
!$
)
%.
La valeur moyenne dans le temps de la force est z
2
0
2
0udxdy
c
E
fd !
!
)
;%<
La pression de radiation est donc donnée par ds
df
p%=2i00E:.
Conducteur parfait
Onde
Incidente
Densité de courant surfacique