Exercice II Le rugby, sport de contact et d`évitement (8 points)

Bac S Liban 2013 http://labolycee.org
EXERCICE II : LE RUGBY, SPORT DE CONTACT ET D’EVITEMENT
1. Le rugby, sport de contact
1.1. (1 pt) D’après la première loi de Newton ou principe d’inertie un solide au repos est soumis
à des forces qui se compensent. Ces forces sont le poids et la réaction R du plan :
NxxgmRPRP BBB 3 101,18,9110.0  
1.2. (1 pt) Le système S = { joueur A + joueur B } étant supposé isolé, la quantité de
mouvement du système S est conservée avant et après l’impact d’après la seconde loi de
Newton :
').(' donc 0
'
vmmppv
pppO
dt
pd
F
BAAB
BA
ext
1.3 (1pt)
1
m.s6,20,5
115110
115
'
.
)(
'
').(.
').(
xv
v
mm m
v
vmmvm
vmmp
A
BA
A
BAAA
BAA 
2. Le rugby, sport d’évitement.
2.1. Étude du mouvement du ballon
2.1.1. ( 1 pt)
système : { ballon }
référentiel : Terre supposé galiléen
force extérieure s’exerçant sur le ballon : vecteur poids
P m.g
(les forces dues à l’air sont
négligées)
deuxième loi de Newton appliquée au ballon donne :
am
dt
vd
m
dtvmd dt
pd
PFext
 .
)(.
.
).(
car m = constante
jaiajg
ag
amgmP
yx
...
..
ax = 0 et ay = -g = -9,8 m.s-2
2.1.2. (2 pts 0,75+0,75+0,5)
Dans le repère cartésien
),,( jiOR 
A
B
vA
vB  0
Avant impact
Après impact
A
B
vS
sol

jvivv ooo
.sin..cos.
A.N
vox =
cos.
o
v
=10xcos60=5,00 m.s-1
voy =
sin.
o
v
=10xsin60=8,66 m.s-1
Le point M étant confondu avec l’origine ses coordonnées à t = 0 s sont : xo = 0 m ; yo = 0 m
2.1.3
Les équations horaires de la vitesse égales aux primitives des équations horaires des coordonnées de l’accélération
2
1.
0
ktgv
kv
v
ga
a
ay
x
y
x
Les constantes k1 et k2 sont déterminées grâce aux conditions initiales de la vitesse (t = 0 s)
vx(0) =
cos.
o
v
=k1
vy(0) =
sin.
o
v
=
2
0. kg 
k1 =
cos.
o
v
k2 =
sin.
o
v
sin..
cos.0
oy
ox
y
xvtgv
vv
v
ga
a
a
x1
y2
vC
vv g t C
où C1 et C2 sont des constantes d’intégration qui dépendent des conditions initiales.
Or
0
v(t 0) v
avec
0x 0
00y 0
v v .cos
vv v .sin
donc
10
20
C v .cos
0 C v .sin
x0
y0
v v .cos
vv g t v .sin
Et :
dOM vdt
soit
0
0
dx v .cos
dt
vdy g t v .cos
dt
donc
01
202
x(t) v .cos .t C'
OM 1
y(t) g t v .sin . t C'
2
où C’1 et C’2 sont des constantes d’intégration.
Or
OM(t 0) 0
donc
1
2
0 C' 0
0 0 C' 0
Finalement :
0
20
x(t) v .cos .t
OM 1
y(t) g t v .sin .t
2
2.1.3. (0,25 pt) On isole le temps « t » de l’équation x = (v0.cos).t soit
0
x
tv .cos

Pour avoir l’équation de la trajectoire y(x), on reporte l’expression de t dans y(t) :
2
0
00
1 x x
y(x) g v .sin .
2 v .cos v .cos
soit
2
2
0
g
y(x) .x tan .x
2. v .cos
2.1.4. (4X0,5 pt)
Équation : vx(t) = v0.cos
Justification : le graphe est une droite
horizontale. Seule la composante vx est
constante au cours du temps.
Équation : x(t) = v0.cos.t
Justification : le graphe est une droite passant
par l’origine. Seule la composante x(t) est une
fonction linéaire du temps.
Équation : vy(t) =  g.t + v0.sin
Justification : le graphe est une droite
décroissante, donc son coefficient directeur
est négatif. Seule la composante vy est une
fonction affine avec un coefficient directeur
négatif (  g).
Équation : y(t) =  ½.g.t² + v0.sin.t
Justification : le graphe est une parabole de
concavité tournée vers le bas. Seule la
composante y(t) est une fonction parabolique
du temps.
2.2 Une « chandelle » réussie
2.2.1. (0,5 pt) Lorsque le ballon touche le sol, y(t) = 0
soit
20
1g t v .sin .t 0
2
donc
0
1g t v .sin .t 0
2
La solution t = 0 correspond au moment où le ballon est frappé par le rugbyman à l’origine du
repère. La solution
0
1g t v .sin 0
2
correspond à la date pour laquelle le joueur
récupère le ballon :
0
1g t v .sin 0
2
soit
0
1g t v .sin
2  
d’où :
0
2.v .sin
tg

(0,25 pt)
2 10 sin(60)
t9,81
= 1,8 s.
(0,5 pt) On vérifie bien sur le graphe y(t) la valeur obtenue par calcul :
2.2.2.
Méthode 1 : (0,5pt) pour que la chandelle soit réussie, la vitesse v1 du joueur doit être égale à la
composante horizontale vx de la vitesse du ballon soit :
v1 = v0.cos
v1 = 10,0cos(60) = 5,0 m.s1
Méthode 2 : (0,5pt) pendant la durée t = 1,8 s du vol du ballon, le joueur parcourt la distance
d = x(t= 1,8 s) : x(t) = v0.cos.t
d = 10,0cos(60)1,8 = 9,0 m
La vitesse v1 du joueur est alors : v1 =
d
t
soit : v1 =
9,0
1,8
= 5,0 m.s1.
Date pour laquelle
le joueur récupère
le ballon.