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Ph
si
ue
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
EXERCICE
•
••
• CORRIGE : « Glissement sur un plan incliné »
1)
α
T
!
N
!
O
x
y
mg
!
Nous allons d'abord appliquer le PFD au mobile, ceci dans le
référentiel lié au plan incliné, supposé galiléen. Il vient:
ma mg T N
=++
!!
!!
Projetons cette relation sur les axes Ox et Oy:
2
2
2
2
sin cos
0cos
dx
mmgT
dt TfNfmg
dy
mmgN
dt
αα
α
=− −
⇒= =
==− +
⇒ 2
2(sin cos )
dx gf
dt
αα
=− + ⇒
0
(sin cos )
dx gftv
dt
αα
=− + × + ⇒ 20
() (sin cos )
2
g
xt f t vt
αα
=− + × + (en prenant (0) 0x=)
• La vitesse s’annule à l’instant 0
1(sin cos )
v
tgf
αα
=+ , valeur que l’on injecte dans ()xt pour
trouver :
22
00
(sin cos )
2 (sin cos ) (sin cos )
vvg
Df
gf gf
αα αα αα
=− + × +
++
⇒ 2
0
2 (sin cos )
v
Dgf
αα
=+
2) Dans cet exercice, il n’y a qu’un seul degré de liberté (l’abscisse x) ⇒ une seule équation
scalaire suffit pour déterminer le mouvement du point matériel (M) ⇒ il est préférable d’appliquer
le Théorème de l’Energie Cinétique. On remarque que le poids dérive d’une énergie potentielle et
que la force N
! ne travaille pas, puisqu’elle est constamment perpendiculaire au déplacement ;
on peut donc écrire :
2
00
1
0()()()()
2
D
C P final initial
EmvWPWTEWTmgzzTdl∆=−=+=−∆+=− −+⋅
∫!
!! ! !
; d’où, en tenant
compte de cos et de
xx x
TTe fmg ecste dldxe
α
=− =− = =
""""!!
!!! !
, on obtient :
2
0
1sin cos
2mv mgD fmg D
αα
−=− − × ⇒ on retrouve bien : 2
0
2 (sin cos )
v
Dgf
αα
=+
Rq : comme on pouvait s’y attendre, la méthode énergétique est plus rapide.