Dérivation. Fonctions cosinus et sinus

ANALYSE
3
Dérivation.
Fonctions
cosinus et sinus
Connaissances nécessaires à ce chapitre
I Calculer la dérivée d’une fonction f
I Déterminer certaines caractéristiques de f à partir de f 0
I Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour donner
une valeur de cosinus et sinus ou résoudre une équation.
Des ressources numériques pour préparer
le chapitre sur manuel.sesamath.net
Auto-évaluation
1
Donner l’ensemble de dérivabilité de la fonction
f et calculer f ‘( x ) pour tout x dans cet ensemble.
4) f ( x )=( x + 1)3
2 √
2) f ( x )=( x2 + 2)( x3 + 3) 5) f ( x )= x x
3√
2x − 3
x+1
3) f ( x )=
6) f ( x )= √
5x − 7
x−1
2 Soit la fonction f définie sur R ∗ par :
1
f ( x ) = − x3 + 2x2 + .
x
1) On admet que f est dérivable sur R ∗ .
( x − 1)2 (3x2 + 2x + 1)
a) Montrer que f 0 ( x ) = −
.
x2
b) En déduire les variations de f .
4
Un carré rouge et un dodécagone regulier vert
sont inscrits dans le cercle trigonométrique suivant :
1) f ( x )=3x4 − 7x2 + 2
2) f admet-elle un extremum local en 1 ?
3) Déterminer une équation de la tangente à la courbe
3
représentative de f aux points d’abscisses −1 et 1.
Dresser le tableau de variation des fonctions
définies ci-après et préciser les extremums locaux.
• f ( x ) = −2x2 + 5x − 3
3
• g( x ) = 2 −
x−1
√
• h( x ) = 2x − 3
√
• A ( x ) = ( x + 1)
x−2
pour tout réel x
pour x 6= 1
3
pour x >
2
pour x > 0
@
D
E
J
C
B
A
F
I0
I
U
P
T
Q
R
S
J0
1) Associer à chaque point une mesure en radians.
2) Donner les valeurs exactes de :
2π
5π
11π
7π
a) sin
b) cos
c) sin
d) cos
3
4
2
6
3) Résoudre les équations sur [0√; 2π ].
√
3
2
1
a) cos x =
b) sin x =
c) cos x =−
2
2
2
5 Résoudre sur ] − π ; π ] les équations suivantes :
1) 2 sin2 x +!5 sin √
x +"
2=0
√
2
3 2
2
2) cos x − 3 +
cos x +
=0
2
2
äää Voir solutions p. 419
83
Activités d’approche
ACTIVITÉ 1
Vers de nouvelles formules de dérivation
Partie A : Fonction sous radical
Soit u la fonction polynôme du second degré définie sur R par u( x ) = x2 − 2x − 8.
1) a) Étudier le signe de u( x ).
√
b) En déduire l’ensemble de définition de la fonction u.
r
p
p
u ( 4 + h ) − u ( 4)
6
2) a) Soit h un réel strictement positif. Montrer que
= 1+ .
h
h
p
p
u ( 4 + h ) − u ( 4)
b) Déterminer lim
.
h√
h →0
c) En déduire que la fonction u n’est pas dérivable en 4.
√
Pour la suite, on admet que u est dérivable sur ] − ∞ ; −2[ ∪ ]4 ; +∞[.
3) Soit v une fonction quelconque dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
√
On pose f = v et on admet que f est dérivable sur I.
a) En dérivant chaque membre de l’égalité f × f = v, écrire f 0 en fonction de v0 et f .
√ 0
b) En déduire une formule pour
v .
p
4) Appliquer la formule précédente et exprimer la dérivée de la fonction f : x 7→
x2 − 2x − 8.
Faire de même pour les fonctions suivantes, après avoir déterminé leurs ensembles de
définition et de dérivabilité.
√
• g : x 7→ r5 − 3x
4x − 9
• h : x 7→
p 7x − 3
• v : x 7→ −9x2 + 12x − 4
Partie B : Fonction en puissance
2
1) Soit f la fonction polynôme de degré 4 définie sur R par f ( x ) = x2 − 2x + 2 .
a) Développer f ( x ). En déduire une expression développée de f 0 ( x ).
b) En dérivant un produit, déterminer une expression factorisée de f 0 ( x ).
c) Pourquoi la forme factorisée de f 0 ( x ) est-elle plus satisfaisante que sa forme développée ?
2) a) Justifier que, si u est dérivable sur I, alors, pour tout n ∈ N, un est dérivable sur I.
0 0 0
b) Calculer u2 , u3 et u4 . Conjecturer une expression de (un )0 pour tout n ∈ N.
c) Démontrer par récurrence la conjecture établie précédemment.
3) Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité de chaque fonction, puis appliquer
la formule précédente pour obtenir une expression de sa fonction dérivée.
• g : x 7→ (5 − 3x )3
4x − 9 2
• h : x 7→
7x − 3
4
• v : x 7→ −9x2 + 12x − 4
84 Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus
Activités d’approche
ACTIVITÉ 2
Vers les fonctions sinus et cosinus
Partie A : Dégager le sinus
1) Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique et choisir comme unité d’angle le radian.
a) Créer les points O(0 ; 0), I (1 ; 0), J (0 ; 1), K (−1 ; 0) et L(0 ; −1).
b) Créer le cercle de centre O et de rayon 1.
π
3π
c) Créer un curseur d’angle α allant de − ≈ −1, 57 à
≈ 4, 71 avec un pas de 0,01.
2
2
d) Créer le point M (cos α ; sin α) et le segment [OM ].
Justifier que M appartient au cercle de centre O et de rayon 1.
e) Créer le point S(α ; sin α) et le segment [ MS].
f) Afficher la trace de S et animer le curseur α.
J
K
M
O
S
I
α = 1, 05 rad
L
π 3π
2) Soit la fonction f : α 7→ sin α définie sur − ;
.
2
2
a) Comment varie l’ordonnée de S quand M parcourt l’arc de cercle :
>
>
>
>
• LI de L à I ?
• I J de I à J ?
• JK de J à K ?
• KL de K à L ?
b) Décrire les variations de f . Quels sont ses extremums ?
c) Dresser un tableau de variation de f .
3) a) Donner
les valeurs
de α associées aux points I, J, K et L dans
les intervalles suivants.
π 3π
3π 7π
• − ;
•
;
2
2
2
2
3π 7π
b) Soit la fonction g : α 7→ sin α définie sur
;
.
2
2
Expliquer pourquoi on peut aisément déduire le tableau de variation de g de celui de f ?
c) Quelle formule trigonométrique met-on ainsi en évidence ?
d) Quelle particularité aura la courbe représentative de la fonction α 7→ sin α définie sur R ?
Partie B : Déboucher sur cosinus
1) Soit la fonction h : α 7→ cos α définie
sur [−π ; π ].
π
a) Écrire plus simplement sin α +
.
2
b) En déduire les variations de h à partir de celles de la fonction f de la première partie.
2) a) Soit α un réel. Écrire plus simplement cos(−α) et sin(−α).
b) Qu’en déduit-on pour les courbes représentatives dans un repère orthogonal des fonctions
α 7→ cos α et α 7→ sin α définies sur R ?
Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus 85
Cours - Méthodes
1. Rappels
A. Dérivabilité et fonction dérivée
DÉFINITION : Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R.
Soit a et h deux réels tels que a et a + h appartiennent à I.
f ( a + h) − f ( a)
La fonction f est dérivable en a si, et seulement si, lim
= ` où ` est un réel.
h
h →0
0
Le réel ` est alors appelé nombre dérivé de f en a et se note f ( a).
DÉFINITION : Fonction dérivable - Fonction dérivée
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de R.
La fonction f est dérivable sur I si f est dérivable en tout réel x de I.
La fonction f 0 : x 7→ f 0 ( x ) définie sur I est appelée la fonction dérivée de f sur I.
R EMARQUES :
Une fonction peut être définie en a mais non dérivable en a.
Par exemple,
√ la fonction racine carrée qui est définie en 0.
√
√prenons
h− 0
h
1
1
=
= √ . Or, lim √ = +∞.
On a
h
h
h →0
h
h
h >0
Donc, la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0.
Les physiciens expriment une variation à l’aide du symbole ∆. Ainsi, entre x et x0 , elle est
∆y
notée ∆x = x − x0 et ∆y = f ( x ) − f ( x0 ). On a alors : f 0 ( x0 ) = lim
.
x → x0 ∆x
df
On peut noter f 0 ( a) également
( a) qui exprime la différentielle de la fonction f en a
dx
par rapport à la variable x. Cela sert à écarter toute ambiguïté s’il y a d’autres variables.
B. Applications de la dérivation
PROPRIÉTÉ : Tangente en un point à une courbe
Soit f une fonction dérivable en a et C f sa courbe représentative dans un repère du plan.
Une équation de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse a est :
y = f 0 ( a)( x − a) + f ( a).
PROPRIÉTÉ : Du signe de f 0 ( x) aux variations de f
Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de R.
Si f 0 est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où
elle s’annule, alors f est strictement croissante sur I.
Si f 0 est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où
elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I.
Si f 0 est nulle sur I, alors f est constante sur I.
86 Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus
Cours - Méthodes
R EMARQUE : « sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule » signifie
que la courbe représentative de f peut admettre des tangentes horizontales mais ne peut
avoir à aucun endroit la forme d’un segment parallèle à l’axe des abscisses.
Cf
tangente
3
horizontale
horizontal
2
2
M
1
−1
Cf
segment
3
A
B
1
2
1
1
2
3
4
−1
f 0 est strictement positive sauf en 2 où elle s’annule
donc f est strictement croissante sur R.
3
4
f ’ est strictement positive sur ] − ∞ ; 1[ ∪ ]2 ; ∞[
donc f n’est pas strictement croissante sur R.
PROPRIÉTÉ : Extremums locaux d’une fonction
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R et a ∈ I.
Si f admet un extremum local en a, alors f 0 ( a) = 0.
Si f 0 s’annule et change de signe en a, alors f admet un extremum local en a.
C. Calcul de dérivées
PROPRIÉTÉ : Dérivées des fonctions usuelles
On désigne par D f l’ensemble de définition de la fonction f .
Toutes les fonctions du tableau ci-dessous sont dérivables sur D f à l’exception de la fonction
racine carrée qui n’est pas dérivable en zéro.
Fonction f
f (x) = k
f (x) = x
n
f (x) =
1
x
f (x) =
√
Dérivée f 0
Df
(k ∈ R )
(n ∈ N ∗ )
0
R
f (x) = 0
R
f 0 ( x ) = nx n−1
R∗
f 0 (x) = −
1
f 0 (x) = √
2 x
[0 ; + ∞ [
x
1
x2
PROPRIÉTÉ : Opérations sur les fonctions dérivées
Soit un réel k et deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I.
Les fonctions u + v, ku et uv sont dérivables sur I.
1
u
Les fonctions et sont dérivables sur I sauf là où v s’annule.
v
v
1
v
Fonction
u+v
ku
uv
Dérivée
u 0 + v0
ku0
u0 v + uv0
−
v0
v2
u
v
u0 v − uv0
v2
Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus 87
Cours - Méthodes
2. Dérivées des fonctions composées
Dans cette partie, u désigne une fonction et I un intervalle.
PROPRIÉTÉ : Dérivée de
√
u
Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors
√
u est dérivable sur I et
√ 0
u0
u = √ .
2 u
Soit un réel a ∈ I et un réel h > 0 tel que a + h soit dans I.
√
On
p d’accroissement de u entre a et a + h.
p calcule le taux
u ( a + h) − u ( a)
u ( a + h) − u ( a)
u ( a + h) − u ( a)
1
=
p
= p
×p
.
p
h
h
u
(
a
+
h
) + u( a)
h
u ( a + h) + u ( a)
PREUVE
u ( a + h) − u ( a)
Or, la fonction u est dérivable sur I donc lim
= u 0 ( a ).
h
h →0
p
p
u ( a + h) − u ( a)
1
u0 ( a)
= u0 ( a) × p
= p
.
D’où lim
h
h →0
2 u( a)
2 u( a)
PROPRIÉTÉ : Dérivée de un et u−n
Soit n ∈ N ∗ . Si u est dérivable sur I alors :
La fonction un est dérivable sur I et (un )0 = nu0 un−1 .
La fonction u− n est dérivable sur I sauf là où u s’annule et u− n
PREUVE
0
= −nu0 u− n−1.
• On démontre par récurrence. Voici l’initialisation et l’hérédité :
0
u1 = u0 = 1 × u0 u1−1 . La proposition est donc initialisée au rang 1.
0
Supposons qu’il existe un entier k ∈ N ∗ tel que la propriété « uk = ku0 uk −1 » soit vraie.
0 0 0
uk +1 = uk u = uk u + uk u0 = ku0 uk −1 u + uk u0 = (k + 1)u0 uk .
La propriété est encore vraie au rang suivant donc elle est héréditaire.
1
• Si u est dérivable sur I, alors est dérivable sur I sauf là où u s’annule.
0 n 0u
0 n−1
1
1
1
1
− n 0
u
=
=
=
n
d’après la première propriété.
n
u
u
u
u0 0
u
nu0
1
Ainsi : u− n = n − 2
= − n+1 = −nu0 u− n−1.
n
−
1
u
u
u
PROPRIÉTÉ : Dérivée de x 7→ u(ax + b)
Soit deux réels a et b. Si u est dérivable sur I alors :
La fonction f : x 7→ u( ax + b ) est dérivable là où ( ax + b ) ∈ I et f 0 ( x ) = au0 ( ax + b ).
PREUVE
Soit u dérivable sur I et deux réels a et b tels que x ∈ I ⇒ ( ax + b ) ∈ I.
• Si a = 0, alors f : x 7→ u(b ) est constante et on a bien f 0 ( x ) = 0 = 0 × u0 (b ).
• Prenons a 6= 0. La fonction u est dérivable sur I donc :
u( X + H ) − u( X )
pour tous X ∈ I et H réel tels que ( X + H ) ∈ I : lim
= u 0 ( X ).
H
H →0
Posons X = ax + b et H = ah. Alors, H tend vers 0 vu que h tend vers 0 et que a 6= 0. Ainsi :
u( ax + b + ah) − u( ax + b )
u( a( x + h) + b ) − u( ax + b )
lim
= u0 ( ax + b ) soit lim
= au0 ( ax + b ).
ah
h
h →0
h →0
88 Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus
Cours - Méthodes
MÉTHODE 1
Dériver une fonction composée
Ex. 11 p. 94
√
1) On reconnaît le type de composée ( u, un , u− n ou x 7→ u( ax + b )) et on identifie u.
2) On détermine les ensembles de définition et de dérivabilité de la fonction.
3) On calcule u0 ( x ) et on applique la formule de dérivation qui convient.
Exercice d’application
Déterminer les ensembles de définition D et de dérivabilité D 0 de f , puis calculer f 0 ( x ).
p
3x − 1 2
1
5
2
1) f ( x ) = x − x − 2 2) f ( x ) =
3) f ( x ) = √
3 4) f ( x ) = (2x − 3)
2x − 4
x−1
Correction
1) f est du type
√
u avec u( x ) = x2 − x − 2.
Or, u( x ) est un trinôme de degré 2 ayant deux racines : −1 et 2.
Ainsi, u( x ) > 0 si x 6 −1 ou x > 2 et f est définie sur D =] − ∞ ; −1] ∪ [2 ; +∞[.
√
Et comme f = u est dérivable sur D sauf là où u s’annule alors D 0 =] − ∞ ; −1[ ∪ ]2 ; +∞[.
u0 ( x)
2x − 1
On a u0 ( x ) = 2x − 1 d’où f 0 ( x ) = p
= √
.
2 u( x)
2 x2 − x − 2
3x − 1
2) f est du type u2 avec u( x ) =
.
2x − 4
Or, u est définie sur R \ {2} donc f est définie sur D = R \ {2}.
f est dérivable sur son ensemble de définition donc D 0 = D .
3(2x − 4) − 2(3x − 1)
−10
On a u0 ( x ) =
=
.
(2x − 4)2
(2x − 4)2
−10
3x − 1
20(3x − 1)
×
=−
.
D’où, f 0 ( x ) = 2u0 ( x )u2−1 ( x ) = 2u0 ( x )u( x ) = 2 ×
2
2x
−
4
(2x − 4)
(2x − 4)3
√
−3
√
3) f ( x ) =
x−1
est du type u−3 avec u( x ) = x − 1.
Or, u est définie sur [0 ; +∞[ et f aussi sauf là où u s’annule. Donc, D = [0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.
√
La fonction x 7→ x n’est pas dérivable en 0 donc u et f aussi. Ainsi, D 0 =]0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.
1
3
On a u0 ( x ) = √ d’où f 0 ( x ) = −3u0 ( x )u−3−1 ( x ) = −3u0 ( x )u−4 ( x ) = − √ √
4 .
2 x
2 x
x−1
4) On pourrait voir le type u5 . Voyons plutôt le type u( ax + b ) avec u( x ) = x5 , a = 2 et b = −3.
Il est évident que D = D 0 = R vu que f est une fonction polynôme de degré 5 !
On a u0 ( x ) = 5x4 d’où f 0 ( x ) = au0 ( ax + b ) = 2u0 (2x − 3) = 2 × 5 (2x − 3)4 = 10 (2x − 3)4 .
R EMARQUE : Les exemples de formules de dérivation des composées vues précédemment
mettent en évidence une expression unifiée de la dérivée de x 7→ f (u( x )). On donne, ciaprès, la propriété générale mais sa connaissance n’est pas une capacité attendue.
PROPRIÉTÉ (admise)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de R et f une fonction dérivable sur un
intervalle J de R telle que pour tout x ∈ I, u( x ) ∈ J.
La fonction f ◦ u composée de u suivie de f est dérivable sur I, et pour tout x ∈ I :
( f ◦ u)0 ( x ) = u0 ( x ) × ( f 0 ◦ u)( x ) ou [ f (u( x ))]0 = u0 ( x ) × f 0 (u( x )) .
Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus 89
Cours - Méthodes
3. Fonctions cosinus et sinus
A. Définition et rappels
Soit (O ; I , J ) un repère orthonormé direct. Le point M, image d’un réel x
sur le cercle trigonométrique de centre O, a pour coordonnées (cos x ; sin x )
+
J
où cos x est le cosinus de x et sin x est le sinus de x.
x
0
cos x
1
π/6
√
3/2
sin x
0
1/2
π/4
√
2/2
√
2/2
M
sin x
x
x
π/3
π/2
π
1/2
√
3/2
0
−1
0
1
O
cos x
I
DÉFINITION : Fonctions cosinus et sinus
La fonction cosinus, notée cos, est la fonction définie sur R par cos : x 7→ cos x.
La fonction sinus, notée sin, est la fonction définie sur R par sin : x 7→ sin x.
B. Propriétés des fonctions cosinus et sinus
DÉFINITION : Fonction périodique
Soit f une fonction définie sur R et un réel T.
f est périodique de période T ou est T-périodique si, pour tout x ∈ R, f ( x + T ) = f ( x ).
DÉFINITION : Fonctions paire et impaire
Soit une fonction f définie sur un ensemble D f symétrique par rapport à 0.
Une fonction f est paire si, pour tout x ∈ D f , f (− x ) = f ( x ).
Une fonction f est impaire si, pour tout x ∈ D f , f (− x ) = − f ( x ).
PROPRIÉTÉ
Les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques.
La fonction cos est paire et la fonction sin est impaire.
PREUVE Pour tout réel x, on a en effet :
• cos( x + 2π ) = cos x et sin( x + 2π ) = sin x.
• cos(− x ) = cos x et sin(− x ) = − sin x.
R EMARQUE :
Dans un repère, les courbes représentatives de cos et sin « se répètent » tous les 2π.
Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de cos est symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées et celle de sin est symétrique par rapport à l’origine du repère.
C. Dérivabilité et variations
PROPRIÉTÉ (admise) : Dérivées des fonctions cos et sin
Les fonctions cos et sin sont dérivables et continues sur R.
cos0 = − sin
90 Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus
sin0 = cos
Cours - Méthodes
PROPRIÉTÉ
Les variations des fonctions cos et
x
0
x
π
0
1
sin sur [0 ; π ] sont données par les
cos
tableaux ci-contre.
π
2
π
2
π
1
0
sin
−1
0
0
Les courbes représentatives de cos et sin sont appelées des sinusoïdes.
y
1
y = cos x
−2π
−3π
2
−π
−π
2
−1
y = sin x
π
2
π
3π
2
2π
x
PREUVE
• cos0 = − sin. Or, 0 < x < π ⇒ sin x > 0 c’est-à-dire − sin x < 0.
De plus, la fonction sin ne s’annule qu’en 0 et π.
Donc, cos est strictement décroissante sur [0 ; π ].
π
π
• sin0 = cos. Or, 0 < x < ⇒ cos x > 0 et − < x < π ⇒ cos x < 0.
2
2
π
De plus, la fonction cos ne s’annule qu’en .
h π
i
h 2πi
et strictement décroissante sur − ; π .
Donc, sin est strictement croissante sur 0 ;
2
2
MÉTHODE 2
Dériver une fonction formée de cos ou sin
Ex. 13 p. 94
En général, ce type de fonction définie est dérivable sur R. Si ce n’est pas le cas, on établira
d’abord les ensembles de définition et de dérivabilité (
MÉTHODE 1 p. 89).
Exercice d’application Calculer f 0 ( x ). L’écrire sous une forme facilitant l’étude de son signe.
1) f ( x ) = sin 3x −
π
4
2) f ( x ) = cos2 x
3) f ( x ) = sin x (1 + cos x )
Correction
π
1) f est de la forme u( ax + b ) avec u( x ) = sin x, a = 3 et b = .
4
π
0
0
0
On a u ( x ) = cos x d’où f ( x ) = au ( ax + b ) = 3 sin 3x −
.
4
2) f est de la forme u2 avec u( x ) = cos( x ).
On a u0 ( x ) = − sin x d’où f 0 ( x ) = 2u0 ( x )u( x ) = 2(− sin x ) cos x = −2 sin x cos x = − sin 2x.
3) f est de la forme uv dont la dérivée est (u0 v + uv0 ) avec u( x ) = sin( x ) et v( x ) = 1 + cos( x ).
f 0 ( x ) = cos x (1 + cos x ) + sin x (− sin x ) = cos x + cos2 x − sin2 x.
Or, cos2 x + sin2 x = 1 donc − sin2 x = cos2 x − 1. D’où f 0 ( x ) = 2 cos2 x + cos x − 1.
Posons X = cos x. Alors, f 0 ( x ) = 2X 2 + X − 1 = (2X − 1)( X + 1) après calcul des racines.
Ainsi, f 0 ( x ) = (2 cos x − 1)(cos x + 1).
Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus 91
Cours - Méthodes
PROPRIÉTÉ
lim
x →0
cos x − 1
=0
x
lim
x →0
sin x
=1
x
Les fonctions cos et sin sont dérivables sur R donc en particulier en 0. Ainsi :
cos x − 1
cos x − cos 0
= lim
= cos0 (0) = − sin 0 = 0.
• lim
x
x−0
x →0
x →0
PREUVE
sin x
sin x − sin 0
= lim
= sin0 (0) = cos 0 = 1.
x →0 x
x →0
x−0
• lim
MÉTHODE 3
Étudier une fonction trigonométrique
Ex. 57 p. 98
Il arrive fréquemment qu’une fonction trigonométrique soit périodique et paire ou impaire.
Cela amène alors souvent à étudier d’abord la fonction sur un intervalle restreint avant de
l’étudier sur un ensemble plus grand.
3 sin x
.
2 + cos x
0
1) Calculer f ( x ). Étudier son signe sur [0 ; π ]. En déduire les variations de f sur [0 ; π ].
Exercice d’application Soit la fonction f définie sur R par f ( x ) =
2) Calculer f (− x ). En déduire les variations de f sur [−π ; π ].
3) Montrer que f est 2π-périodique.
4) Tracer la courbe représentative C de f sur [0 ; π ] puis sur [−4π ; 4π ].
Correction
1) f est dérivable sur R comme quotient de fonctions dérivables sur
R avec 2+ cos x 6= 0.
f 0 (x) =
3 cos x (2 + cos x ) − 3 sin x (− sin x )
6 cos x + 3
6 cos x +
1
2
2
.
(2 + cos x )2
(2 + cos x )2
(2 + cos x )
1
f 0 ( x ) est du signe de cos x + sur [0 ; π ]. Or :
2
2π
2π
1
1
x
π
0
3
• sur 0 ;
, cos x > − ⇔ cos x + > 0 ;
3
2
2
−
+
f 0 (x)
0
2π
1
1
√
• sur
; π , cos x < − ⇔ cos x + > 0.
3
3
2
2
f
0
0
2π
.
Et f 0 ( x ) ne s’annule qu’en
3
D’où le tableau de variation ci-contre.
3 sin(− x )
−3 sin x
3 sin x
2) f (− x ) =
=
=−
= − f ( x ) donc f est impaire.
2 + cos(− x )
2 + cos x
2 + cos x
On peut donc limiter l’étude de f à [0 ; π ]. On peut en déduire que la fonction f est décroisπ
π
2π 2π
sante sur [−π ; −2 ] et sur [2 ; π ] et croissante sur [−
;
].
3
3
3
3
3 sin x
3 sin( x + 2π )
=
= f ( x ) donc f est 2π-périodique.
3) f ( x + 2π ) =
2 + cos( x + 2π )
2 + cos x
4) On trace C sur [0 ; π ] puis sur [−π ; 0] par symétrie centrale puisque f est impaire.
Enfin, comme f est 2π-périodique, on répète le motif tous les 2π par translation.
=
=
C
1
−10π −3π −8π
−4π −11π
3
3
3
−7π −2π −5π −4π
3
3
3
−π
−2π − π
3
3
92 Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus
−1
π
3
2π
3
π
4π
3
5π
3
2π
7π
3
8π
3
3π
10π 11π
3
3
4π