Dérivation. Fonctions cosinus et sinus

ANALYSE
3
Dérivation.
Fonctions
cosinus et sinus
Connaissances nécessaires à ce chapitre
ICalculer la dérivée d’une fonction f
IDéterminer certaines caractéristiques de fà partir de f0
IUtiliser le cercle trigonométrique, notamment pour donner
une valeur de cosinus et sinus ou résoudre une équation.
Auto-évaluation
Des ressources numériques pour préparer
le chapitre sur manuel.sesamath.net @
1Donner l’ensemble de dérivabilité de la fonction
fet calculer f‘(x)pour tout xdans cet ensemble.
1) f(x)=3x4−7x2+24) f(x)=(x+1)3
2) f(x)=(x2+2)(x3+3)5) f(x)= 2
3x√x
3) f(x)=2x−3
5x−76) f(x)=√x+1
√x−1
2Soit la fonction fdéfinie sur R∗par :
f(x) = −x3+2x2+1
x.
1) On admet que fest dérivable sur R∗.
a) Montrer que f0(x) = −(x−1)2(3x2+2x+1)
x2.
b) En déduire les variations de f.
2) fadmet-elle un extremum local en 1 ?
3) Déterminer une équation de la tangente à la courbe
représentative de faux points d’abscisses −1 et 1.
3Dresser le tableau de variation des fonctions
définies ci-après et préciser les extremums locaux.
•f(x) = −2x2+5x−3pour tout réel x
•g(x) = 2−3
x−1pour x6=1
•h(x) = √2x−3pour x>3
2
•A(x) = (x+1) √x−2pour x>0
4Un carré rouge et un dodécagone regulier vert
sont inscrits dans le cercle trigonométrique suivant :
I
A
B
C
J
D
E
F
I0
P
Q
RJ0S
T
U
1) Associer à chaque point une mesure en radians.
2) Donner les valeurs exactes de :
a) sin 2π
3b) cos 5π 4c) sin 11π 2d) cos 7π 6
3) Résoudre les équations sur [0 ; 2π].
a) cos x=1
2b) sin x=√3 2c) cos x=−√2 2
5Résoudre sur ]−π;π]les équations suivantes :
1) 2 sin2x+5 sin x+2=0
2) cos2x−!3+√2
2"cos x+3√2 2=0
äää Voir solutions p. 419
83

Activités d’approche
ACTIVITÉ 1Vers de nouvelles formules de dérivation
Partie A : Fonction sous radical
Soit ula fonction polynôme du second degré définie sur Rpar u(x) = x2−2x−8.
1) a) Étudier le signe de u(x).
b) En déduire l’ensemble de définition de la fonction √
u.
2) a) Soit hun réel strictement positif. Montrer que pu(4+h)−pu(4)
h=r1+6 h.
b) Déterminer lim
h→0pu(4+h)−pu(4)
h.
c) En déduire que la fonction √un’est pas dérivable en 4.
Pour la suite, on admet que √uest dérivable sur ]−∞;−2[∪]4 ; +∞[.
3) Soit vune fonction quelconque dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
On pose f=√vet on admet que fest dérivable sur I.
a) En dérivant chaque membre de l’égalité f×f=v, écrire f0en fonction de v0et f.
b) En déduire une formule pour √v0.
4) Appliquer la formule précédente et exprimer la dérivée de la fonction f:x7→ px2−2x−8.
Faire de même pour les fonctions suivantes, après avoir déterminé leurs ensembles de
définition et de dérivabilité.
•g:x7→ √5−3x
•h:x7→ r4x−9
7x−3
•v:x7→ p−9x2+12x−4
Partie B : Fonction en puissance
1) Soit fla fonction polynôme de degré 4 définie sur Rpar f(x) = x2−2x+22.
a) Développer f(x). En déduire une expression développée de f0(x).
b) En dérivant un produit, déterminer une expression factorisée de f0(x).
c) Pourquoi la forme factorisée de f0(x)est-elle plus satisfaisante que sa forme développée ?
2) a) Justifier que, si uest dérivable sur I, alors, pour tout n∈N,unest dérivable sur I.
b) Calculer u20,u30et u40. Conjecturer une expression de (un)0pour tout n∈N.
c) Démontrer par récurrence la conjecture établie précédemment.
3) Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité de chaque fonction, puis appliquer
la formule précédente pour obtenir une expression de sa fonction dérivée.
•g:x7→ (5−3x)3
•h:x7→ 4x−9
7x−32
•v:x7→ −9x2+12x−44
84 Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus

Activités d’approche
ACTIVITÉ 2Vers les fonctions sinus et cosinus
Partie A : Dégager le sinus
1) Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique et choisir comme unité d’angle le radian.
a) Créer les points O(0 ; 0),I(1 ; 0),J(0 ; 1),K(−1 ; 0)et L(0 ; −1).
b) Créer le cercle de centre Oet de rayon 1.
c) Créer un curseur d’angle αallant de −π
2≈ −1, 57 à 3π 2≈4, 71 avec un pas de 0,01.
d) Créer le point M(cos α; sin α)et le segment [OM].
Justifier que Mappartient au cercle de centre Oet de rayon 1.
e) Créer le point S(α; sin α)et le segment [MS].
f) Afficher la trace de Set animer le curseur α.
α=1, 05 rad
OI
MS
J
K
L
2) Soit la fonction f:α7→ sin αdéfinie sur −π
2;3π 2.
a) Comment varie l’ordonnée de Squand Mparcourt l’arc de cercle :
•
>
LI de LàI?•
>
IJ de IàJ?•
>
JK de JàK?•
>
KL de KàL?
b) Décrire les variations de f. Quels sont ses extremums ?
c) Dresser un tableau de variation de f.
3) a) Donner les valeurs de αassociées aux points I,J,Ket Ldans les intervalles suivants.
•−π
2;3π 2•3π 2;7π 2
b) Soit la fonction g:α7→ sin αdéfinie sur 3π
2;7π 2.
Expliquer pourquoi on peut aisément déduire le tableau de variation de gde celui de f?
c) Quelle formule trigonométrique met-on ainsi en évidence ?
d) Quelle particularité aura la courbe représentative de la fonction α7→ sin αdéfinie sur R?
Partie B : Déboucher sur cosinus
1) Soit la fonction h:α7→ cos αdéfinie sur [−π;π].
a) Écrire plus simplement sin α+π
2.
b) En déduire les variations de hà partir de celles de la fonction fde la première partie.
2) a) Soit αun réel. Écrire plus simplement cos(−α)et sin(−α).
b) Qu’en déduit-on pour les courbes représentatives dans un repère orthogonal des fonctions
α7→ cos αet α7→ sin αdéfinies sur R?
Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus 85

Cours - Méthodes
1. Rappels
A. Dérivabilité et fonction dérivée
DÉFINITION : Nombre dérivé
Soit fune fonction définie sur un intervalle Ide R.
Soit aet hdeux réels tels que aet a+happartiennent à I.
La fonction fest dérivable en asi, et seulement si, lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h=`où `est un réel.
Le réel `est alors appelé nombre dérivé de fen aet se note f0(a).
DÉFINITION : Fonction dérivable - Fonction dérivée
Soit une fonction fdéfinie sur un intervalle Ide R.
La fonction fest dérivable sur Isi fest dérivable en tout réel xde I.
La fonction f0:x7→ f0(x)définie sur Iest appelée la fonction dérivée de fsur I.
REMARQUES :
Une fonction peut être définie en amais non dérivable en a.
Par exemple, prenons la fonction racine carrée qui est définie en 0.
On a √h−√0
h=√h h=1
√h. Or, lim
h→0
h>0
1
√h= +∞.
Donc, la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0.
Les physiciens expriment une variation à l’aide du symbole ∆. Ainsi, entre xet x0, elle est
notée ∆x=x−x0et ∆y=f(x)−f(x0). On a alors : f0(x0) = lim
x→x0
∆y
∆x.
On peut noter f0(a)également df
dx(a)qui exprime la différentielle de la fonction fen a
par rapport à la variable x. Cela sert à écarter toute ambiguïté s’il y a d’autres variables.
B. Applications de la dérivation
PROPRIÉTÉ : Tangente en un point à une courbe
Soit fune fonction dérivable en aet Cfsa courbe représentative dans un repère du plan.
Une équation de la tangente à la courbe Cfau point d’abscisse aest :
y=f0(a)(x−a) + f(a).
PROPRIÉTÉ : Du signe de f0(x)aux variations de f
Soit une fonction fdéfinie et dérivable sur un intervalle Ide R.
Si f0est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où
elle s’annule, alors fest strictement croissante sur I.
Si f0est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où
elle s’annule, alors fest strictement décroissante sur I.
Si f0est nulle sur I, alors fest constante sur I.
86 Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus

Cours - Méthodes
REMARQUE :« sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule » signifie
que la courbe représentative de fpeut admettre des tangentes horizontales mais ne peut
avoir à aucun endroit la forme d’un segment parallèle à l’axe des abscisses.
1
2
3
1234−1
Cf
tangente
horizontale
M
f0est strictement positive sauf en 2 où elle s’annule
donc f est strictement croissante sur R.
1
2
3
1234−1
Cf
segment
horizontal
AB
f ’ est strictement positive sur ]−∞; 1[∪]2 ; ∞[
donc f n’est pas strictement croissante sur R.
PROPRIÉTÉ : Extremums locaux d’une fonction
Soit fune fonction définie et dérivable sur un intervalle Ide Ret a∈I.
Si fadmet un extremum local en a, alors f0(a) = 0.
Si f0s’annule et change de signe en a, alors fadmet un extremum local en a.
C. Calcul de dérivées
PROPRIÉTÉ : Dérivées des fonctions usuelles
On désigne par Dfl’ensemble de définition de la fonction f.
Toutes les fonctions du tableau ci-dessous sont dérivables sur Dfà l’exception de la fonction
racine carrée qui n’est pas dérivable en zéro.
Fonction fDfDérivée f0
f(x) = k(k∈R)Rf0(x) = 0
f(x) = xn(n∈N∗)Rf0(x) = nxn−1
f(x) = 1
xR∗f0(x) = −1
x2
f(x) = √x[0 ; +∞[f0(x) = 1
2√x
PROPRIÉTÉ : Opérations sur les fonctions dérivées
Soit un réel ket deux fonctions uet vdérivables sur un intervalle I.
Les fonctions u+v,ku et uv sont dérivables sur I.
Les fonctions 1
vet u vsont dérivables sur Isauf là où vs’annule.
Fonction u+v ku uv 1
v
u
v
Dérivée u0+v0ku0u0v+uv0−v0
v2
u0v−uv0
v2
Chapitre A3. Dérivation. Fonctions cosinus et sinus 87