Un anneau principal non euclidien

Un anneau principal non euclidien
Références : Perrin, Cours d’algèbre, partie II.5
On note α“1`i?19
2et A“Zrαs, alors Aest un anneau principal, non-euclidien.
Théorème.
Démonstration. Étape 1 : αest racine de P“T2´T`5, car α`α“1et αα “5.
Ainsi, A“ a`bαˇˇpa, bq P Z2(est un sous-anneau de C.1
Donc Aest intègre ; et comme α“1´α,Aest stable par conjugaison.
Pour z“a`bα PA, on définit la norme :
Npzq “ zz “ pa`bαqpa`bαq “ a2`abpα`αq ` b2αα “a2`ab `5b2.
Alors Npzq P N(en réduisant avec la méthode de Gauss), et Npzz1q “ NpzqNpz1q.
De plus, Npzq “ 0ñˆa`b
2˙2
`19
4b2“0ña“b“0ñz“0.
Soit zPAˆ, alors NpzqN`z´1˘“1donc Npzq “ 1.
Alors ˆa`b
2˙2
`19
4
loomoon
ą1
b2“1, donc b“0et a“ ˘1. Ainsi, Aˆ“ t˘1u.
Étape 2 : Supposons Aeuclidien, alors DxPAzAˆ, πA{pxq|AˆYt0uest surjective.
En particulier, A{pxqest un corps (car des inversibles sont envoyés sur des inversibles) et #A{pxq ď 3,
donc A{pxq “ K, où K»F2ou F3.
On en déduit l’existence d’un morphisme d’anneaux surjectif ϕ:AÑK.
Alors β“ϕpαqvérifie β2´β`5“0.
Mais cette équation ne possède de solution ni dans F2, ni dans F3.2
On aboutit à une contradiction, et An’est donc pas euclidien.
Étape 3 : On introduit une pseudo-division euclidienne.
Soient a, b PAzt0u.
Alors il existe pq, rq P A2, tels que :
1. Nprq ă Npbq;
2. a“bq `rou 2a“bq `r.
Lemme.
Démonstration. Soit x“a
bPC, qu’on écrit aussi x“u`vα, où u, v PQ. On note n“tvu.
— Supposons que vRn`1
3, n `2 3„; soient set tles plus proches entiers de uet v.
Ainsi, |s´u| ď 1
2et |t´v| ď 1 3.
On pose q“s`tα PAet :
Npx´qq “ ps´uq2` ps´uqpt´vq ` 5pt´vq2ď1
4`1 6`5 9“9`6`20 36 “35 36 ă1.
On pose r“a´bq “bpx´qqet on a Nprq ă Npbq.
1. Car Aest un sous-groupe de C, contient 1et est stable par multiplication.
2. Cela se démontre facilement en cherchant de façon exhaustive.
Adrien LAURENT 1 ENS Rennes - Université de Rennes 1

— Supposons désormais que vPn`1
3, n `2 3„, alors 2x“2u`2vα et 2vP2n`2 3,2n`1`1 3„et
on est ramené au cas précédent : on peut écrire 2a“bq `r, avec Nprq ă Npbq.
Étape 4 : Montrons que Aest principal.
On a : A»ZrTs{pPq, donc A{p2q »
3ZrTs{p2, P q » 4F2rTs{pPq.
Mais T2´T`5est irréductible sur F2car de degré 2 sans racine ; donc A{p2qest un corps et p2qest
maximal dans A.
Soit I‰ p0qun idéal de A, et soit aPIzt0ude norme Npaqminimale.
Soit xPIzpaq;
ÑSi x“aq `ravec Nprq ă Npaqou r“0, alors comme rPI, par minimalité de Npaq, on a r“0.
Ainsi xP paq: contradiction.
ÑAinsi, 2x“aq `r, et même 2x“aq en répétant le procédé qu’on vient à peine de faire.
Comme p2qest maximal, l’idéal p2qest premier, d’où aP p2qou qP p2q.
Si qP p2q, alors q“2q1et x“aq1(par intégrité) donc xP paq. Contradiction.
Donc aP p2q, c’est à dire : a“2a1.
Comme qR p2qet p2qest maximal, on a : p2, qq “ A, donc Dλ, µ PA, 2λ`qµ “1.
Donc a1“2λa1`qµa1“λa `µx PI.
Or 0ăNpa1q ă Npaq. Contradiction.
Ainsi, I“ paqet Aest principal.
À présent, prouvons le lemme utilisé.
Soit Aun anneau euclidien, alors il existe xPArAˆtel que πA{pxq|AˆYt0uest surjective.
Lemme.
Démonstration. Si Aest un corps, on prend x“0.
Sinon, on prend xPArpAˆY t0uq de stathme minimal parmi les éléments de ArpAˆY t0uq (existe car le
stathme est à valeurs dans N).
Le but est de trouver pour tout aPA, un élément rde AˆY t0utel que a“rdans A{pxq. Pour cela on écrit
la division euclidienne a“xq `r.
Si r“0, c’est bon. Sinon on a vprq ă vpxqdonc rest inversible.
Remarques : ‚Il est bon de connaître les contre-exemples classiques dans la théorie des anneaux.
—Zri?5sest noethérien mais pas factoriel.
—RrX1, X2, ...sest factoriel mais pas noethérien.
—ZrXsest factoriel non principal.
—ZrXs{p2Xqest noethérien non intègre.
‚On peut trouver des rappels très clairs à l’adresse suivante :
http://www.normalesup.org/~crenard/rappelsAnneaux.pdf
‚On peut montrer le même résultat pour d“43,67 et 163.
Adapté du travail de Florian Lemonnier.
3. Notons πP:ZrTs Ñ ZrTs{pPqet π2:ZrTs{pPqÑpZrTs{pPqq {p2qles projections canoniques.
Ker π2˝πP“!fPZrTsˇˇˇDuPZrTs, f “2u)“ tfPZrTs|Du, v PZrTs, f “2u`P vu“p2, P q.
Ainsi π2˝πPinduit un isomorphisme ZrTs{p2, P q»pZrTs{pPqq {p2q » A{p2q.
4. Notons π2:ZrTs Ñ ZrTs{p2qet πP:ZrTs{p2qÑpZrTs{p2qq {pPqles projections canoniques.
Ker πP˝π2“!fPZrTsˇˇˇDuPZrTs, f “P u)“ tfPZrTs|Du, v PZrTs, f “P u `2vu“p2, P q.
Ainsi πP˝π2induit un isomorphisme ZrTs{p2, P q»pZrTs{p2qq {pPq » F2rTs{pPq.
Adrien LAURENT 2 ENS Rennes - Université de Rennes 1