[email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité Variables Aléatoires : Rappels On considère une EXPERIENCE ALEATOIRE, dont les résultats font partie d’un univers Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5…} On appelle VARIABLE ALEATOIRE REELLE l’application qui au résultat de l’expérience associe une valeur réelle. On la note généralement X On note P(X = k) la probabilité que la valeur de X soit égale à k, k faisant partie de Ω P(X=k) est un nombre compris entre 0 et 1 La somme des valeurs prises par P vaut toujours 1 Donner les valeurs de P(X=k) équivaut à donner la LOI de la variable aléatoire X on appelle ESPERANCE de la variable aléatoire X qui prend les valeurs x1…xn le nombre noté E(X) égal à E(X) = x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+…+xnP(X=xn) on appelle VARIANCE de la variable aléatoire X le nombre noté V(X) égal à V(X) = E((X-E(X))2) ou à E(X2)-E(X)2 X-E(X) doit être considéré comme une autre variable aléatoire, ainsi que X2 On appelle Ecart-type de X la racine carrée de V(X), on note Loi binomiale : rappels Exemple : Bernoulli La loi de Bernoulli est très simple : elle prend les eux valeurs 0 (échec) et 1 (réussite) p(X=1) = p, et P(X=0)=1-p=q Si X suit une loi de Bernoulli, son espérance est E(X)=0 x (1-p)+1 x p=p X2 prend les valeurs 0 et 1 avec les mêmes probabilités: P(X2=1)=p, P(X2=0)=0 donc E(X2)=p et V(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p)=pq Loi Binomiale : Si l'on répète n fois une loi de Bernoulli, on peut espérer entre 0 et n réussites (ou entre 0 et n échecs). Si X est la variable aléatoire égale au nombre de réussite, on dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre n et p On note X B(n,p) On démontre qu'alors n P x k p k q n k k n où les k sont les coefficients binomiaux, calculés à l'aide du triangle de Pascal, représentant le nombre de chemins menant au succès. On lit 'k parmi n" On démontre que si X B(n,p) alors E(X)=np et V(X)=npq X V X 1 [email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité Coefficients binomiaux Quelques formules : n n n premières valeurs 1; n; 1 0 1 n Symétrie n n n k k n n n 1 k k 1 k 1 Relation de Pascal A la calculatrice : Sur la TI, on obtient par MATHS / PRB / nCr : 7 nCr 3 donne 35 Sur la Casio : OPTN / PRB / nCr : 12 nCr 7 donne 792 Loi Binomiales Pour obtenir les P(X=k), k variant de 1 à n d'une loi binomiale B(n,p) : TI Casio Touche DISTR (2nd VARS) Menu DISTR / binompdf (n,p)L1 stocke les résultats dans la liste 1 (STAT) Par exemple binompdf(10,0,5)L1 donne, en cliquant sur STAT/Edit Menu STAT Dans List1 rentrer les valeurs de 0 à n puis Menu DIST / BinM /BPD puis les valeurs suivantes En pratique : Exemple : en utilisant : bernoulli1.ggb On lance 4 fois de suite une pièce truquée et on note X la variable aléatoire qui donne le nombre de « PILE » obtenus à l’issue des 4 lancers. On sait p(pile)=0,6 a. Quelle est la loi suivie par X (donner son nom et ses paramètres) ? X suit une loi binomiale de paramètre n=4 et de probabilité 0,6 : X B(4;0,6) b. Déterminer son espérance et son écart type. E(X)=np=2,4 : on aura en moyenne 2,4 pile c. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 PILE au cours des 4 lancers ? 4 1 P x 3 0,63 1 0,6 4 0.216 0.4 .3456 3 d. On lance la pièce n fois de suite, quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois PILE au cours des n lancers ? Quelle est la plus petite valeur de n à partir de laquelle cette probabilité est supérieure à 0,999 ? On a : n P X 1 1 P X 0 1 0,6 0 0,4 n 1 0,4 n 0 Il faut donc 0,4n≤0,001 A la calculatrice, on trouve n=8 e. Déterminer pour n=20 la probabilité d'avoir entre 8 et 14 piles. place dans List2 les résultats des calculs On doit calculer P8 X 14 P X 8 P X 9 ... P X 14 On trouve finalement P=0,8534 2 [email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité Propriétés de l'espérance et de la variance Si X est une variable aléatoire et a et b deux nombres réels, Y = aX+b est une nouvelle variable aléatoire dont les valeurs sont obtenues en multipliant celles de X par a et en ajoutant b on a alors: E(Y) = E(aX+b)=a.E(X)+b, c’est-à-dire que la moyenne change de la même manière que X V(Y) = V(aX+b) = a2V(X), la variance est multipliée par a2 Ainsi on a également aX B V aX b a X Application à la loi binomiale Si X B(n,p), alors, en posant, Z X np npq Z suivra une loi définie ainsi : k np n k nk p 1 p P Z npq p Son espérance et sa variance seront X 1 np np 0 E Z E EX npq npq npq npq X 1 np V Z V V X 1 npq npq npq On dit que Z est centrée et réduite centrer, réduire Exemple En reprenant l'exemple précédent, on cherche à connaitre la probabilité d'avoir k pile sur 100 tirages. L'espérance est E(X)=np=60 Cela veut dire qu'en 'moyenne', on aura 60 tirage de pile La variance est V X npq 100 0,6 0,4 24 L'écart-type est X 24 4,9 On pose Z X 60 24 On a P(X=60)=0,081 environ donc 60 60 P Z P Z 0 P X 60 0,081 24 car pour que Z=0, il FAUT que X=60 Ces deux événements ont donc la même probabilité Z peut prendre toutes les valeurs de np 0 np npq npq n np n1 p nq npq npq npq sa loi est symétrique si p=q=0,5 3 [email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité les valeurs de Z sont réparties sur l'intervalle np nq ; npq npq Un graphique, pour n=100 et p=0,4 donne ceci : Approximation de la loi binomiale Ceci n'est valable que pour certaines valeurs de n et p. On considère que l'approximation est bonne pour : n≥30, n.p≥5 et n.q≥5 Loibinomiale2.ggb On remarque qu'en transformant le diagramme à bâton en histogramme, (en posant que l'aire d'un rectangle vaudra la hauteur du bâton) on peut approximer la somme des aire des rectangles par l'aire sous la courbe de f x 1 e 2 x2 2 appelée aussi Gaussienne ou courbe en cloche C'est-à-dire que l'on écrit : Pa Z b 1 2x e dx 2 2 b a 4 [email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité Théorème de Moivre-Laplace : Exemples A la calculatrice Si Xn B(n,p) et Alors pour a<b Lim Pa Z n b n b a Exemple : Pour calculer l'intégrale, on peut utiliser X np Zn n npq 1 e 2 x2 2 CASIO dx Menu Stat Dist / Norm / Ncd loibinomiale2ex.ggb Dans le cas précédent, si l'on veut calculer P(55≤X≤65) on écrit 55 60 65 60 P55 X 100 65 P Z100 14 , 4 14 , 4 1, 021 1, 021 1 e 2 x2 2 TI touche 2nd DISTR Normalcdf avec les nombres -2,1 ; 2,1; 0 et 1 (les deux derniers ne changent pas) Le résultat est le résultat est 0,96 dx 0,693 le calcul exact donnerait 0,73 Exemple 2 : (integraleGauss.ggb) On sait que 90% des français pensent qu'il est dangereux de circuler à vélo en ville. On interroge 1000 personnes. Quelle est la probabilité d'en trouver entre 880 et 920 qui pensent que c'est dangereux ? n=1000, p=0,9, npq=90 et np=900 920 900 880 900 P880 X 1000 920 P Z1000 90 90 2 ,1 2 ,1 1 e 2 x2 2 dx 0,960 5 [email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité Définition : Fonction de densité On appelle fonction de densité (ou densité) toute fonction f définie, continue et positive sur un intervalle I telle que l'intégrale de f sur I soit égale à 1. Si X est une variable aléatoire continue sur [a,b], la probabilité de l'événement X[a,b], notée P(a≤X≤b) est égale à l'aire sous la courbe f sur[a,b] Pa X b f t dt b Propriétés a On a alors P(a≤X≤b)=P(a<X<b)=P(a≤X<b)… car P( X a) a a f (x) dx 0 De plus P(X>a) = 1-P(X≤a) (événements contraires) et P(a<X<b) = P(X<b) – P(x<a) Lois à densité Exemple : Une entreprise produit des dalles en plâtre suivant une variable aléatoire continue X, en tonnes, qui prend ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 20] avec une densité de probabilité f définie par : f(x)=0,015x-0,00075x2 Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20]. On vérifie d'abord que f est positive, définie et continue sur [0;20] : c'est un polynôme. Son maximum est atteint en -0,015/0,00075=10, il vaut f(10)=0,75. Il s'annule en 0 et en 20. Il est donc bien positif sur [0;20] On fait ensuite un calcul simple de l'intégrale de f sur [0;20] à la calculatrice (pour l'instant). On trouve 0,0015t 0,00075t dt 1 20 2 0 Calculer la probabilité de l'événement E "La production quotidienne est supérieure ou égale à 12 tonnes". 20 P12 X 20 f t dt 0,352 12 La probabilité que la production soit supérieure à 12 tonnes est donc de 0,352 Calculer l'espérance mathématique de X. Définition : Espérance Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur un intervalle [a,b] L'espérance mathématique de X est le réel E X t f t dt b a La encore, pour l'instant, on fait un calcul simple à la calculatrice : E X t f t dt 10 b a Cela signifie que en moyenne, l'entreprise produit 10 tonnes de dalles. 6 [email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité Loi uniforme Définition Espérance Soit a et b deux réels tels que a<b La loi uniforme sur [a,b], notée U([a,b]), est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a,b] par : f x 1 ba Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme, alors ab EX 2 Preuve EX b a t dt ba représente l'aire sous la courbe de comprise entre x=a et x=b Elle vaut donc g x 1 x ba 1 b a a b a b 2 2 ba ba Propriété Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme U([a,b]) xa Alors, pour tout x de [a,b], on a: P a X x ba Preuve En posant p=1/(b-a) L'aire du rectangle AXX'A' où A(a,0), A'(a,p), X(x,0) et X'(x,p) vaut (x-a)*(b-a) donc Pa X x x a xa 1 dt ba ba 7 [email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité Définition Loi exponentielle Espérance Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle, alors 1 EX Soit un réel strictement positif. La loi exponentielle de paramètre est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction f définie sur [0;+oo[ par : f x e x Preuve (ROC) x Lim te t dt L'espérance de X est On pose F(x)= Propriété Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre Alors, pour tout x de [0;+oo[, on a : P(X≤x) = 1-e-x Preuve x Soit G x e x dx alors G'(x)=e-x 0 et F(x)=1-e-x, alors F'(x)=e-x De plus F(0)=G(0)=0, on a donc F(x)=G(x) et par conséquent P X x e x dx 1 e x x 0 x x 0 t e t 0 dt dont la dérivée est F'(x)=xe-x, et F(0)=0 Posons G(x)=(Ax+B)e-x+C Alors G'(x)=Ae-x-(Ax+B)e-x =(A-B-Ax)e-x Il faut donc A-B=0 et A=-1, soit B=1/ Pour avoir G(0)=0, il faut (-1.0+1/)e-0+C=0, soit C=-1/ Finalement on a G(x)=F(x) car ces deux fonctions sont égales en 0 et ont la même dérivée (G est une primitive de xe-x) 1 1 Lim x e x Lim xe x Lim e x 0 0 0 x x x donc Lim G ( x) Lim F ( x) x x 1 8 [email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité Durée de vie sans vieillissement Propriétés Exemple : La durée de vie, exprimée en heures, d'un petit composant électronique d'une carte d'anniversaire musicale est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre =0,0035. On dit que la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement (ou sans mémoire) Interprétation Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre calculer la probabilité qu'il tombe en panne avant 300 heures Alors, pour tout réel t et h positifs, on a : On doit calculer P(X<300)=1-e-300 =0,65 PX t X t h P X h Cela signifie que la probabilité de X>t+h sachant que X>h est égale à la probabilité que X>t Sachant qu'un composant testé a fonctionné plus de 200 heures, calculer la probabilité qu'il tombe en panne avant 300 heures. Démonstration On écrit simplement la définition : PX t X t h P X t h X t P X t P X t h 1 1 e t h e t h h e P X t 1 1 e t e t 1 1 e h P X h On doit calculer P200 X 300 P X 200 P X 300 P X 200 1 P X 200 PX 200 X 300 1 e 300 1 e 200 e 200 e 300 1 e 100 0,2953 200 200 1 1 e e Ou bien, à cause de la propriété : PX 200 X 300 1 PX 200 X 200 100 1 P X 100 P X 100 1 e 100 0,2953 9 [email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité Loi normale centrée-réduite calculs Définition La loi normale centrée réduite, notée N(0,1) est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction f définie sur ]-oo;+oo[ par : x2 f x 1 e 2 Du fait de la symétrie de f, on a P(X≤0) = P(X≥0) = 0,5 2 Calcul de P(a ≤ X ≤ b) Sur TI, DISTR / Normalcdf( a,b,0,1) Sur casio STATS / DIST / Norm /Ncd a,b,0,1 Calcul de P(X<a) a<0 Calcul de P(X<a), a>0 Propriétés La courbe de f a pour maximum 1 en x=0 Elle admet (Oy) comme axe de symétrie Espérance Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite, alors E(X)=0 et V(X)=1 Calcul inverse 0,5-P(a<X<0) Calcul de P(X>a) a<0 0,5+P(0<X<a) Calcul de P(X>a) a>0 Si on veut trouver k tel que P(X<k)=c Sur TI, on cherche DISTR/ invNorm(c) Sur Casio STAT / DIST / Norm / InvN Tail : Left, Area : c Exemple P(X<0,7) donne k=0,52 0,5+P(a<X<0) 0,5-P(0<X<a) 10 [email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité Autres règles de calcul En posant (t)=P(X≤t). Alors pour tout a et b réels (-t)=1-(t) P(X≤a) = P(X≥a) (symétrie) P(-a≤X≤a) = 2(a)-1 Propriétés de N(0;1) Théorème (ROC) Si X suit N(0;1) alors pour tout réel ]0;1[ il existe un unique réel u>0 tel que P(-u ≤ X ≤ u) = 1- Démonstration Soit H(x) la fonction de [0;+oo[: t 2 définie par x 1 2 Preuves H x 2 0 2 e dt On a pour tout a réel P(-a ≤ X ≤ a) = H(a) par symétrie De plus H(0)=0 et H est strictement croissante, continue et Lim H x 1 x 0 Soit ]0;1[, alors 1-]0;1[ D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel de ]0;+oo[, noté u, tel que H(u)=1- et donc tel que P(-u ≤ X ≤ u)=H(u)=1- Cas particuliers (à connaitre) Si = 0,05, U0,05=1,96 Si = 0,01, U0,01=2,56 voir aussi RechercheUalpha.ggb 11 [email protected] , le 06/02/2013 Chapitre XI – Lois à densité Déterminer U A la calculatrice Résoudre une équation Pour avoir U=0,05, il faut P(-U0,05<X<U0,05) = 1-0,05=0,95 soit 2(0,05)-1=0,95 soit (0,05)=1,95/2=0,975 Il s'agit généralement de déterminer des événements dont on connait la probabilité : Sur TI, on cherche DISTR/ invNorm(0,975)=1,96 Sur Casio STAT / DIST / Norm / InvN Tail : Left, Area : 0,975 Sur TI, on cherche DISTR/ invNorm(0,3) Sur Casio STAT / DIST / Norm / InvN Tail : Left, Area : 0,3 Déterminer une probabilité conditionnelle Exemple Soit X suivant N(0;1) A: X>1 et B: X<2 On veut calculer PB(A) P(A n B)=P(1<X<2) Sur TI, DISTR / Normalcdf( 1,2,0,1) Sur casio STATS / DIST / Norm /Ncd 1,2,0,1 On trouve 0,1359 environ P(B) = P(X<2) = 0,5+P(0<X<2) Sur TI, DISTR / Normalcdf( 0,2,0,1) +0,5 Sur casio STATS / DIST / Norm /Ncd 0,2,0,1 +0,5 On trouve 0,9772 Donc On sait que P(X≤a) = 0,3. Combien vaut a ? On trouve a==-0,5244 Inverse Normale (p) donne dans les deux cas A tel que P(X≤A) = p Lorsque l'équation n'est pas du type P(X≤A), il faut transformer en utilisant les méthodes de la diapo 12 pour s'y ramener. P(X>a) = 0,22 1-P(X≤a) = 0,22 P(X≤a) = 0,78 On trouve a=0,7721 P(1<X<a) = 0,1 P(X<a)-P(X<1) = 0,1 P(X<a) = 0,1 + P(X<1) P(X<a) = 0,1 + 0,8413 P(X<a) = 0,9413 On trouve a=1,56 12