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Chapitre XI
Chapitre XI – –Lois Lois à àdensit densité é
1
[e-mail] , le 06/02/2013
Loi binomiale : rappels
Loi binomiale : rappels
Variables Aléatoires : Rappels
On considère une EXPERIENCE ALEATOIRE,
dont les résultats font partie d’un univers
Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 …}
On appelle VARIABLE ALEATOIRE REELLE
l’application qui au résultat de l’expérience
associe une valeur réelle.
On la note généralement X
On note P(X = k) la probabilité que la valeur de X
soit égale à k, k faisant partie de Ω
P(X=k) est un nombre compris entre 0 et 1
La somme des valeurs prises par P vaut toujours 1
Donner les valeurs de P(X=k) équivaut à donner la
LOI de la variable aléatoire X
on appelle ESPERANCE de la variable aléatoire X
qui prend les valeurs x1 …xn le nombre noté E(X)
égal à
E(X) = x1 P(X=x1 )+x2 P(X=x2 )+…+xn P(X=xn )
on appelle VARIANCE de la variable aléatoire X le
nombre noté V(X) égal à
V(X) = E((X-E(X))2) ou à E(X2)-E(X)2
X-E(X) doit être considéré comme une autre
variable aléatoire, ainsi que X2
On appelle Ecart-type de X la racine carrée de
V(X), on note
Exemple : Bernoulli
La loi de Bernoulli est très simple : elle prend les
eux valeurs 0 (échec) et 1 (réussite)
p(X=1) = p, et P(X=0)=1-p=q
Si X suit une loi de Bernoulli, son espérance est
E(X)=0 x (1-p)+1 x p=p
X2 prend les valeurs 0 et 1 avec les mêmes
probabilités: P(X2=1)=p, P(X2=0)=0 donc
E(X2)=p et V(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p)=pq
Loi Binomiale :
Si l'on répète n fois une loi de Bernoulli, on peut
espérer entre 0 et n réussites (ou entre 0 et n
échecs). Si X est la variable aléatoire égale au
nombre de réussite, on dit que X suit une loi de
Bernoulli de paramètre n et p
On note X  B(n,p)
On démontre qu'alors
où les sont les coefficients binomiaux, calculés à
l'aide du triangle de Pascal, représentant le
nombre de chemins menant au succès.
On lit 'k parmi n"
On démontre que si X  B(n,p) alors
E(X)=np et V(X)=npq
knk
qp
k
n
kxP
k
n
XVX 

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Exemple :
en utilisant : bernoulli1.ggb
On lance 4 fois de suite une pièce truquée et on note X la variable
aléatoire qui donne le nombre de « PILE » obtenus à l’issue des 4
lancers. On sait p(pile)=0,6
a. Quelle est la loi suivie par X (donner son nom et ses
paramètres) ?
X suit une loi binomiale de paramètre n=4 et de
probabilité 0,6 : X B(4;0,6)
b. Déterminer son espérance et son écart type.
E(X)=np=2,4 : on aura en moyenne 2,4 pile
c. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 PILE au cours
des 4 lancers ?
d. On lance la pièce n fois de suite, quelle est la probabilité
d’obtenir au moins une fois PILE au cours des n lancers ? Quelle
est la plus petite valeur de n à partir de laquelle cette probabilité
est supérieure à 0,999 ?
On a :
Il faut donc 0,4n≤0,001
A la calculatrice, on trouve n=8
e. Déterminer pour n=20 la probabilité d'avoir entre 8 et 14 piles.
On doit calculer
On trouve finalement P=0,8534
En pratique :
En pratique :
Coefficients binomiaux Quelques formules :
premières valeurs
Symétrie
Relation de Pascal
A la calculatrice :
Sur la TI, on obtient par
MATHS / PRB / nCr : 7 nCr 3 donne 35
Sur la Casio :
OPTN / PRB / nCr : 12 nCr 7 donne 792
Loi Binomiales
Pour obtenir les P(X=k), k variant de 1 à n d'une
loi binomiale B(n,p) :
1
1
1
1;
1
;1
0
k
n
k
n
k
n
k
n
kn
n
n
n
n
nn
TI Casio
Touche DISTR (2nd VARS)
Menu DISTR / binompdf
(n,p)L1
stocke les résultats dans la liste
1 (STAT)
Par exemple
binompdf(10,0,5)L1 donne, en
cliquant sur STAT/Edit
Menu STAT
Dans List1 rentrer les valeurs de
0 à n puis
Menu DIST / BinM /BPD puis les
valeurs suivantes
place dans List2 les résultats
des calculs
3456.4.0216.046,016,0
3
4
31
3
xP
nn
n
XPXP 4,014,06,0
0
1011 0
14...98148  XPXPXPXP

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centrer, r
centrer, ré éduire duire
Propriétés de l'espérance et de la variance
Si X est une variable aléatoire et a et b deux nombres
réels,
Y = aX+b est une nouvelle variable aléatoire dont les
valeurs sont obtenues en multipliant celles de X par a
et en ajoutant b
on a alors:
E(Y) = E(aX+b)=a.E(X)+b, c’est-à-dire que la
moyenne change de la même manière que X
V(Y) = V(aX+b) = a2V(X), la variance est multipliée
par a2
Ainsi on a également
Application à la loi binomiale
Si X  B(n,p), alors, en posant,
Z suivra une loi définie ainsi :
Son espérance et sa variance seront
On dit que Z est centrée et réduite
npq
npX
Z
kn
kpp
p
n
npq
npk
ZP  1
1
1
0
1
XV
npq
npq
np
npq
X
VZV
npq
np
XE
npqnpq
np
npq
X
EZE
Exemple
En reprenant l'exemple précédent, on cherche à
connaitre la probabilité d'avoir k pile sur 100
tirages.
L'espérance est E(X)=np=60
Cela veut dire qu'en 'moyenne', on aura 60 tirage
de pile
La variance est
L'écart-type est
On pose
On a P(X=60)=0,081 environ donc
car pour que Z=0, il FAUT que X=60
Ces deux événements ont donc la même
probabilité
Z peut prendre toutes les valeurs de
sa loi est symétrique si p=q=0,5
244,06,0100  npqXV
XabaXVBaX
9,424 X
24
60
X Z
081,0600
24
6060 
XPZPZP
npq
np
npq
np 
0
npq
nq
npq
pn
npq
npn 
1

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Approximation de la loi binomiale
Approximation de la loi binomiale
les valeurs de Z sont réparties
sur l'intervalle
Un graphique, pour n=100 et p=0,4 donne ceci :
Loibinomiale2.ggb
On remarque qu'en transformant le diagramme à
bâton en histogramme,
(en posant que l'aire d'un rectangle vaudra la
hauteur du bâton)
on peut approximer la somme des aire des
rectangles par l'aire sous la courbe de
appelée aussi Gaussienne ou courbe en cloche
C'est-à-dire que l'on écrit :
npq
nq
npq
np ;
2
2
2
1x
exf 
dxebZaP x
b
a
2
2
2
1
Ceci n'est valable que pour certaines valeurs de
n et p. On considère que l'approximation est
bonne pour :
n≥30, n.p≥5 et n.q≥5

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Exemples
Exemples
Théorème de Moivre-Laplace :
Si Xn  B(n,p) et
Alors pour a<b
Exemple : loibinomiale2ex.ggb
Dans le cas précédent, si l'on veut calculer
P(55≤X≤65) on écrit
le calcul exact donnerait 0,73
Exemple 2 : (integraleGauss.ggb)
On sait que 90% des français pensent qu'il est
dangereux de circuler à vélo en ville. On interroge
1000 personnes. Quelle est la probabilité d'en
trouver entre 880 et 920 qui pensent que c'est
dangereux ?
n=1000, p=0,9, npq=90 et np=900
A la calculatrice
Pour calculer l'intégrale, on peut utiliser
npq
npX
Zn
n
  b
a
x
n
ndxebZaPLim 2
2
2
1
693,0
2
1
4,14
6065
4,14
6055
6555
021,1
021,1
2
100100
2
dxe
ZPXP
x
960,0
2
1
90
900920
90
900880
920880
1,2
1,2
2
10001000
2
dxe
ZPXP
x
CASIO TI
Menu Stat
Dist / Norm / Ncd
le résultat est 0,96
touche 2nd DISTR
Normalcdf
avec les nombres
-2,1 ; 2,1; 0 et 1
(les deux derniers ne
changent pas)
Le résultat est