Examen 2015-2016

Examen d’analyse fonctionnelle
M1, ENS Cachan, 2015-16
Attention: Les documents ne sont pas autorisés pour cet examen. Les
exercices peuvent être traités dans l’ordre que vous souhaitez. Le signe ¶
signifie qu’une question est difficile.
Exercice 1 : 1. Exhiber un espace topologique qui n’est pas métrisable
(on démontrera que l’espace choisi est effectivement non métrisable).
2. Soit E un espace topologique.
a) Montrer que si A ⊂ B ⊂ E, alors Ā ⊂ B̄.
b) Montrer que si A ⊂ E et B ⊂ E, alors A ∪ B = Ā ∪ B̄.
c) Lorsque A ⊂ E et B ⊂ E, a t-on toujours A ∩ B = Ā ∩ B̄ ?
Exercice 2 : 1. Pour φ ∈ D(R), on définit
Z
φ(x) − φ(0) −|x|
< T, φ >:=
e
dx.
x
R
a) Montrer que T est une distribution d’ordre au plus 1.
b) Montrer que (x 7→ x) T = Uf , où f ∈ L1loc (R) est une fonction que
l’on explicitera.
c) Montrer que T se prolonge en une distribution tempérée sur R.
2. a) Calculer la transformée de Fourier de x 7→ e−|x| .
1
b) Calculer la transformée de Fourier de x 7→ 1+x
2.
c) Montrer que U arctan se prolonge en une distribution tempérée sur
R, et calculer (ξ 7→ ξ) (FU arctan ).
d) Montrer que FU arctan = d T + c δ0 , où c ∈ R, et d ∈ R est une
constante que l’on calculera.
e) Calculer c.
Exercice 3 : On note
E := {f ∈ L2 (R), ∀k ∈ N, x 7→ (1 + x2 )k/2 f (x) ∈ L2 (R)}.
1. a) Montrer que pour k ∈ N, la formule
Z
2 k
2
(1 + x ) |f (x)| dx
pk (f ) =
R
définit une semi-norme sur E.
1
1/2
b) Rappeler quelle est la définition de la topologie de E associée aux
semi-normes définies à la question précédente.
2. a) Rappeler les conditions suffisantes vues en cours permettant de
montrer que la topologie associée à un ensemble muni d’une famille de seminormes est métrisable.
b) Montrer que ces conditions sont réunies lorsque l’on munit E des
semi-normes pk , pour k ∈ N.
3. Montrer que parmi les distances qui permettent de métriser E, celle
que l’on a présentée en cours (et que l’on explicitera, sans redémontrer qu’elle
métrise E) fait de E un espace complet.
4. a) Montrer que L2c (R) (ensemble des éléments de L2 (R) dont le
support est compact) est dense dans E (muni des semi-normes pk , pour
k ∈ N).
b) Montrer que D(R) est dense dans E (muni des semi-normes pk , pour
k ∈ N).
R
5. a) En considérant R [y 7→ (1 + y 2 )k f (y)]0 (x) f 0 (x) dx, montrer que
pour k ∈ N∗ et f ∈ D(R),
pk (f 0 )2 ≤ p0 (f 00 ) p2k (f ) + k (2k − 1) pk−1 (f )2 .
En déduire que
pk (f 0 )2 ≤ p0 (f 00 )2 + 2k 2 p2k (f )2 .
b) Soit k, n ∈ N. Montrer qu’il existe Ckn > 0 telle que pour f ∈ D(R),
pk (f
(n)
n+1
X
(q)
) ≤ Ckn p2n k (f ) +
p0 (f ) .
q=1
¶6. a) Soit f ∈ D(R). Montrer que ||f ||2∞ ≤ π p1 (f 0 )2 .
b) Montrer que pour q ∈ N,
sup |(1 + x2 )q f (x)|2 ≤ 2π [p2q+1 (f 0 )]2 + 2π (2q)2 [p2q (f )]2 .
x∈R
c) Montrer que E ∩ H ∞ (R) = S(R). On rappelle que H ∞ (R) :=
∩n∈N H n (R).
Exercice 4 : On note Ω := BR3 (0, 1) la boule unité (euclidienne)
ouverte de R3 , et on considère A ∈ L∞ (Ω) vérifiant
A0 ≤ A(x) ≤ A1
pour presque tout x ∈ Ω,
2
où A0 , A1 > 0.
1. a) Rappeler de manière précise le lien permettant d’identifier un
espace de Hilbert H et son dual topologique H 0 .
b) Pour u, v ∈ H 1 (Ω), on pose
Z << u, v >>=
∇u(x) · ∇v(x) + A(x) u(x) v(x) dx.
Ω
Montrer que cette formule définit un produit scalaire sur H 1 (Ω) dont la
norme associée est équivalente à la norme traditionnelle de H 1 (Ω).
c) L’espace H 1 (Ω) muni de la norme associée au produit scalaire <<
u, v >> est-il complet?
d) Montrer que pour f ∈ L2 (Ω), il existe un unique u ∈ H 1 (Ω) tel que
pour tout v ∈ H 1 (Ω),
Z
Z
Z
∇u(x) · ∇v(x) dx +
A(x) u(x) v(x) dx =
f (x) v(x) dx.
Ω
Ω
Ω
On note u = TA (f ).
e) Rappeler le théorème d’injection de Sobolev de H 1 (d’un domaine
N
de R ) pour N ≥ 3.
f) Montrer que TA est une application linéaire continue de L2 (Ω) dans
L6 (Ω) dont la norme (triple) est inférieure à C A−1
0 , où C est une constante
qui ne dépend pas de A.
2. Soit f ∈ L2 (Ω), et D ∈ L2 (Ω) telle que
D0 ≤ D(x)
pour presque tout x ∈ Ω,
où D0 > 0.
a) Montrer qu’il existe une suite An ∈ L∞ (Ω) telle que
D0 ≤ An (x)
pour presque tout x ∈ Ω,
et telle que An converge vers D dans L2 (Ω) et presque partout.
b) Montrer que TAn (f ) est une suite bornée de H 1 (Ω) dont une soussuite TAσ(n) (f ) vérifie les propriétés suivantes:
TAσ(n) (f ) → g
∇TAσ(n) (f ) * ∇g
pour presque tout x ∈ Ω,
faiblement dans
pour une fonction g ∈ H 1 (Ω).
3
L2 (Ω),
c) Montrer que Aσ(n) TAσ(n) (f ) est une suite bornée de L3/2 (Ω) qui
converge presque partout vers D g.
d) Montrer que D g ∈ L6/5 (Ω) et que Aσ(n) TAσ(n) (f ) est une suite qui
converge vers D g dans L6/5 (Ω) (fort).
e) Montrer que pour tout v ∈ H 1 (Ω),
Z
Z
Z
∇g(x) · ∇v(x) dx +
D(x) g(x) v(x) dx =
f (x) v(x) dx.
Ω
Ω
Ω
¶ f) Quels sont les p < 2 pour lesquels on peut démontrer 2. e) lorsque
D ∈ Lp (Ω) (et D0 ≤ D(x) pour presque tout x ∈ Ω où D0 > 0).
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