Examen 2015-2016

Examen d’analyse fonctionnelle
M1, ENS Cachan, 2015-16
Attention: Les documents ne sont pas autoris´es pour cet examen. Les
exercices peuvent ˆetre trait´es dans l’ordre que vous souhaitez. Le signe ¶
signifie qu’une question est difficile.
Exercice 1 :1. Exhiber un espace topologique qui n’est pas m´etrisable
(on d´emontrera que l’espace choisi est effectivement non m´etrisable).
2. Soit Eun espace topologique.
a) Montrer que si A⊂B⊂E, alors ¯ A⊂¯ B.
b) Montrer que si A⊂Eet B⊂E, alors A∪B=¯ A∪¯ B.
c) Lorsque A⊂Eet B⊂E, a t-on toujours A∩B=¯ A∩¯ B?
Exercice 2 :1. Pour φ∈ D(R), on d´efinit
< T, φ >:= ZR
φ(x)−φ(0)
xe−|x|dx.
a) Montrer que Test une distribution d’ordre au plus 1.
b) Montrer que (x7→ x)T=Uf, o`u f∈L1
loc(R) est une fonction que
l’on explicitera.
c) Montrer que Tse prolonge en une distribution temp´er´ee sur R.
2. a) Calculer la transform´ee de Fourier de x7→ e−|x|.
b) Calculer la transform´ee de Fourier de x7→ 1
1+x2.
c) Montrer que Uarctan se prolonge en une distribution temp´er´ee sur
R, et calculer (ξ7→ ξ) (FUarctan ).
d) Montrer que FUarctan =d T +c δ0, o`u c∈R, et d∈Rest une
constante que l’on calculera.
e) Calculer c.
Exercice 3 : On note
E:= {f∈L2(R),∀k∈N, x 7→ (1 + x2)k/2f(x)∈L2(R)}.
1. a) Montrer que pour k∈N, la formule
pk(f) = ZR (1 + x2)k|f(x)|2dx1/2
d´efinit une semi-norme sur E.
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b) Rappeler quelle est la d´efinition de la topologie de Eassoci´ee aux
semi-normes d´efinies `a la question pr´ec´edente.
2. a) Rappeler les conditions suffisantes vues en cours permettant de
montrer que la topologie associ´ee `a un ensemble muni d’une famille de semi-
normes est m´etrisable.
b) Montrer que ces conditions sont r´eunies lorsque l’on munit Edes
semi-normes pk, pour k∈N.
3. Montrer que parmi les distances qui permettent de m´etriser E, celle
que l’on a pr´esent´ee en cours (et que l’on explicitera, sans red´emontrer qu’elle
m´etrise E) fait de Eun espace complet.
4. a) Montrer que L2
c(R) (ensemble des ´el´ements de L2(R) dont le
support est compact) est dense dans E(muni des semi-normes pk, pour
k∈N).
b) Montrer que D(R) est dense dans E(muni des semi-normes pk, pour
k∈N).
5. a) En consid´erant RR[y7→ (1 + y2)kf(y)]0(x)f0(x)dx, montrer que
pour k∈N∗et f∈ D(R),
pk(f0)2≤p0(f00)p2k(f) + k(2k−1) pk−1(f)2.
En d´eduire que
pk(f0)2≤p0(f00)2+ 2k2p2k(f)2.
b) Soit k, n ∈N. Montrer qu’il existe Ckn >0 telle que pour f∈ D(R),
pk(f(n))≤Ckn p2nk(f) +
n+1
X
q=1
p0(f(q)).
¶6. a) Soit f∈ D(R). Montrer que ||f||2
∞≤π p1(f0)2.
b) Montrer que pour q∈N,
sup
x∈R
|(1 + x2)qf(x)|2≤2π[p2q+1(f0)]2+ 2π(2q)2[p2q(f)]2.
c) Montrer que E∩H∞(R) = S(R). On rappelle que H∞(R) :=
∩n∈NHn(R).
Exercice 4 : On note Ω := BR3(0,1) la boule unit´e (euclidienne)
ouverte de R3, et on consid`ere A∈L∞(Ω) v´erifiant
A0≤A(x)≤A1pour presque tout x∈Ω,
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o`u A0, A1>0.
1. a) Rappeler de mani`ere pr´ecise le lien permettant d’identifier un
espace de Hilbert Het son dual topologique H0.
b) Pour u, v ∈H1(Ω), on pose
<< u, v >>=ZΩ∇u(x)· ∇v(x) + A(x)u(x)v(x)dx.
Montrer que cette formule d´efinit un produit scalaire sur H1(Ω) dont la
norme associ´ee est ´equivalente `a la norme traditionnelle de H1(Ω).
c) L’espace H1(Ω) muni de la norme associ´ee au produit scalaire <<
u, v >> est-il complet?
d) Montrer que pour f∈L2(Ω), il existe un unique u∈H1(Ω) tel que
pour tout v∈H1(Ω),
ZΩ
∇u(x)· ∇v(x)dx +ZΩ A(x)u(x)v(x)dx =ZΩ f(x)v(x)dx.
On note u=TA(f).
e) Rappeler le th´eor`eme d’injection de Sobolev de H1(d’un domaine
de RN) pour N≥3.
f) Montrer que TAest une application lin´eaire continue de L2(Ω) dans
L6(Ω) dont la norme (triple) est inf´erieure `a C A−1
0, o`u Cest une constante
qui ne d´epend pas de A.
2. Soit f∈L2(Ω), et D∈L2(Ω) telle que
D0≤D(x) pour presque tout x∈Ω,
o`u D0>0.
a) Montrer qu’il existe une suite An∈L∞(Ω) telle que
D0≤An(x) pour presque tout x∈Ω,
et telle que Anconverge vers Ddans L2(Ω) et presque partout.
b) Montrer que TAn(f) est une suite born´ee de H1(Ω) dont une sous-
suite TAσ(n)(f) v´erifie les propri´et´es suivantes:
TAσ(n)(f)→gpour presque tout x∈Ω,
∇TAσ(n)(f)*∇gfaiblement dans L2(Ω),
pour une fonction g∈H1(Ω).
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c) Montrer que Aσ(n)TAσ(n)(f) est une suite born´ee de L3/2(Ω) qui
converge presque partout vers D g.
d) Montrer que D g ∈L6/5(Ω) et que Aσ(n)TAσ(n)(f) est une suite qui
converge vers D g dans L6/5(Ω) (fort).
e) Montrer que pour tout v∈H1(Ω),
ZΩ
∇g(x)· ∇v(x)dx +ZΩ D(x)g(x)v(x)dx =ZΩ f(x)v(x)dx.
¶f) Quels sont les p < 2 pour lesquels on peut d´emontrer 2. e) lorsque
D∈Lp(Ω) (et D0≤D(x) pour presque tout x∈Ω o`u D0>0).
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