Examen d’analyse fonctionnelle
M1, ENS Cachan, 2015-16
Attention: Les documents ne sont pas autoris´es pour cet examen. Les
exercices peuvent ˆetre trait´es dans l’ordre que vous souhaitez. Le signe ¶
signifie qu’une question est difficile.
Exercice 1 :1. Exhiber un espace topologique qui n’est pas m´etrisable
(on d´emontrera que l’espace choisi est effectivement non m´etrisable).
2. Soit Eun espace topologique.
a) Montrer que si A⊂B⊂E, alors ¯
A⊂¯
B.
b) Montrer que si A⊂Eet B⊂E, alors A∪B=¯
A∪¯
B.
c) Lorsque A⊂Eet B⊂E, a t-on toujours A∩B=¯
A∩¯
B?
Exercice 2 :1. Pour φ∈ D(R), on d´efinit
< T, φ >:= ZR
φ(x)−φ(0)
xe−|x|dx.
a) Montrer que Test une distribution d’ordre au plus 1.
b) Montrer que (x7→ x)T=Uf, o`u f∈L1
loc(R) est une fonction que
l’on explicitera.
c) Montrer que Tse prolonge en une distribution temp´er´ee sur R.
2. a) Calculer la transform´ee de Fourier de x7→ e−|x|.
b) Calculer la transform´ee de Fourier de x7→ 1
1+x2.
c) Montrer que Uarctan se prolonge en une distribution temp´er´ee sur
R, et calculer (ξ7→ ξ) (FUarctan ).
d) Montrer que FUarctan =d T +c δ0, o`u c∈R, et d∈Rest une
constante que l’on calculera.
e) Calculer c.
Exercice 3 : On note
E:= {f∈L2(R),∀k∈N, x 7→ (1 + x2)k/2f(x)∈L2(R)}.
1. a) Montrer que pour k∈N, la formule
pk(f) = ZR
(1 + x2)k|f(x)|2dx1/2
d´efinit une semi-norme sur E.
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