Examen d’analyse fonctionnelle
M1, ENS Cachan, 2015-16
Attention: Les documents ne sont pas autoris´es pour cet examen. Les
exercices peuvent ˆetre trait´es dans l’ordre que vous souhaitez. Le signe
signifie qu’une question est difficile.
Exercice 1 :1. Exhiber un espace topologique qui n’est pas m´etrisable
(on d´emontrera que l’espace choisi est effectivement non m´etrisable).
2. Soit Eun espace topologique.
a) Montrer que si ABE, alors ¯
A¯
B.
b) Montrer que si AEet BE, alors AB=¯
A¯
B.
c) Lorsque AEet BE, a t-on toujours AB=¯
A¯
B?
Exercice 2 :1. Pour φ∈ D(R), on d´efinit
< T, φ >:= ZR
φ(x)φ(0)
xe−|x|dx.
a) Montrer que Test une distribution d’ordre au plus 1.
b) Montrer que (x7→ x)T=Uf, o`u fL1
loc(R) est une fonction que
l’on explicitera.
c) Montrer que Tse prolonge en une distribution temp´er´ee sur R.
2. a) Calculer la transform´ee de Fourier de x7→ e−|x|.
b) Calculer la transform´ee de Fourier de x7→ 1
1+x2.
c) Montrer que Uarctan se prolonge en une distribution temp´er´ee sur
R, et calculer (ξ7→ ξ) (FUarctan ).
d) Montrer que FUarctan =d T +c δ0, o`u cR, et dRest une
constante que l’on calculera.
e) Calculer c.
Exercice 3 : On note
E:= {fL2(R),kN, x 7→ (1 + x2)k/2f(x)L2(R)}.
1. a) Montrer que pour kN, la formule
pk(f) = ZR
(1 + x2)k|f(x)|2dx1/2
d´efinit une semi-norme sur E.
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b) Rappeler quelle est la d´efinition de la topologie de Eassoci´ee aux
semi-normes d´efinies `a la question pr´ec´edente.
2. a) Rappeler les conditions suffisantes vues en cours permettant de
montrer que la topologie associ´ee `a un ensemble muni d’une famille de semi-
normes est m´etrisable.
b) Montrer que ces conditions sont r´eunies lorsque l’on munit Edes
semi-normes pk, pour kN.
3. Montrer que parmi les distances qui permettent de m´etriser E, celle
que l’on a pr´esent´ee en cours (et que l’on explicitera, sans red´emontrer qu’elle
m´etrise E) fait de Eun espace complet.
4. a) Montrer que L2
c(R) (ensemble des ´el´ements de L2(R) dont le
support est compact) est dense dans E(muni des semi-normes pk, pour
kN).
b) Montrer que D(R) est dense dans E(muni des semi-normes pk, pour
kN).
5. a) En consid´erant RR[y7→ (1 + y2)kf(y)]0(x)f0(x)dx, montrer que
pour kNet f∈ D(R),
pk(f0)2p0(f00)p2k(f) + k(2k1) pk1(f)2.
En d´eduire que
pk(f0)2p0(f00)2+ 2k2p2k(f)2.
b) Soit k, n N. Montrer qu’il existe Ckn >0 telle que pour f∈ D(R),
pk(f(n))Ckn p2nk(f) +
n+1
X
q=1
p0(f(q)).
6. a) Soit f∈ D(R). Montrer que ||f||2
π p1(f0)2.
b) Montrer que pour qN,
sup
xR
|(1 + x2)qf(x)|22π[p2q+1(f0)]2+ 2π(2q)2[p2q(f)]2.
c) Montrer que EH(R) = S(R). On rappelle que H(R) :=
nNHn(R).
Exercice 4 : On note Ω := BR3(0,1) la boule unit´e (euclidienne)
ouverte de R3, et on consid`ere AL(Ω) v´erifiant
A0A(x)A1pour presque tout x,
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o`u A0, A1>0.
1. a) Rappeler de mani`ere pr´ecise le lien permettant d’identifier un
espace de Hilbert Het son dual topologique H0.
b) Pour u, v H1(Ω), on pose
<< u, v >>=Zu(x)· ∇v(x) + A(x)u(x)v(x)dx.
Montrer que cette formule d´efinit un produit scalaire sur H1(Ω) dont la
norme associ´ee est ´equivalente `a la norme traditionnelle de H1(Ω).
c) L’espace H1(Ω) muni de la norme associ´ee au produit scalaire <<
u, v >> est-il complet?
d) Montrer que pour fL2(Ω), il existe un unique uH1(Ω) tel que
pour tout vH1(Ω),
Z
u(x)· ∇v(x)dx +Z
A(x)u(x)v(x)dx =Z
f(x)v(x)dx.
On note u=TA(f).
e) Rappeler le th´eor`eme d’injection de Sobolev de H1(d’un domaine
de RN) pour N3.
f) Montrer que TAest une application lin´eaire continue de L2(Ω) dans
L6(Ω) dont la norme (triple) est inf´erieure `a C A1
0, o`u Cest une constante
qui ne d´epend pas de A.
2. Soit fL2(Ω), et DL2(Ω) telle que
D0D(x) pour presque tout x,
o`u D0>0.
a) Montrer qu’il existe une suite AnL(Ω) telle que
D0An(x) pour presque tout x,
et telle que Anconverge vers Ddans L2(Ω) et presque partout.
b) Montrer que TAn(f) est une suite born´ee de H1(Ω) dont une sous-
suite TAσ(n)(f) v´erifie les propri´et´es suivantes:
TAσ(n)(f)gpour presque tout x,
TAσ(n)(f)*gfaiblement dans L2(Ω),
pour une fonction gH1(Ω).
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c) Montrer que Aσ(n)TAσ(n)(f) est une suite born´ee de L3/2(Ω) qui
converge presque partout vers D g.
d) Montrer que D g L6/5(Ω) et que Aσ(n)TAσ(n)(f) est une suite qui
converge vers D g dans L6/5(Ω) (fort).
e) Montrer que pour tout vH1(Ω),
Z
g(x)· ∇v(x)dx +Z
D(x)g(x)v(x)dx =Z
f(x)v(x)dx.
f) Quels sont les p < 2 pour lesquels on peut d´emontrer 2. e) lorsque
DLp(Ω) (et D0D(x) pour presque tout xΩ o`u D0>0).
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