Théorèmes limite

X m σ2
X∗=X−m
σX
E(X∗)=0, σ(X∗)=1
(Xn)n≥1m
σ2
Mn=1
n
n
X
k=1
Xk
E(Mn) = m, σ(Mn) = σ
√n
(Xn)n∈N∗m
σ
n∈N∗
Mn=1
n
n
X
k=1
Xk
∀ε > 0, P ([|Mn−m|>ε]) −→
n→+∞0
(Mn)m
Mn
6
©
G6
G10 6 10
1000 10000

(Xn)n∈N∗
X1+··· +Xn
n−→
n→+∞
E(Xn)
1
(Xn)n∈NNX
N
(Xn)n∈NX
∀k∈NP([Xn=k]) −→
n→+∞P([X=k])
n∈Np∈Q
(XN)N∈N
XN→ H(N, n, p)
Np ∈NN
k∈J0, nK
P([XN=k]) −→
N→+∞n
kpk(1 −p)n−k
(XN)N∈N
n p
N>10nH(N, n, p)
B(n, p)

λ > 0 (Xn)n∈Nn∈NXn→ B(n, λ
n)
k∈J0, nK
P([Xn=k]) −→
n→+∞
λk
k!e−λ
(Xn)n∈Nλ
n p
np p 60,1n>30

(Xn)n∈NX F
X F
(Xn)n∈NX
∀x∈I Fn(x)−→
n→+∞F(x)
G
∀a, b ∈R, P (a<Xn< b)−→
n→+∞P(a < X < b)
G
(Xn)n∈N∗
µ Xnn∈N∗σ
n∈N∗
Mn=1
n
n
X
k=1
XkM∗
n=Mn−µ
σ
√n
(M∗
n)n∈N∗
ΦN(0,1) a b
a<b
P a < Mn−µ
σ
√n
< b!−→
n→+∞Φ(b)−Φ(a) = Zb
a
exp(−x2
2)
√2πx
Sn=
n
X
k=1
XkS∗
n=Sn−nµ
√nσ
Pa < Sn−nµ
√nσ < b−→
n→+∞Φ(b)−Φ(a)

p∈]0,1[ (Sn)n∈N∗
∀n∈N∗, Sn→ B(n, p)
P(a≤S∗
n≤b)−→
n→+∞Φ(b)−Φ(a)
Pa≤Sn−np
√npq ≤b−→
n→+∞Φ(b)−Φ(a)
p∈]0,1[ (Sn)n∈NSn→ B(n, p)
P(a≤Sn≤b)
P(a6Sn6b) = Pa−np
√npq 6S∗
n6b−np
√npq 
≈Φb−np
√npq −Φa−np √npq 
B(n, p)N(np, √npq)
n>30 np >5nq >5
P(Sn=k)a=b=k
0
k P (Sn=k)Pk−1
26Sn6k+1 2
P(Sn=k)≈Φ k+1
2−np
√npq !−Φ k−1
2−np
√npq !
©50
20 30