Synthèse : lois usuelles 1 Loi Binômiale Ck Ck 2 Loi de

2BTS Mathématiques
Synthèse : lois usuelles
1 Loi Binômiale
Formulaire
Une succession de népreuves indépendantes (tirage avec remise) ou un tirage sans remise d’un
échantillon de taille ndans une grande population de taille Navec ntrès petit devant N, avec la
même probabilité pde succès : dans ce cas la variable aléatoire Xqui mesure le nombre kde
succès suit une Loi Binômiale de paramètres net p. On note : X B(n, p).
La probabilité d’obtenir ksuccès lors de ces népreuves (06k6n) est donnée par :
P(X=k) =Ck
npk(1 −p)n−kou P(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k
Si la variable Xsuit une Loi Binomiale de paramètres net p, on admet que :
E(X) = np
V(X) = np(1 −p) = npq
σX=√npq
Remarque
La Loi Binômiale est difficile à utiliser quand nest grand (le calcul des nombres du type Ck
nest
délicat sur calculatrice dès que nest trop grand). On utilise alors dans les conditions ci-après la
Loi de Poisson.
2 Loi de Poisson
Conditions
❶Dans les cas où les conditions de la Loi Binômiale sont réunies : répétitions indépendantes
d’une même épreuve succès-échec et où la probabilité du cas favorable est faible.
❷Si nest grand,ppetit voisin de 0et np pas trop grand (loi des événements rares) : si n>50
et p60,1et np 65(conditions admises qui peuvent varier selon les secteurs d’activité)
❸Dans le cas d’une distribution statistique d’une variable Xayant ses valeurs faibles avec des
fréquences élevées et vérifiant E(X) = V(X).
Formulaire
Quand on peut approcher la loi B(n, p)par la loi P(λ), le paramètre λest défini par : λ=n×p=np .
pour tout k∈N
P(X=k) = λk
k!e−λ
E(x) = λ
V(X) = λ
σX=√λ
On note : Xsuit la loi P(λ)ou X P(λ). La Loi de Poisson est tabulée.
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Synthèse : lois usuelles
3 Loi Normale
La Loi Binomiale et la Loi de Poisson sont des lois discrètes : la variable aléatoire étudiée Xne
prend que des valeurs isolées (entières) et en nombre fini. Dans le cas où Xprend toute valeur d’un
intervalle ou de R, on dit que Xest une Variable Aléatoire Continue.
Si Xest une variable aléatoire d’espérance m(sa moyenne) et d’écart-type σ,Xsuit une Loi
Normale de paramètres met σ. On note : X N(m, σ).
Propriétés
On introduit une nouvelle variable aléatoire Tdéfinie par :
T=X−m
σ
Cette variable Test dite centrée et réduite.Tsuit alors la Loi Normale N(0,1) de paramètres
m= 0 et σ= 1,cette loi est tabulée.
P(T6t) = Π(t)
P(T6−t) = 1−Π(t)
P(a6T6b) = Π(b)−Π(a)
P(−t6T6t) = Π(t)−Π(−t) = 2 Π(t)−1
P(T>t) = 1−P(T6t) = 1−Π(t)
Approximation d’une Loi Binômiale
Une Loi Binômiale B(n, p)peut être remplacée ("approximée") par la Loi Normale N(m, σ)dans
les conditions ci dessous :
m=n×p
σ=pn×p×(1 −p)
nest grand et ppas trop petit
n>50 et p > 0,1et np(1 −p)>3
Remarque
Les conditions d’approximation ci-dessus sont celles du BTS Hôtellerie 2005 (corrigé) mais d’autres
auteurs ou secteurs d’activité donnent : n>30 et 0,2< p < 0,8et np > 15 et n(1 −p)>15.
Approximation d’une Loi de Poisson
Dans le cas où λ=np >20, on peut remplacer P(λ)par N(m, σ)avec : m=λet σ=√λ.
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