Synthèse : lois usuelles 1 Loi Binômiale Ck Ck 2 Loi de

2BTS
Mathématiques
Synthèse : lois usuelles
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Loi Binômiale
Formulaire
Une succession de n épreuves indépendantes (tirage avec remise) ou un tirage sans remise d’un
échantillon de taille n dans une grande population de taille N avec n très petit devant N , avec la
même probabilité p de succès : dans ce cas la variable aléatoire X qui mesure le nombre k de
succès suit une Loi Binômiale de paramètres n et p. On note : X
B(n, p).
La probabilité d’obtenir k succès lors de ces n épreuves (0 6 k 6 n) est donnée par :
k k
n p (1
P (X = k) =C
n−k
− p)
n k
ou P (X = k) =
p (1 − p)n−k
k
Si la variable X suit une Loi Binomiale de paramètres n et p, on admet que :
E(X) = np
V (X) = np(1 − p) = npq
√
σX = npq
Remarque
k
La Loi Binômiale est difficile à utiliser quand n est grand (le calcul des nombres du type Cn est
délicat sur calculatrice dès que n est trop grand). On utilise alors dans les conditions ci-après la
Loi de Poisson.
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Loi de Poisson
Conditions
❶ Dans les cas où les conditions de la Loi Binômiale sont réunies : répétitions indépendantes
d’une même épreuve succès-échec et où la probabilité du cas favorable est faible.
❷ Si n est grand, p petit voisin de 0 et np pas trop grand (loi des événements rares) : si n > 50
et p 6 0, 1 et np 6 5 (conditions admises qui peuvent varier selon les secteurs d’activité)
❸ Dans le cas d’une distribution statistique d’une variable X ayant ses valeurs faibles avec des
fréquences élevées et vérifiant E(X) = V (X).
Formulaire
Quand on peut approcher la loi B(n, p) par la loi P(λ), le paramètre λ est défini par : λ = n × p = np .
pour tout k ∈ N
λk −λ
e
k!
E(x) = λ
P (X = k) =
V (X) = λ
√
σX = λ
On note : X suit la loi P(λ) ou X
P(λ). La Loi de Poisson est tabulée.
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Synthèse : lois usuelles
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Loi Normale
La Loi Binomiale et la Loi de Poisson sont des lois discrètes : la variable aléatoire étudiée X ne
prend que des valeurs isolées (entières) et en nombre fini. Dans le cas où X prend toute valeur d’un
intervalle ou de R, on dit que X est une Variable Aléatoire Continue.
Si X est une variable aléatoire d’espérance m (sa moyenne) et d’écart-type σ, X suit une Loi
Normale de paramètres m et σ. On note : X
N (m, σ).
Propriétés
On introduit une nouvelle variable aléatoire T définie par :
T =
X −m
σ
Cette variable T est dite centrée et réduite. T suit alors la Loi Normale N (0, 1) de paramètres
m = 0 et σ = 1, cette loi est tabulée.
P(T 6 t) = Π(t)
P(T 6 −t) = 1 − Π(t)
P(a 6 T 6 b) = Π(b) − Π(a)
P(−t 6 T 6 t) = Π(t) − Π(−t) = 2 Π(t) − 1
P(T > t) = 1 − P(T 6 t) = 1 − Π(t)
Approximation d’une Loi Binômiale
Une Loi Binômiale B(n, p) peut être remplacée ("approximée") par la Loi Normale N (m, σ) dans
les conditions ci dessous :
m=n×p
p
σ = n × p × (1 − p)
n est grand et p pas trop petit
n > 50 et p > 0, 1 et np(1 − p) > 3
Remarque
Les conditions d’approximation ci-dessus sont celles du BTS Hôtellerie 2005 (corrigé) mais d’autres
auteurs ou secteurs d’activité donnent : n > 30 et 0, 2 < p < 0, 8 et np > 15 et n(1 − p) > 15.
Approximation d’une Loi de Poisson
Dans le cas où λ = np > 20, on peut remplacer P(λ) par N (m, σ) avec : m = λ et σ =
Probabilités
√
λ.
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