Espaces préhilbertiens réels ou complexes

Espaces préhilbertiens réels ou complexes
I. Formes bilinéaires symétriques
Dans ce paragraphe, Edésigne un R-espace vectoriel .
1. Définitions
a) Formes bilinéaires
On appelle forme bilinéaire sur E, toute application, ϕ, de E2dans R, linéaire par rapport à chacune
de ses deux variables, c’est à dire vérifiant :
(∀(x1, x2)∈E2,∀α∈R,∀y∈E, ϕ((x1+αx2, y)) = ϕ((x1, y)) + αϕ((x2, y)) "c’est la linéarité à gauche"
∀x∈E, ∀α∈R,∀(y1, y2)∈E2, , ϕ((x, y1+αy2)) = ϕ((x, y1)) + αϕ((x, y2)) "c’est la linéarité à droite"
On a immédiatement les propriétés suivantes, pour toute forme bilinéaire sur E,ϕ:
•∀x∈E, ϕ((x, 0)) = ϕ((0, x)) = 0
•Pour toutes familles (x1, . . . , xn)et (y1, . . . , yp)de vecteurs de Eet toutes familles (α1, . . . , αn)et
(β1, . . . , βp)de réels, on a :
ϕ
n
X
i=1
αixi,
p
X
j=1
βjyj
=X
(i,j)∈[[1;n]]×[[1;p]]
αiβjϕ((xi, yj))
b) Formes bilinéaires symétriques
Une forme bilinéaire sur E,ϕ, est symétrique si, et seulement si, elle vérifie :
∀(x, y)∈E2, ϕ((x, y)) = ϕ((y, x))
En pratique, pour vérifier qu’une application de E2dans Rest une forme bilinéaire symétrique, il suffit
de vérifier la linéarité à droite et la symétrie !
c) Formes bilinéaires symétriques positives
Une forme bilinéaire, symétrique ϕ, sur Eest positive si, et seulement si, elle vérifie :
∀x∈E, ϕ((x, x)) >0
d) Formes bilinéaires symétriques définies positives
Une forme bilinéaire symétrique sur E,ϕ, est définie positive si, et seulement si, :
∀x∈E\ {0}, ϕ((x, x)) >0
Pour démontrer qu’une forme bilinéaire symétrique sur E,ϕ, est définie positive, il suffit de vérifier
qu’elle est positive et de démontrer :
∀x∈E, (ϕ((x, x)) = 0 ⇒x= 0)
e) Formes quadratiques
On appelle forme quadratique sur E, toute application, q, de Edans Rpour laquelle il existe une
forme bilinéaire symétrique sur E,ϕ, telle que : ∀x∈E, q(x) = ϕ((x, x)).qest alors appelée forme
quadratique associée à ϕ.
Attention, pour toute forme quadratique sur E,q, on a : ∀x∈E, ∀λ∈R, q(λx) = λ2q(x)
f) Formes quadratiques positives
Une forme quadratique sur E,q, est positive si, et seulement si, elle vérifie :
∀x∈E, q(x)>0
ce qui signifie qu’elle est associée à une forme bilinéaire symétrique positive.
g) Formes quadratiques définies positives
Une forme quadratique sur E,q, est définie positive si, et seulement si, elle vérifie :
∀x∈E\ {0}, q(x)>0
ce qui signifie qu’elle est associée à une forme bilinéaire symétrique définie positive.
h) exemples
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2. Polarisation
a) Problème : une forme quadratique est définie à l’aide d’une forme bilinéaire symétrique. Mais cette
forme bilinéaire est-elle unique ? On considère donc une forme quadratique qassociée à la forme
bilinéaire symétrique ϕ. On va montrer que ϕest parfaitement déterminée par la donnée de q, c’est à
dire que pour connaître ϕ((x, y)) pour tout (x, y)de E2,il suffit de connaître pour tout x,q(x), c’est à
dire ϕ((x, x)).
b) Quelques calculs
Par bilinéarité et symétrie, on a pour tout (x, y)de E2:
q(x+y) = ϕ(x+y, x +y) = q(x) + q(y)+2ϕ((x, y)
Et de même : q(x−y) = q(x) + q(y)−2ϕ((x, y)) ( formule bien connue !!?).
Par différence,on a l’identité de polarisation : ϕ(x, y) = 1
4(q(x+y)−q(x−y))
Par somme, on a l’identité du parallélogramme : q(x+y) + q(x−y) = 2(q(x) + q(y)).
c) Conclusion
L’application de l’ensemble, BilS(E), des formes bilinéaires symétriques sur Evers l’ensemble, Q(E)
des formes quadratiques sur Equi à toute forme bilinéaire symétrique associe sa forme quadratique
"associée" était surjective, par définition des formes quadratiques, elle est aussi grâce à l’identité de
polarisation, injective. C’est donc une bijection. On peut donc aussi bien parlerde forme quadratique
associée à une forme bilinéaire symétrique que de la forme bilinéaire symétrique associée à une forme
quadratique.
3. Inégalité de Cauchy-Schwarz
a) Effet de la positivité
Soit ϕune forme bilinéaire symétrique positive sur Eet qsa forme quadratique associée. On considère,
pour tout xet yvecteurs de Eet pour tout réel t, le vecteur : tx +yque l’on note z(t). On a, par
bilinéarité et symétrie : q(z(t)) = t2q(x) + 2tϕ((x, y)) + q(y). Or qest positive donc la fonction réelle
de la variable réelle (t7→ q(z(t))) est positive. Or c’est une fonction polynôme de degré au plus deux.
Deux cas se présentent :
•elle est de degré 2, c’est à dire q(x)>0.
Elle a alors au plus une racine ( double), donc son discriminant est négatif, ce qui donne :
ϕ((x, y))26q(x)q(y)
•elle est de degré au plus 1c’est à dire q(x)=0.
Son coefficient directeur doit être nul, soit ϕ((x, y)) = 0 et on a donc encore : ϕ((x, y)26q(x)q(y).
b) Cas d’égalité
On suppose, ici, qdéfinie positive. Dans le cas q(x)>0, l’égalité ϕ((x, y))2=q(x)q(y)signifie que
la fonction considérée a une racine double, donc : ∃t0∈R, q(z(t0)) = 0 et ce qui équivaut, à cause
du caractère défini positif, à : ∃t0∈R, y =−t0xsoit donc à xet ysont colinéaires. Le cas q(x)=0,
signifie, par le caractère défini positif, x= 0 et donc xet ycolinéaires.
c) Théorème Inégalité de Cauchy-Schwarz
Si ϕest une forme bilinéaire symétrique positive sur le R-espace vectoriel E, de forme quadratique associée
q, alors :
∀(x, y)∈E2,|ϕ((x, y))|6pq(x)pq(y)
De plus si ϕest définie positive, le cas d’égalité équivaut à xet yson colinéaires.
4. Structures
On vérifie facilement que BilS(E)et Q(E)sont des R-espaces vectoriels en tant que sous-espaces vectoriels
respectivement des R-espaces vectoriels des applications de E2dans Ret de celles de Edans R.
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II. Espaces préhilbertiens réels
Dans ce paragraphe, Edésigne un R-espace vectoriel .
1. Produit scalaire
On appelle produit scalaire sur le R-espace vectoriel E, toute forme bilinéaire sur Esymétrique définie
positive.
2. Espace préhilbertien réel
On appelle espace préhilbertien réel, tout R-espace vectoriel , E, sur lequel on a fixé un produit scalaire.
Le produit scalaire de deux vecteurs xet yde Eest alors noté : x|y.
La forme quadratique définie positive associée permet alors de définir la norme d’un vecteur :
∀x∈E, kxk=qx|x
Le vecteurs de normes 1sont dits unitaires.
On définit aussi la distance entre deux vecteurs d(x, y)par : d(x, y) = ky−xk.
3. Exemples
a) Rnmuni de son produit scalaire canonique.
Si dans Rn,x= (x1, . . . , xn)et y= (y1, . . . , yn), on a alors :
x|y=xty=
n
P
k=1
xkyk
kxk2=xtx=
n
P
k=1
x2
k
d(x, y) = sn
P
k=1
(yk−xk)2
b) Le R-espace vectoriel des applications continues du segment [a;b]de Rvers R,C([a;b],R), muni de :
∀(f, g)∈ C ([a;b],R)2,f|g=Z[a;b] f.g
c) R[X]muni de :
∀(P, Q)∈R[X]2,P|Q=Z[0; 1] P.Q
4. Théorème Inégalité de Cauchy-Schwarz
Si Eest un espace préhilbertien réel, alors :
∀(x, y)∈E2,x|y6kxk kyk
De plus, le cas d’égalité équivaut à xet yson colinéaires.
Il s’agit simplement de la transcription de l’inégalité du paragraphe précédent avec les notations de celui-ci.
5. Propriétés de la norme
a) Théorème Inégalité triangulaire ( ou de Minkowski)
Si Eest un espace préhilbertien réel, alors : ∀(x, y)∈E2,kx+yk6kxk+kyk
Démonstration : pour tout xet yde E, on a : (kx+yk2=kxk2+kyk2+ 2x|yd’une part
(kxk+kyk)2=kxk2+kyk2+ 2 kxk kykd’autre part
L’inégalité de Cauchy-Schwarz permet de conclure.
b) Conséquences.
Dans un espace préhilbertien réel E, on a les propriétés suivantes :
•∀x∈E, (kxk= 0 ⇐⇒ x= 0)
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•∀x∈E, ∀λ∈R,kλxk=|λ| kxk
•∀(x, y)∈E2,|kxk−kyk| 6kx−yk6kxk+kyk
c) Traduction en terme de distances
Dans un espace préhilbertien réel E, on a les propriétés suivantes :
•∀(x, y)∈E2,(d(x, y)=0 ⇐⇒ x=y)
•∀(x, y)∈E2, d(x, y) = d(y, x)
•∀(x, y, z)∈E3,|d(x, z)−d(y, z)|6d(x, y)6d(x, z) + d(y, z)
6. Polarisation
On réécrit les propriétés du I.2. dans l’espace préhilbertien réel E:
•∀(x, y)∈E2,kx+yk2=kxk2+kyk2+ 2x|y
•∀(x, y)∈E2,kx−yk2=kxk2+kyk2−2x|y( formule célèbre ?!)
•∀(x, y)∈E2,x|y=1
4kx+yk2− kx−yk2( identité de polarisation)
•∀(x, y)∈E2,kx+yk2+kx−yk2= 2 kxk2+kyk2( identité du parallélogramme)
7. Visualisation
A vous de visualiser sur des figures, l’inégalité triangulaire, la "formule célèbre", les deux identités de
polarisation et du parallélogramme qui se révéleront aussi être des formules . . . célèbres !
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III. Espaces préhilbertiens complexes
Dans ce paragraphe, Edésigne un C-espace vectoriel . Il s’agit, ici, d’adapter les notions précédentes au cas
d’un C-espace vectoriel .
1. Produit scalaire
On appelle produit scalaire sur le C-espace vectoriel E, toute forme sesquilinéaire, ϕ, sur E, à symétrie
hermitienne, définie positive, c’est à dire tout application de E2dans Cvérifiant :
∀x∈E, ∀α∈C,∀(y1, y2)∈E2, , ϕ((x, y1+αy2)) = ϕ((x, y1)) + αϕ((x, y2)) "c’est la linéarité à droite"
∀(x, y)∈E2, ϕ((y, x)) = ϕ((x, y)) "c’est la symétrie hermitienne"
∀x∈E\ {0}, ϕ((x, x)) >0"c’est le caractère défini positif"
Remarques
•La symétrie hermitienne assure : ∀x∈E, ϕ((x, x)) ∈R, ce qui rend cohérente la définition du
caractère défini positif qui aurait pu surprendre pour une application à valeurs dans C.
•La linéarité à droite et la symétrie hermitienne donnent seulement la semi-linéarité à gauche ( sesquil-
inéaire veut dire une fois et demie linéaire), c’est à dire : (∀(x1, x2, y)∈E3, ϕ((x1+x2, y)) = ϕ((x1, y)) + ϕ((x2, y))
∀(x, y)∈E2,∀λ∈C, ϕ((λ.x, y)) = λ.ϕ((x, y))
•Pour une forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne, on a par linéarité à droite et semi-linéarité à
gauche : ∀x∈E, ϕ((x, 0)) = ϕ((0, x)) = 0.
2. Espace préhilbertien complexe
On appelle espace préhilbertien complexe, tout C-espace vectoriel , E, sur lequel on a fixé un produit
scalaire. Le produit scalaire de deux vecteurs xet yde Eest alors noté : x|y.
On définit alors la norme d’un vecteur : ∀x∈E, kxk=qx|xet les vecteurs de normes 1sont dits
unitaires.
On définit aussi la distance entre deux vecteurs d(x, y)par : d(x, y) = ky−xk.
Attention
Pour tout xet yde l’espace préhilbertien complexe E, on a :
kx+yk2=x+y|x+y=kxk2+x|y+y|x+kyk2
La symétrie hermitienne donc : ∀(x, y)∈E2,kx+yk2=kxk2+kyk2+ 2Rex|y. A noter que ce
résultat est valable également dans un espace préhilbertien réel puisqu’alors : x|y=Rex|y.
3. Exemples
a) Cnmuni de son produit scalaire canonique.
Si dans Cn,x= (x1, . . . , xn)et y= (y1, . . . , yn), on a alors :
x|y=xty=
n
P
k=1
xkyk
kxk2=xtx=
n
P
k=1
xkxk=
n
P
k=1
|xk|2
d(x, y) = sn
P
k=1
|yk−xk|2
b) Le C-espace vectoriel des applications continues du segment [a;b]de Rvers C,C([a;b],C), muni de :
∀(f, g)∈ C ([a;b],C)2,f|g=Z[a;b]
¯
f.g
c) Le C-espace vectoriel des applications continues et 2π-pérodique de Rvers C,C2π, muni de :
∀(f, g)∈ C2
2π,f|g=1
2πZ[0; 2π]
¯
f.g
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