Espaces préhilbertiens réels ou complexes

Espaces préhilbertiens réels ou complexes
I. Formes bilinéaires symétriques
Dans ce paragraphe, E désigne un R-espace vectoriel .
1. Définitions
a) Formes bilinéaires
On appelle forme bilinéaire sur E, toute application, ϕ, de E 2 dans R, linéaire par rapport à chacune
de ses deux variables, c’est à dire vérifiant :
(
∀(x1 , x2 ) ∈ E 2 , ∀α ∈ R, ∀y ∈ E, ϕ((x1 + αx2 , y)) = ϕ((x1 , y)) + αϕ((x2 , y)) "c’est la linéarité à gauche"
∀x ∈ E, ∀α ∈ R, ∀(y1 , y2 ) ∈ E 2 , , ϕ((x, y1 + αy2 )) = ϕ((x, y1 )) + αϕ((x, y2 )) "c’est la linéarité à droite"
On a immédiatement les propriétés suivantes, pour toute forme bilinéaire sur E, ϕ :
• ∀x ∈ E, ϕ((x, 0)) = ϕ((0, x)) = 0
• Pour toutes familles (x1 , . . . , xn ) et (y1 , . . . , yp ) de vecteurs de E et toutes familles (α1 , . . . , αn ) et
(β1 , . . . , βp ) de réels, on a :


p
n
X
X
X
ϕ 
αi xi ,
βj yj  =
αi βj ϕ((xi , yj ))
i=1
j=1
(i,j)∈[[1;n]]×[[1;p]]
b) Formes bilinéaires symétriques
Une forme bilinéaire sur E, ϕ, est symétrique si, et seulement si, elle vérifie :
∀(x, y) ∈ E 2 , ϕ((x, y)) = ϕ((y, x))
En pratique, pour vérifier qu’une application de E 2 dans R est une forme bilinéaire symétrique, il suffit
de vérifier la linéarité à droite et la symétrie !
c) Formes bilinéaires symétriques positives
Une forme bilinéaire, symétrique ϕ, sur E est positive si, et seulement si, elle vérifie :
∀x ∈ E, ϕ((x, x)) > 0
d) Formes bilinéaires symétriques définies positives
Une forme bilinéaire symétrique sur E, ϕ, est définie positive si, et seulement si, :
∀x ∈ E \ {0}, ϕ((x, x)) > 0
Pour démontrer qu’une forme bilinéaire symétrique sur E, ϕ, est définie positive, il suffit de vérifier
qu’elle est positive et de démontrer :
∀x ∈ E, (ϕ((x, x)) = 0 ⇒ x = 0)
e) Formes quadratiques
On appelle forme quadratique sur E, toute application, q, de E dans R pour laquelle il existe une
forme bilinéaire symétrique sur E, ϕ, telle que : ∀x ∈ E, q(x) = ϕ((x, x)). q est alors appelée forme
quadratique associée à ϕ.
Attention, pour toute forme quadratique sur E, q, on a : ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, q(λx) = λ2 q(x)
f) Formes quadratiques positives
Une forme quadratique sur E, q, est positive si, et seulement si, elle vérifie :
∀x ∈ E, q(x) > 0
ce qui signifie qu’elle est associée à une forme bilinéaire symétrique positive.
g) Formes quadratiques définies positives
Une forme quadratique sur E, q, est définie positive si, et seulement si, elle vérifie :
∀x ∈ E \ {0}, q(x) > 0
ce qui signifie qu’elle est associée à une forme bilinéaire symétrique définie positive.
h) exemples
1
2. Polarisation
a) Problème : une forme quadratique est définie à l’aide d’une forme bilinéaire symétrique. Mais cette
forme bilinéaire est-elle unique ? On considère donc une forme quadratique q associée à la forme
bilinéaire symétrique ϕ. On va montrer que ϕ est parfaitement déterminée par la donnée de q, c’est à
dire que pour connaître ϕ((x, y)) pour tout (x, y) de E 2 ,il suffit de connaître pour tout x, q(x), c’est à
dire ϕ((x, x)).
b) Quelques calculs
Par bilinéarité et symétrie, on a pour tout (x, y) de E 2 :
q(x + y) = ϕ(x + y, x + y) = q(x) + q(y) + 2ϕ((x, y)
Et de même : q(x − y) = q(x) + q(y) − 2ϕ((x, y)) ( formule bien connue !!?).
Par différence,on a l’identité de polarisation : ϕ(x, y) = 14 (q(x + y) − q(x − y))
Par somme, on a l’identité du parallélogramme : q(x + y) + q(x − y) = 2(q(x) + q(y)).
c) Conclusion
L’application de l’ensemble, BilS (E), des formes bilinéaires symétriques sur E vers l’ensemble, Q(E)
des formes quadratiques sur E qui à toute forme bilinéaire symétrique associe sa forme quadratique
"associée" était surjective, par définition des formes quadratiques, elle est aussi grâce à l’identité de
polarisation, injective. C’est donc une bijection. On peut donc aussi bien parlerde forme quadratique
associée à une forme bilinéaire symétrique que de la forme bilinéaire symétrique associée à une forme
quadratique.
3. Inégalité de Cauchy-Schwarz
a) Effet de la positivité
Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique positive sur E et q sa forme quadratique associée. On considère,
pour tout x et y vecteurs de E et pour tout réel t, le vecteur : tx + y que l’on note z(t). On a, par
bilinéarité et symétrie : q(z(t)) = t2 q(x) + 2tϕ((x, y)) + q(y). Or q est positive donc la fonction réelle
de la variable réelle (t 7→ q(z(t))) est positive. Or c’est une fonction polynôme de degré au plus deux.
Deux cas se présentent :
• elle est de degré 2, c’est à dire q(x) > 0.
Elle a alors au plus une racine ( double), donc son discriminant est négatif, ce qui donne :
ϕ((x, y))2 6 q(x)q(y)
• elle est de degré au plus 1 c’est à dire q(x) = 0.
Son coefficient directeur doit être nul, soit ϕ((x, y)) = 0 et on a donc encore : ϕ((x, y)2 6 q(x)q(y).
b) Cas d’égalité
On suppose, ici, q définie positive. Dans le cas q(x) > 0, l’égalité ϕ((x, y))2 = q(x)q(y) signifie que
la fonction considérée a une racine double, donc : ∃t0 ∈ R, q(z(t0 )) = 0 et ce qui équivaut, à cause
du caractère défini positif, à : ∃t0 ∈ R, y = −t0 x soit donc à x et y sont colinéaires. Le cas q(x) = 0,
signifie, par le caractère défini positif, x = 0 et donc x et y colinéaires.
c) Théorème
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Si ϕ est une forme bilinéaire symétrique positive sur le R-espace vectoriel E, de forme quadratique associée
q, alors :
p
p
∀(x, y) ∈ E 2 , |ϕ((x, y))| 6 q(x) q(y)
De plus si ϕ est définie positive, le cas d’égalité équivaut à x et y son colinéaires.
4. Structures
On vérifie facilement que BilS (E) et Q(E) sont des R-espaces vectoriels en tant que sous-espaces vectoriels
respectivement des R-espaces vectoriels des applications de E 2 dans R et de celles de E dans R.
2
II. Espaces préhilbertiens réels
Dans ce paragraphe, E désigne un R-espace vectoriel .
1. Produit scalaire
On appelle produit scalaire sur le R-espace vectoriel E, toute forme bilinéaire sur E symétrique définie
positive.
2. Espace préhilbertien réel
On appelle espace préhilbertien réel, tout R-espace vectoriel , E, sur lequel on a fixé un produit scalaire.
Le produit scalaire de deux vecteurs x et y de E est alors noté : x|y .
La forme quadratique définie positive associée permet alors de définir la norme d’un vecteur :
q
x|x
∀x ∈ E, kxk =
Le vecteurs de normes 1 sont dits unitaires.
On définit aussi la distance entre deux vecteurs d(x, y) par : d(x, y) = ky − xk.
3. Exemples
a) Rn muni de son produit scalaire canonique.

n
P
t


x|y = x y =
xk yk



k=1


n
P

t
2
2
Si dans Rn , x = (x1 , . . . , xn ) et y = (y1 , . . . , yn ), on a alors : kxk = x x = k=1 xk

s


n

P


(yk − xk )2
d(x,
y)
=


k=1
b) Le R-espace vectoriel des applications continues du segment [a; b] de R vers R, C ([a; b], R), muni de :
Z
2
∀(f, g) ∈ C ([a; b], R) , f |g =
f.g
[a; b]
c) R[X] muni de :
∀(P, Q) ∈ R[X]2 , P |Q =
Z
P.Q
[0; 1]
4. Théorème
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Si E est un espace préhilbertien réel, alors :
∀(x, y) ∈ E 2 , x|y 6 kxk kyk
De plus, le cas d’égalité équivaut à x et y son colinéaires.
Il s’agit simplement de la transcription de l’inégalité du paragraphe précédent avec les notations de celui-ci.
5. Propriétés de la norme
a) Théorème
Inégalité triangulaire ( ou de Minkowski)
Si E est un espace préhilbertien réel, alors : ∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk 6 kxk + kyk
(
2
2
2
kx + yk = kxk + kyk + 2 x|y
Démonstration : pour tout x et y de E, on a :
2
2
2
(kxk + kyk) = kxk + kyk + 2 kxk kyk
L’inégalité de Cauchy-Schwarz permet de conclure.
b) Conséquences.
Dans un espace préhilbertien réel E, on a les propriétés suivantes :
• ∀x ∈ E, (kxk = 0 ⇐⇒ x = 0)
3
d’une part
d’autre part
• ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, kλxk = |λ| kxk
• ∀(x, y) ∈ E 2 , |kxk − kyk| 6 kx − yk 6 kxk + kyk
c) Traduction en terme de distances
Dans un espace préhilbertien réel E, on a les propriétés suivantes :
• ∀(x, y) ∈ E 2 , (d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y)
• ∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) = d(y, x)
• ∀(x, y, z) ∈ E 3 , |d(x, z) − d(y, z)| 6 d(x, y) 6 d(x, z) + d(y, z)
6. Polarisation
On réécrit les propriétés du I.2. dans l’espace préhilbertien réel E :
2
2
2
• ∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk = kxk + kyk + 2 x|y
2
2
2
• ∀(x, y) ∈ E 2 , kx − yk = kxk + kyk − 2 x|y ( formule célèbre ?!)
2
2
• ∀(x, y) ∈ E 2 , x|y = 41 kx + yk − kx − yk ( identité de polarisation)
2
2
2
2
• ∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk ( identité du parallélogramme)
7. Visualisation
A vous de visualiser sur des figures, l’inégalité triangulaire, la "formule célèbre", les deux identités de
polarisation et du parallélogramme qui se révéleront aussi être des formules . . . célèbres !
4
III. Espaces préhilbertiens complexes
Dans ce paragraphe, E désigne un C-espace vectoriel . Il s’agit, ici, d’adapter les notions précédentes au cas
d’un C-espace vectoriel .
1. Produit scalaire
On appelle produit scalaire sur le C-espace vectoriel E, toute forme sesquilinéaire, ϕ, sur E, à symétrie
hermitienne, définie positive, c’est à dire tout application de E 2 dans C vérifiant :

2

∀x ∈ E, ∀α ∈ C, ∀(y1 , y2 ) ∈ E , , ϕ((x, y1 + αy2 )) = ϕ((x, y1 )) + αϕ((x, y2 )) "c’est la linéarité à droite"
∀(x, y) ∈ E 2 , ϕ((y, x)) = ϕ((x, y)) "c’est la symétrie hermitienne"


∀x ∈ E \ {0}, ϕ((x, x)) > 0 "c’est le caractère défini positif"
Remarques
• La symétrie hermitienne assure : ∀x ∈ E, ϕ((x, x)) ∈ R, ce qui rend cohérente la définition du
caractère défini positif qui aurait pu surprendre pour une application à valeurs dans C.
• La linéarité à droite et la symétrie hermitienne donnent(seulement la semi-linéarité à gauche ( sesquil∀(x1 , x2 , y) ∈ E 3 , ϕ((x1 + x2 , y)) = ϕ((x1 , y)) + ϕ((x2 , y)
inéaire veut dire une fois et demie linéaire), c’est à dire :
∀(x, y) ∈ E 2 , ∀λ ∈ C, ϕ((λ.x, y)) = λ.ϕ((x, y))
• Pour une forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne, on a par linéarité à droite et semi-linéarité à
gauche : ∀x ∈ E, ϕ((x, 0)) = ϕ((0, x)) = 0.
2. Espace préhilbertien complexe
On appelle espace préhilbertien complexe, tout C-espace vectoriel , E, sur lequel
on a fixé un produit
scalaire. Le produit scalaire de deux vecteurs x et y de E est alors noté : x|y .
q
x|x et les vecteurs de normes 1 sont dits
On définit alors la norme d’un vecteur : ∀x ∈ E, kxk =
unitaires.
On définit aussi la distance entre deux vecteurs d(x, y) par : d(x, y) = ky − xk.
Attention
Pour tout x et y de l’espace préhilbertien complexe E, on a :
2
2
2
kx + yk = x + y|x + y = kxk + x|y + y|x + kyk
2
2
2
La symétrie hermitienne donc : ∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk = kxk + kyk + 2Re x|y . A noter
que ce
résultat est valable également dans un espace préhilbertien réel puisqu’alors : x|y = Re x|y .
3. Exemples
a) Cn muni de son produit scalaire canonique.

n
P
t


x|y = x y =
xk yk



k=1


n
n
P
P

t
2
2
Si dans Cn , x = (x1 , . . . , xn ) et y = (y1 , . . . , yn ), on a alors : kxk = x x = k=1 xk xk = k=1 |xk |

s


n

P
2



d(x, y) = k=1 |yk − xk |
b) Le C-espace vectoriel des applications continues du segment [a; b] de R vers C, C ([a; b], C), muni de :
Z
2
∀(f, g) ∈ C ([a; b], C) , f |g =
f¯.g
[a; b]
c) Le C-espace vectoriel des applications continues et 2π-pérodique de R vers C, C2π , muni de :
Z
1
2
∀(f, g) ∈ C2π , f |g =
f¯.g
2π [0; 2π]
5
4. Théorème
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Si E est un espace préhilbertien complexe, alors :
∀(x, y) ∈ E 2 , x|y 6 kxk kyk
De plus, le cas d’égalité équivaut à x et y son colinéaires.
C’est le même résultat que dans le cas réel,
mais le début de la démonstration est un peu différent. Soit
x et y dans E. Le problème est que x|y est un complexe. On note alors θ un de ses arguments ( θ est
quelconque si x|y est nul), par linéarité à droite x|e−iθ y lui est réel. Pour tout réel t, on note z(t) le
2
2
2
vecteur : x + te−iθ y. On a : kz(t)k = kyk t2 + 2tRe x|ye−iθ + kxk soit encore :
2
2
2
kz(t)k = kyk t2 + 2t x|ye−iθ + kxk
2
La fonction t 7→ kz(t)k est donc une fonction polynôme à coefficients réels de degré au plus 2 et à
valeurs positives, on peut alors finir le raisonnement comme dans le cas réel. Il vous est conseillé de le
faire !
5. Propriétés de la norme
a) Théorème
Inégalité triangulaire ( ou de Minkowski)
Si E est un espace préhilbertien complexe, alors : ∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk 6 kxk + kyk
(
2
2
2
kx + yk = kxk + kyk + 2Re x|y
d’une part
Démonstration : pour tout x et y de E, on a :
2
2
2
(kxk + kyk) = kxk + kyk + 2 kxk kyk d’autre part
Comme pour tout z de C, on a : Re(z) 6 |z|, l’inégalité de Cauchy-Schwarz permet de conclure.
b) Conséquences.
Dans un espace préhilbertien complexe E, on a les propriétés suivantes :
• ∀x ∈ E, (kxk = 0 ⇐⇒ x = 0)
• ∀x ∈ E, ∀λ ∈ C, kλxk = |λ| kxk
• ∀(x, y) ∈ E 2 , |kxk − kyk| 6 kx − yk 6 kxk + kyk
c) Traduction en terme de distances
Dans un espace préhilbertien complexe E, on a les propriétés suivantes :
• ∀(x, y) ∈ E 2 , (d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y)
• ∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) = d(y, x)
• ∀(x, y, z) ∈ E 3 , |d(x, z) − d(y, z)| 6 d(x, y) 6 d(x, z) + d(y, z)
6. Polarisation
Là aussi, il faut s’adapter à l’espace préhilbertien complexe E :
(
2
2
2
∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk = kxk + kyk + 2Re x|y
On a :
et donc toujours l’identité du parallélo2
2
2
∀(x, y) ∈ E 2 , kx − yk = kxk + kyk − 2Re x|y
gramme :
2
2
2
2
∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk
Mais pour la polarisation, c’est
( plus compliqué, car il faut aller chercher Im x|y ! On a par sesquilinéar2
2
2
∀(x, y) ∈ E 2 , kx + iyk = kxk + kyk − 2Im x|y
et donc l’identité de
ité et symétrie hermitienne :
2
2
2
∀(x, y) ∈ E 2 , kx − iyk = kxk + kyk + 2Im x|y
polarisation :
1
2
2
2
2
∀(x, y) ∈ E 2 , x|y =
kx + yk − kx − yk − i kx + iyk + i kx − iyk
4
6
IV. Orthogonalité
Dans ce paragraphe, E désigne un espace préhilbertien réel ou complexe, le corps de référence étant noté K.
1. Vecteurs, familles et sous-espaces vectoriels orthogonaux
a) Vecteurs
Deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux si, et seulement si, : x|y = 0. On note alors parfois : x⊥y.
b) Familles orthogonales
Une famille (xi )i ∈ I de vecteurs de E est orthogonale si, et seulement si, ces vecteurs sont deux à
deux orthogonaux. Elle et orthonormale quand en plus ses vecteurs sont unitaires.
Propriétés
Une famille orthogonale de n ( n > 1) vecteurs non nuls est libre, c’est en particulier le cas de toute famille
orthonormale.
Démonstration. On se donne une famille (x1 , . . . , xn ) orthogonale de n vecteurs non nuls et une famille
de scalaire (α1 , . . . , αn ).
n
n
P
P
αk xh |xk . La
αk xk =
Par linéarité à droite du produit scalaire, on a : ∀h ∈ [[1; n]], xh |
k=1
famille étant orthogonale, on a donc :
∀h ∈ [[1; n]], xh |
n
X
k=1
2
αk xk = αh kxh k
k=1
Si donc
n
P
αk xk = 0 alors puisque pour tout h : kxh k =
6 0, on a alors αh = 0 toujours pour tout h, ce
k=1
qui termine la démonstration.
c) Théorème
Pythagore
2
2
2
Si deux vecteurs x et y d’un espace préhilbertien sont orthogonaux alors : kx + yk = kxk + kyk . La
réciproque est vraie dans le cas d’un espace préhilbertien réel.
2
2
2
La démonstration est immédiate puisque kx + yk = kxk + kyk + 2Re x|y .
Par récurrence immédiate , on obtient pour toute famille (x1 , . . . , xn ) orthogonale de vecteurs deE :
2
n
n
X
X
2
xk =
kxk k
k=1
k=1
d) Sous-espaces vectoriels orthogonaux
Deux sous-espaces vectoriels de E, F et G, sont orthogonaux si, et seulement si, tout vecteur de l’un
est orthgonal à tout vecteur de l’autre. On note alors : F ⊥ G. On a donc :
F ⊥ G ⇐⇒ ∀(x, y) ∈ F × G, x|y = 0
Remarque
Une famille (F1 , . . . , Fn ) de sous-espaces vectoriels de E orthogonaux, c’est à dire deux à deux orthogonaux est en somme directe. Une telle somme directe est appelée somme directe orthogonale.
Démonstration. Soit z un vecteur de la somme , on suppose qu’il se décompose en z =
tout k, xk dans Fk et aussi en z =
n
P
n
P
xk avec, pour
k=1
yk avec, pour tout k, yk dans Fk . Le but est de démontrer pour
k=1
tout k : xk = yk , assurant ainsi l’unicité de la décomposition. Or par différence , on a
n
P
(xk − yk ) = 0.
k=1
les Fk étant des sous-espaces vectoriels , chaque xk − yk est dans Fk . La famille (xk − yk )16k6n est
n
P
2
kxk − yk k = 0. Enfin , une somme de
donc orthogonale. Le théorème de Pythagore assure donc :
k=1
réels positifs est nulle quand tous les termes de cette somme sont nuls, ce qui termine la démonstration.
7
2. Orthogonal d’un sous-espace vectoriel
a) Définition
Soit F un sous-espace vectoriel de E. On appelle orthogonal de F , que l’on note F ⊥ ou F ◦ , l’ensemble
des vecteurs de E qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de F . On a donc :
F ◦ = {x ∈ E, ∀y ∈ F, y|x = 0}
On peut remarquer que tout sous-espace vectoriel orthogonal à F est inclus dans F ◦ .
b) Exemples
Immédiatement : {0}◦ = E et E ◦ = {0}.
c) Propriété
Si F est un sous-espace vectoriel de E alors F ◦ est un sous-espace vectoriel de E en somme directe avec F .
Démonstration : le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs donc en particulier à tous ceux de
F , donc 0 ∈ F ◦ . Soit alors x1 et x2 dans F ◦ et λ dans K. On a, par linéarité à droite :
∀y ∈ F, y|x1 + λ.x2 = y|x1 + λ y|x2
Or par choix de x1 et x2 , les deux produits scalaires y|x1 et y|x2 sont nuls, ce qui montre que
x1 + λ.x2 est dans F ◦ . De plus F et F ◦ état orthogonaux, ils sont en somme directe d’après IV.1.d).
d) Attention
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