Compléments de topologie Mathématiques École des Mines de Douai — FI1A
(2) lim
n→∞ k(xn, yn)−(`, m)k= 0 (c’est la définition de la convergence) où la notation k.k
désigne l’une quelconque des trois normes ci-dessus,
(3) les suites des composantes (xn)n∈Net (yn)n∈Nconvergent respectivement vers `et m.
Alors K×Kest compact. Pour le démontrer, fixons une suite ((xn, yn))n∈Nde K×K;
il s’agit de prouver qu’elle admet une sous-suite convergente.
Par définition, la suite (xn)n∈Nest une suite de K, donc, en vertu de la propriété de
Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite (xϕ(n))n∈Nconvergeant dans K,ϕdésignant
une application N−−−→ Nstrictement croissante.
La suite (yϕ(n))n∈Nest elle aussi une suite de K, donc elle admet une sous-suite
(yψ◦ϕ(n))n∈Nqui converge dans K,ψétant encore une application N−−−→ Nstrictement
croissante.
La fonction ψ◦ϕest la composée de deux fonctions strictement croissantes de N−−−→ N,
c’est donc elle-même une fonction strictement croissante de N−−−→ N. La suite (xψ◦ϕ(n))n∈N
est extraite de la suite (xϕ(n))n∈Nqui est convergente, elle est donc convergente.
Comme les suites (xϕ(n))n∈Net (yϕ(n))n∈Nsont toutes deux convergentes dans K, la
suite des couples ((xϕ(n), yϕ(n))n∈N, extraite de ((xn, yn))n∈Nest donc convergente dans
K×Ken vertu de la caractérisation de la convergence dans E×Eexposée plus haut.
Ceci prouve bien que K×Kest compact.
Il reste à prouver que dest continue. Rappelons les inégalités triangulaires : pour deux
vecteurs aet b, on a
kak−kbk
6ka−bk6kak+kbk.
Pour (x, y),(x0, y0)∈E×E, on a donc les majorations suivantes :
|d(x, y)−d(x0, y0)|=kx−yk−kx0−y0k
6kx−y−x0+y0k
6k(x−x0)−(y−y0)k6kx−x0k+ky−y0k=k(x, y)−(x0, y0)k1.
Ceci montre que l’application dest 1-lipschitzienne (lorsque l’on a muni E×Ede la norme
k.k1, donc continue. En effet, la majoration précédente montre que |d(x, y)−d(x0, y0)|tend
vers 0lorsque (x0, y0)tend vers (x, y).
Finalement, l’image K×Kpar l’application dest celle d’un compact par une fonction
continue, donc c’est un compact de R, c’est-à-dire un fermé borné : dest bornée sur K×K
et atteint ses bornes.
Ainsi, le diamètre de Kest fini et réalisé par (au moins) un couple (x, y)particulier.
Proposition 2
Le diamètre d’une boule (ouverte ou fermée, peu importe) est égal au double de son
rayon.
Preuve. Procédons par double inégalité, en nous intéressant à une boule fermée B(a, R)
de centre aet de rayon R, que l’on notera simplement B.
Pour x, y ∈B, grâce à l’inégalité triangulaire :
kx−yk=kx−a+a−yk6kx−ak+ky−ak6R+R= 2R.
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