1. Introduction 2. Espaces vectoriels normés

ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Introduction
1.
L'équation de la chaleur : on soumet un solide Ω ⊂ R3 à une source de chaleur
f : Ω → R. Alors la température d'équilibre u(x, y, z) en un point (x, y, z) de Ω est
solution de l'équation aux dérivées partielles
−
δ2
δ2
δ2
u(x,
y,
z)
−
u(x,
y,
z)
−
u(x, y, z) = f.
δ2x
δ2y
δ2z
(Joseph FOURIER, Théorie analytique de la chaleur, 1822.) Si on note
∆u =
δ2
δ2
δ2
u
+
u
+
u,
δ2x
δ2y
δ2z
le laplacien de u alors u 7→ ∆u dénit une application linéaire entre deux espaces
vectoriels de dimension innie. En outre, si f ' 0 alors on peut conjecturer que
u ' 0. Ceci motive l'introduction d'une notion de norme sur un espace vectoriel de
dimension innie.
2.
Espaces vectoriels normés
Soit E un espace vectoriel sur F = R ou C.
Dénition 2.1. On appelle norme sur E toute application
k · k : E → [0, ∞[,
x 7→ kxk,
vériant pour tous x, y ∈ E et tout λ ∈ F,
(1) x = 0 si et seulent si kxk = 0.
(2) kλxk = |λ| kxk.
(3) kx + yk ≤ kxk + kyk.
Ex : (1) E = R3 , k(x1 , x2 , x3 )k = k(x1 , x2 , x3 )k2 = x21 + x22 + x23 .
(2) E = Fn , x = (x1 , ..., xn ), kxk = kxk∞ = max1≤i≤n |xi |.
(3) Si E désigne l'espace vectoriel réel des fonctions réelles continues sur [0, 1] alors
l'application
p
E → [0, ∞[,
f 7→ kf k = kf k∞,[0,1] = sup |f (x)|,
x∈[0,1]
est une norme sur E .
Dénition 2.2. Deux normes sur E , k · k et k · k∗ sont dites équivalentes s'il existe
c, C > 0 tels que, pour tout x ∈ E ,
ckxk ≤ kxk∗ ≤ Ckxk.
Dénition 2.3. Si k · k est une norme sur E alors (E, k · k) s'appelle un espace
vectoriel normé.
Agrégation interne - 23 septembre 2009.
1
Dans la suite, (E, k · k) est un espace vectoriel normé. On écrit souvent E à la place
de (E, k · k).
Distance induite par une norme : soit E est un espace vectoriel normé. Si on dénit
d:E×E →R
(x, y) 7→ kx − yk
alors (E, d) est un espace métrique.
Applications continues. Soit (E, k · kE ) et (F, k · kF ) deux espaces vectoriels
normés.
Dénition 2.4. Soit f : E → F une application et a ∈ E . On dit que f est continue
en a si ∀ε > 0 , ∃δ(ε, a) > 0 tel que ∀x ∈ E ,
kx − akE ≤ δ(ε, a) =⇒ kf (x) − f (a)kF ≤ ε.
On dit que f est continue sur une partie A de E si f est continue en tout point de
A.
Applications linéaires continues.
Théorème 2.1. Soit f : E → F une application linéaire. Alors f est continue sur
E si et seulement si il existe M > 0 tel que pour tout x ∈ E ,
kf (x)kF ≤ M kxkE .
Dénition 2.5. Pour toute application linéaire continue f : E → F , on pose
kf (x)kF
.
x∈E\{0} kxkE
kf k = sup kf (x)kF = sup
x∈E
kxkE =1
kf k s'appelle la norme de f .
Théorème 2.2. L'espace des applications linéaires et continues de E vers F muni
de l'application k · k est un espace vectoriel normé.
Ex : Soit E = F = R3 , k(x1 , x2 , x3 )k = k(x1 , x2 , x3 )k2 =
p
x21 + x22 + x23 et
f ((x1 , x2 , x3 )) = (a1 x1 , a2 x2 , a3 x3 ),
où a1 , a2 , a3 ∈ R.
3.
Espaces vectoriels de dimension finie
Soit E un espace vectoriel de dimension nie N sur F = R ou C et k · k, une norme
sur E .
Théorème 3.1 (Equivalence des normes). Toutes les normes dénies sur un espace
vectoriel de dimension nie sont équivalentes.
Conséquences.
Théorème 3.2 (Parties compactes). Si E est de dimension nie alors les parties
compactes de E sont les parties fermées et bornées de E .
Corollaire 3.1. Toute suite bornée de (E, k · k) contient une sous-suite convergente.
Théorème 3.3 (Continuité des applications linéaires). Soit F un espace vectoriel
normé sur F et f : E → F une application linéaire. Alors f est continue sur E .
Arnaud Rougirel
IUFM Poitou Charentes
E-mail address :
[email protected]
2