td1 analyse fonctionnelle

Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et des Siences de la Nature et de la Vie
Département de Mathématiques
1ere Année Master MIAS, Année 2009/10
Matière : Analyse Spectrale des Opérateurs I
Responsable : S. M. Bahri
TD N 1-
Quelques aspects fondamentaux des
espaces vectoriels
Exercice 1 Considérer l’espace linéaire b
c des suites doubles x = (xn )1
n= 1 telles
que les limites b1 = lim xn et b2 = lim xn existent. En outre considérer le
n!1
sous-espace b
c0 des suites y = (yn )1
n=
n! 1
1
telles que lim yn = 0: Déterminer la
n!1
dimension et une base de l’espace b
c=b
c0 :
Exercice 2 Considérer l’espace linéaire c(3) de toutes les suites x = (xn )1
n=1 telles
1
que (x3k+q )n=1 converge pour q = 0; 1; 2. Trouver la dimension et une base pour
l’espace c(3) =c0 :
Exercice 3 Montrer que si dim E=Ei = 1; i = 1; :::; n, alors dim E= \i Ei
n.
Exercice 4 Montrer qu’il existe deux vecteurs x et y dans l’espace l1 tels qu’ils
sont linéairement indépendants, kxk = kyk = 1 et kx + yk = 2:
Exercice 5 Montrer que si la sphere unité d’un espace linéaire normé contient
un segment de droite, alors ils existent des vecteurs x et y tels que kx + yk =
kxk + kyk et x; y sont linéairement indépendants ( un segment de droite est un
ensemble de la forme f u + (1
)v : 0
1g).
Exercice 6 Montrer qu’un espace linéaire normé X contient des vecteurs linéairement indépendants x et y tels que kxk = kyk = 1, kx + yk = kxk + kyk ; alors
il existe un segment de droite contenu dans la sphere unité de X.
Exercice 7 Etant donné les deux sphères fx : kx y0 k = ky0 kg et fx : kx + y0 k = ky0 kg
dans un espace linéaire normé, combien de points peuvent avoir ces domaines
en commun?
Exercice 8 Trouver l’intérsection de la boule unité dans C [0; 1] avec les sousespaces suivants:
(a) span ftg ;(b) span f1; tg ;(c) span f1 t; tg :
Exercice 9 Calculer la norme d’un vecteur de l’espace quotient b
c=b
c0 ( voir
exercice1).
Exercice 10 Montrer que si p
q
1, alors lq
1
lp .
Exercice 11 Montrer que si p
intervalle …ni [ ; ].
q
1, alors Lp ([ ; ])
Lq ([ ; ]) pour tout
Exercice 12 Démontrer que pour p 6= q aucun espace Lp (0; 1) n’est un sousespace de Lq (0; 1).
Exercice 13 Soient p; q; r des nombres tels que p; q; r > 1 et p1 + 1q + 1r = 1:
Soient f 2 Lp (a; b) ; g 2 Lq (a; b) ; h 2 Lr (a; b). Montrer que f gh 2 L1 (a; b) et
kf ghk1 kf kp kgkq khkr .
Exercice 14 Soit 0 <
. Pour quels valeurs de p la fonction f (x) =
1= x + x appartient à Lp (0; 1).
Exercice 15 Montrer que l1 est un espace de Banach.
Exercice 16 Montrer que si M est un sous-espace fermé et N est un sousespace de dimension …nie d’un espace vectoriel normé, alors M +N = fm + n : m 2 M; n 2 N g
est fermé. (Considerer le cas dim N = 1 et puis procéder par induction.)
1
Exercice 17 Soit x(n) 2 c; x(n) ! x = (xk )k=1 ; quand n ! 1; pour la norme
sup. Montrer que x 2 c:
P1
Exercice 18 Soit [an ] une
dans un espace de Banach X telle que n=1 kan k <
Psuite
1
1: Montrer que la série n=1 an converge dans X.
2