td1 analyse fonctionnelle

Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et des Siences de la Nature et de la Vie
Département de Mathématiques
1ere Année Master MIAS, Année 2009/10
Matière : Analyse Spectrale des Opérateurs I
Responsable : S. M. Bahri
TD N1- Quelques aspects fondamentaux des
espaces vectoriels
Exercice 1 Considérer l’espace linéaire bcdes suites doubles x= (xn)1
n=1 telles
que les limites b1= lim
n!1xnet b2= lim n!1xnexistent. En outre considérer le
sous-espace bc0des suites y= (yn)1
n=1 telles que lim
n!1yn= 0:Déterminer la
dimension et une base de l’espace bc=bc0:
Exercice 2 Considérer l’espace linéaire c(3) de toutes les suites x= (xn)1
n=1 telles
que (x3k+q)1
n=1 converge pour q= 0;1;2. Trouver la dimension et une base pour
l’espace c(3)=c0:
Exercice 3 Montrer que si dim E=Ei= 1; i = 1; :::; n, alors dim E= \iEin.
Exercice 4 Montrer qu’il existe deux vecteurs xet ydans l’espace l1tels qu’ils
sont linéairement indépendants, kxk=kyk= 1 et kx+yk= 2:
Exercice 5 Montrer que si la sphere unité d’un espace linéaire normé contient
un segment de droite, alors ils existent des vecteurs xet ytels que kx+yk=
kxk+kyket x; y sont linéairement indépendants ( un segment de droite est un
ensemble de la forme fu + (1 )v: 0 1g).
Exercice 6 Montrer qu’un espace linéaire normé Xcontient des vecteurs linéaire-
ment indépendants xet ytels que kxk=kyk= 1,kx+yk=kxk+kyk;alors
il existe un segment de droite contenu dans la sphere unité de X.
Exercice 7 Etant donné les deux sphères fx:kxy0k=ky0kg et fx:kx+y0k=ky0kg
dans un espace linéaire normé, combien de points peuvent avoir ces domaines
en commun?
Exercice 8 Trouver l’intérsection de la boule unité dans C[0;1] avec les sous-
espaces suivants:
(a) span ftg;(b) span f1; tg;(c) span f1t; tg:
Exercice 9 Calculer la norme d’un vecteur de l’espace quotient bc=bc0( voir
exercice1).
Exercice 10 Montrer que si pq1, alors lqlp.
1

Exercice 11 Montrer que si pq1, alors Lp([; ]) Lq([; ]) pour tout
intervalle …ni [; ].
Exercice 12 Démontrer que pour p6=qaucun espace Lp(0;1)n’est un sous-
espace de Lq(0;1).
Exercice 13 Soient p; q; r des nombres tels que p; q; r > 1et 1
p+1 q+1 r= 1:
Soient f2Lp(a; b); g 2Lq(a; b); h 2Lr(a; b). Montrer que fgh 2L1(a; b)et
kfghk1 kfkpkgkqkhkr.
Exercice 14 Soit 0<  . Pour quels valeurs de pla fonction f(x) =
1=x+xappartient à Lp(0;1).
Exercice 15 Montrer que l1est un espace de Banach.
Exercice 16 Montrer que si Mest un sous-espace fermé et Nest un sous-
espace de dimension …nie d’un espace vectoriel normé, alors M+N=fm+n:m2M; n 2Ng
est fermé. (Considerer le cas dim N= 1 et puis procéder par induction.)
Exercice 17 Soit x(n)2c; x(n)!x= (xk)1
k=1 ;quand n! 1;pour la norme
sup. Montrer que x2c:
Exercice 18 Soit [an]une suite dans un espace de Banach Xtelle que P1
n=1 kank<
1:Montrer que la série P1
n=1 anconverge dans X.
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