Chapitre 5 – Partie B Autres produits scalaires

Mathématiques Chapitre 5 – Partie B
Autres produits scalaires
Produit scalaire euclidien
Soit  un  espace vectoriel,       est
produit scalaire euclidien si :
 Bilinéarité :      
et     
  est définie positive :     
  est symétrique :    
Produit scalaire hermitien
Soit  un  espace vectoriel,       est produit scalaire
hermitien si :
 Semi-linéarité à gauche :       
linéarité à droite :     
  est définie positive :     
Norme
Soit  un  ou  espace vectoriel,     est une norme si :
      : Inégalité triangulaire
Espace préhilbertien réel
Définition : C’est un  espace
vectoriel muni d’un produit
scalaire euclidien (en
dimension finie ou infinie).
Propriétés :
 Inégalité de Cauchy-Schwarz :   ,
égalité SSI   liée
 Inégalité triangulaire :        ,
égalité SSI   liée
Conséquence :  est une norme
Définitions :
Propriété :
Si  est de dimension finie, il admet une base (  
orthonormée (pour ) :
  et 
Définitions : Un espace de Hilbert réel est un espace préhilbertien réel complet (toute suite de Cauchy
converge). Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.
Théorème d’équivalence des normes (en dimension finie)
Soit  un espace vectoriel de dimension finie. Si  et  sont deux normes sur , alors elles sont
« équivalentes », c'est-à-dire           .
Propriétés de l’espace euclidien
Soit (   une base de , la matrice carrée    où     est telle que :
1.       
, où  et  sont les coordonnées de  et  dans (  
2.  est symétrique
3. Les valeurs propres de  sont strictement positives