Chapitre 5 – Partie B Autres produits scalaires

Mathématiques
Chapitre 5 – Partie B
Autres produits scalaires
Produit scalaire euclidien
Produit scalaire hermitien
Soit 𝐸 un ℝ espace vectoriel, 𝜑: 𝐸 × 𝐸 → ℝ est
produit scalaire euclidien si :
Soit 𝐸 un ℂ espace vectoriel, 𝜑: 𝐸 × 𝐸 → ℝ est produit scalaire
hermitien si :
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Bilinéarité : 𝜑(𝜆𝑥 + 𝑦, 𝑥 ′ ) = 𝜆𝜑(𝑥, 𝑥′) + 𝜆𝜑(𝑦, 𝑥′)
et 𝜑(𝑥, 𝜆𝑥 ′ + 𝑦′) = 𝜆𝜑(𝑥, 𝑥′) + 𝜆𝜑(𝑥, 𝑦′)
𝜑 est définie positive : ∀𝑥 ≠ 0, 𝜑(𝑥, 𝑥) > 0
𝜑 est symétrique : 𝜑(𝑥, 𝑥′) = 𝜑(𝑥′, 𝑥)



Semi-linéarité à gauche : 𝜑(𝜆𝑥 + 𝑦, 𝑥 ′ ) = 𝜆̅𝜑(𝑥, 𝑥′) + 𝜆𝜑(𝑦, 𝑥′)
linéarité à droite : 𝜑(𝑥, 𝜆𝑥 ′ + 𝑦′) = 𝜆𝜑(𝑥, 𝑥′) + 𝜆𝜑(𝑥, 𝑦′)
𝜑 est définie positive : ∀𝑥 ≠ 0, 𝜑(𝑥, 𝑥) > 0
𝜑(𝑥, 𝑥′) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜑(𝑥′, 𝑥)
Norme
Soit 𝐸 un ℝ ou ℂ espace vectoriel, 𝑁: 𝐸 → ℝ+ est une norme si :
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

𝑁(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 0
𝑁(𝜆𝑥) = |𝜆|𝑁(𝑥)
𝑁(𝑥 + 𝑦) ≤ 𝑁(𝑥) + 𝑁(𝑦) : Inégalité triangulaire
Espace préhilbertien réel
Définition : C’est un ℝ espace
vectoriel muni d’un produit
scalaire euclidien (en
dimension finie ou infinie).
Propriétés :
 Inégalité de Cauchy-Schwarz : |𝜑(𝑥, 𝑦)|2 ≤ 𝜑(𝑥, 𝑥)𝜑(𝑦, 𝑦),
égalité SSI (𝑥, 𝑦) liée
 Inégalité triangulaire : √𝜑(𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦) ≤ √𝜑(𝑥, 𝑥) + √𝜑(𝑦, 𝑦),
égalité SSI (𝑥, 𝑦) liée
Conséquence : 𝑁(𝑥) = √𝜑(𝑥, 𝑥) est une norme
Définitions :
 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑦 ∈ 𝐸: 𝑥 ⊥𝜑 𝑦 ⇔
𝜑(𝑥, 𝑦) = 0
 𝐹 ⊥ = {𝑥 ∈ 𝐸, ∀𝑦 ∈ 𝐹: 𝑥 ⊥ 𝑦}
Propriété :
Si 𝐹 est de dimension finie, il admet une base (𝑒1 , … , 𝑒𝑛 )
orthonormée (pour 𝜑) :
𝐹⨁𝐹 ⊥ = 𝐸 et 𝑃𝐹⊥ (𝑥) = 𝜑(𝑥, 𝑒1 )𝑒1 + 𝜑(𝑥, 𝑒2 )𝑒2 + ⋯ + 𝜑(𝑥, 𝑒𝑛 )𝑒𝑛
Définitions : Un espace de Hilbert réel est un espace préhilbertien réel complet (toute suite de Cauchy
converge). Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.
Théorème d’équivalence des normes (en dimension finie)
Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension finie. Si 𝑁1 et 𝑁2 sont deux normes sur 𝐸, alors elles sont
« équivalentes », c'est-à-dire ∃𝑐 > 0, ∃𝐶 > 0: ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑐𝑁2 (𝑥) ≤ 𝑁1 (𝑥) ≤ 𝐶𝑁2 (𝑥).
Propriétés de l’espace euclidien
Soit (𝑒1 , … , 𝑒𝑛 ) une base de 𝐸, la matrice 𝑀 carrée 𝑛 × 𝑛 où 𝑀𝑖𝑗 = 𝜑(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) est telle que :
1. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑡𝑋𝑀𝑌, où 𝑋 et 𝑌 sont les coordonnées de 𝑥 et 𝑦 dans (𝑒1 , … , 𝑒𝑛 )
2. 𝑀 est symétrique
3. Les valeurs propres de 𝑀 sont strictement positives