Théorème de Toeplitz

Théorème de Toeplitz-Haussdorff
Gourdon, Algèbre, page 272
Théorème :
Soit Eun espace hermitien de dimension finie n≥1. Pour tout f∈ L(E), on appelle
Haussdorffien de fl’ensemble :
H(f) = {hf(x)|xi, x ∈E, kxk= 1}
Alors, pour tout f∈ L(E),H(f)est une partie convexe et compacte de C.
De plus, si fest normal, alors H(f)est exactement l’enveloppe convexe des valeurs
propres de f.
H(f)est clairement compact car c’est l’image du compact {x∈E, kxk= 1}par l’application continue
x7→< f(x)|x >.
Montrons que H(f)est convexe. Donnons nous x, y ∈E, kxk=kyk= 1 et posons
X=< f(x)|x > et Y=< f(y)|y >
Il s’agit de montrer que [X, Y ]⊂ H(f).
Si X=Y, c’est terminé. Sinon, X6=Y, et on va se ramener à [0,1].
Il existe deux nombres complexes aet btels que
aX +b= 1
aY +b= 0
Si on pose alors g=af +bIdE, on a :
[X, Y ]⊂ H(f)⇐⇒ ∀t∈[0,1], tX + (1 −t)Y∈ H(f)
⇐⇒ ∀t∈[0,1],∃z∈E, kzk= 1 , tX + (1 −t)Y=< f (z)|z >
⇐⇒ ∀t∈[0,1],∃z∈E, kzk= 1 , < g(z)|z >=a(tX + (1 −t)Y) + b=t
⇐⇒ [0,1] ⊂ H(g)
Montrons donc que [0,1] ⊂ H(g).
On sait que < g(x)|x >= 1 et < g(y)|y >= 0.
On écrit g=u+iv avec u, v hermitiens :
g=g+g∗
2+ii(g∗−g) 2
Quitte à multiplier xpar λ∈C,|λ|= 1, on peut supposer que < v(x)|y >∈iR.
Or < g(x)|x >= 1 =< u(x)|x > −i<v(x)|x >, donc < v(x)|x >= 0.
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