Théorème de Toeplitz-Haussdorff Gourdon, Algèbre, page 272 Théorème : Soit E un espace hermitien de dimension finie n ≥ 1. Pour tout f ∈ L(E), on appelle Haussdorffien de f l’ensemble : H(f ) = {hf (x)|xi , x ∈ E, kxk = 1} Alors, pour tout f ∈ L(E), H(f ) est une partie convexe et compacte de C. De plus, si f est normal, alors H(f ) est exactement l’enveloppe convexe des valeurs propres de f . H(f ) est clairement compact car c’est l’image du compact {x ∈ E, kxk = 1} par l’application continue x 7→< f (x)|x >. Montrons que H(f ) est convexe. Donnons nous x, y ∈ E, kxk = kyk = 1 et posons X =< f (x)|x > et Y =< f (y)|y > Il s’agit de montrer que [X, Y ] ⊂ H(f ). Si X = Y , c’est terminé. Sinon, X 6= Y , et on va se ramener à [0, 1]. Il existe deux nombres complexes a et b tels que aX + b = 1 aY + b = 0 Si on pose alors g = af + bIdE , on a : [X, Y ] ⊂ H(f ) ⇐⇒ ∀t ∈ [0, 1], tX + (1 − t)Y ∈ H(f ) ⇐⇒ ∀t ∈ [0, 1], ∃z ∈ E, kzk = 1 , tX + (1 − t)Y =< f (z)|z > ⇐⇒ ∀t ∈ [0, 1], ∃z ∈ E, kzk = 1 , < g(z)|z >= a(tX + (1 − t)Y ) + b = t ⇐⇒ [0, 1] ⊂ H(g) Montrons donc que [0, 1] ⊂ H(g). On sait que < g(x)|x >= 1 et < g(y)|y >= 0. On écrit g = u + iv avec u, v hermitiens : g= g + g∗ i(g ∗ − g) +i 2 2 Quitte à multiplier x par λ ∈ C, |λ| = 1, on peut supposer que < v(x)|y >∈ iR. Or < g(x)|x >= 1 =< u(x)|x > −i < v(x)|x >, donc < v(x)|x >= 0. 1